(共33张PPT)
函数的概念与性质
第三章
3.1.1 函数的概念
3.1 函数的概念及其表示
课程标准 核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 通过对函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
知识点1 函数的定义及相关概念
(2)相关概念：x叫做____________，x的取值范围A叫做函数的____________；与x的值相对应的y值叫做____________，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的__________. 显然，值域是集合B的__________.
(3)同一个函数：如果两个函数的____________相同，并且______________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
自变量
定义域
函数值
值域
子集
定义域
对应关系
[微思考]
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.
(2)什么样的对应可以构成函数关系？
提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．
(1)一般区间的表示
设a，b是两个实数，而且____________，我们规定：
知识点2 区间及相关概念
a[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
(2)实数集R可以用区间表示为____________________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
(3)特殊区间的表示
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
[微体验]
1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)
答案 C
解析 集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为 (－∞，－2)∪[0，＋∞)．
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )
①A＝{0,1,5,10}；②{x|2③ ；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；
⑥{x|x >1，x∈Q}．
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．
3．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．
解析 {x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．
答案 (1,2)∪(2，＋∞)
下列对应中是A到B的函数的个数为( )
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
(4)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，对应关系如图1所示：
(5)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图2所示：
A．1 B．2 C．3 D．4
课堂互动探究
探究一 函数关系的判断
图1
图2
答案 B
解析 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；
(4)集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数；
(5)集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数．
[方法总结]
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
[跟踪训练1] 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；②对于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 ①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．
探究二 求函数定义域问题
[方法总结]
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
答案 A
解析 由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞，2]，所以 RM＝(2，＋∞)．
探究三 求函数值和函数值域问题
[方法总结]
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
(2)常用方法：
①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；
②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；
③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
探究四 同一个函数的判定
答案 ②③
[方法总结]
判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否相等的三个步骤．
(2)两个注意点．
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示变量无关．
1．对函数概念的五点说明
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
随堂本课小结
2．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．
3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．(共30张PPT)
函数的概念与性质
第三章
3.1.2 函数的表示法
3.1 函数的概念及其表示
课程标准 核心素养
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点1 函数的表示方法
答案 B
答案 A
解析 ∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.
(1)前提：在函数的定义域内．
(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着____________________.
(3)结论：这样的函数称为分段函数．
知识点2 分段函数
不同的对应关系
答案 C
解析 由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．
解析 ∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.
答案 0
3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝( )
A．0 B．2
C．4 D．6
答案 B
解析 结合图象可知，直线BC过点(4,2)，f(2)＝0，f(f(2))＝f(0)＝4，f(f(f(2)))＝f(4)＝2.
课堂互动探究
探究一 函数解析式的求法
[方法总结]
求函数解析式的两种方法
方法一：待定系数法．
适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等．
操作过程：
方法二：换元法．
适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式．
操作过程：
提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域．
探究二 函数图象的画法及应用
[方法总结]
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟踪训练1] 作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
解 (1)∵x∈Z，且|x|≤2，∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
∴图象为一直线上的孤立点，如图①.
(2)∵y＝2(x－1)2－5，
∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5. 所画函数图象如图②.
探究三 分段函数求值问题
[变式探究] 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的值．
[方法总结]
1．求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
答案 B
解析 f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝1，所以f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20＜x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
探究四 分段函数的实际应用
[方法总结]
利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)明确条件，将文字语言转化为数学语言．
(2)建立恰当的分段函数模型解决问题．
[跟踪训练3] 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
答案 A
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
随堂本课小结
2．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚实问题等．
3．对分段函数的四点说明
(1)分段函数在各段上自变量的取值范围不可能有公共部分．
(2)分段函数是一个函数，只是各段上对应法则不同而已．
(3)图象：分段函数的图象由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．
(4)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．(共21张PPT)
函数的概念与性质
第三章
第一课时 函数的单调性
3.2.1 单调性与最大(小)值
3.2 函数的基本性质
课程标准 核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 通过对函数单调性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
增函数、减函数定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当_____________时，都有_________________________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是____________.
x1知识点 函数的单调性
f(x1)增函数
(2)如果 x1，x2∈D，当_____________时，都有_________________________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是____________.
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的______________.
x1f(x1)>f(x2)
减函数
单调区间
[微体验]
1．思考辨析
(1)因为f(－1)(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
答案 C
解析 根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．
答案 C
4．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)A．m>n B．mC．m≥n D．m≤n
答案 B
解析 因为f(x)在R上单调递增，且f(m)课堂互动探究
探究一 利用定义证明函数的单调性
[变式探究] 判断并证明本例中函数f(x)在(0,1)上的单调性．
[方法总结]
利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤
求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
探究二 根据函数图象求单调区间
[方法总结]
图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图象．
(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．
提醒：当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．
[跟踪训练2] 作出函数y＝|x|(x－1)的图象，并指出函数的单调区间．
已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数．求实数a的取值范围．
解 ∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4.解得a≤－3.
∴实数a的取值范围是(－∞，－3]．
探究三 函数单调性的简单应用
[变式探究] 在本例中，若将“函数f(x)在(－∞，4]上是减函数”改为“函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？若改为“函数f(x)在[4，＋∞)上是增函数”呢？
解 若f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，
则1－a＝4，∴a＝－3.
