(共26张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1 指数
课前自主预习
知识点1 n次方根
[微体验]
1．有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错，②④正确．
知识点2 根式
知识点3 分数指数幂的意义
0
没有意义
1．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝_________________________；
(2)(ar)s＝_______________________；
(3)(ab)r＝________________________.
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的__________.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
知识点4 指数幂的运算性质
ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
ars(a＞0，r，s∈Q)
arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
实数
课堂互动探究
探究一 利用根式的性质化简求值
探究二 根式与分数指数幂的互化
探究三 利用指数幂的运算性质化简求值
[方法总结]
1．幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数；
(4)化带分数为假分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
随堂本课小结
3．指数幂的一般运算步骤是有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