若f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则1－a≤4，
∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
[方法总结]
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法
(1)由函数解析式求参数
(2)抽象函数求参数
①依据：单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b) a>b(a②方法：依据函数单调性的特点去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．
随堂本课小结(共22张PPT)
函数的概念与性质
第三章
第二课时 函数的最大(小)值
3.2.1 单调性与最大(小)值
3.2 函数的基本性质
课程标准 核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 通过对函数最大值、最小值的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有__________________.
(2) x0∈I，使得____________________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的____________.
如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有__________________.
(2) x0∈I，使得____________________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的____________.
知识点 函数的最大(小)值
f(x)≤M
f(x0)＝M
最大值
f(x)≥M
f(x0)＝M
最小值
[微思考]
若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
[微体验]
1．思考辨析
(1)任何函数都有最大(小)值．( )
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )
(3)函数的最大值一定比最小值大．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案 D
解析 ∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)3．(多空题)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则它的最大值是________，最小值是________．
解析 观察函数图象可知，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，最小值是－2.
答案 3 －2
试画出函数f(x)＝x＋|x－1|的图象，并说明最值情况．
课堂互动探究
探究一 利用函数的图象求最值(值域)
[方法总结]
用图象法求最值的3个步骤
探究二 利用函数单调性求最值(值域)
[方法总结]
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
探究三 函数最值的简单应用
[方法总结]
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
[跟踪训练3] 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.
1．求最大值、最小值时的三个关注点
(1)利用图象写出最值时，要写最高(低)点的纵坐标而不是横坐标．
(2)单调性法求最值勿忘求定义域．
(3)单调性法求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入求解是最容易出现的错误，解题时一定要注意．
2．求解实际问题的四个步骤
读题→建模→求解→评价．
随堂本课小结
3．利用单调性求最值的常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a, b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a, b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．(共22张PPT)
函数的概念与性质
第三章
3.2.2 奇偶性
3.2 函数的基本性质
课程标准 核心素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
(1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有______________，且___________________________，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有______________，且____________________________，那么函数f(x)叫做奇函数．
－x∈I
知识点 奇偶性
f(－x)＝f(x)
－x∈I
f(－x)＝－f(x)
[微思考]
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
[微体验]
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
答案 B
解析 B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．
答案 C
解析 f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性．
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
答案 C
解析 ∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝__________.
解析 ∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.
答案 3
课堂互动探究
探究一 函数奇偶性的判断
[方法总结]
1．定义法判断函数的奇偶性
2．图象法判断函数的奇偶性
解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3
＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；
当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
∴f(x)是R上的奇函数．
如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解 方法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，补全图象如下图．
由图象可知f(1)＜f(3)．
方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．
又函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
探究二 奇、偶函数的图象及应用
[变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？
解 方法一：∵函数f(x)是奇函数，
∴其图象关于原点对称，补全图象如图．
由图象可知f(1)＞f(3)．
方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．
又函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)．
∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)．
[方法总结]
奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一：巧作函数图象．
(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．
(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．
应用二：求函数最值、单调性问题．
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．
探究三 函数奇偶性的简单应用
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
解析 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
答案 7
[变式探究] 把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值．
解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数，所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8，所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.
[方法总结]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a, b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
[跟踪训练2] (1)函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x. 由对应项系数相等，得a＝0.
答案 0
解析 当x＞0时，－x＜0，由题意得f(－x)＝－f(x)，
∴x2－x＝－ax2－bx， 解得a＝－1，b＝1.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 0
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数 它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称．
3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
随堂本课小结(共21张PPT)
函数的概念与性质
第三章
3.3 幂函数
课程标准 核心素养
通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
一般地，函数______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[微思考]
幂函数解析式的结构特征是什么？
提示：有四个特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量，自变量的系数为1；(3)幂xα的系数为1；(4)只有1项．
y＝xα
知识点1 幂函数概念
知识点2 五个幂函数的性质
{x|x≠0}
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
减
增
增
减
减
[微思考]
幂函数的图象能经过第四象限吗？
提示：不能. 在幂函数中，当x>0时，幂函数值大于0，故图象不经过第四象限．
[微体验]
1．若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．α＞0 B．α＜0
C．α＝0 D．不能确定
答案 A
解析 根据幂函数的性质知，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数．
函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．试确定m的值．
解 根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
课堂互动探究
探究一 幂函数的概念
[互动探究] 在本例中其他条件不变，只把“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，又如何确定m的值？
解 根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意；
当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数．
故m＝－2.
[方法总结]
求幂函数解析式的依据及常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
探究二 幂函数的图象及应用
探究三 幂函数性质的应用
[方法总结]
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法(共21张PPT)
函数的概念与性质
第三章
3.4 函数的应用(一)
课程标准 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 通过对函数的应用(一)的学习，提升“数学建模”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：
课堂互动探究
探究一 分段函数模型
(1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[方法总结]
1．一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
2．分段函数模型应用的两个注意点
(1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值．
(2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．
[跟踪训练1] 为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜．
牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
探究二 二次函数模型
[变式探究] 若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数关系式？
[方法总结]
利用二次函数求最值的方法及注意点
方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[跟踪训练2] 据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．
某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝ xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
答案 125
探究三 幂函数模型应用举例
[方法总结]
处理幂函数模型的步骤
(1)阅读理解、认真审题．
(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
(4)转化成具体问题，给出解答．
[跟踪训练3] 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
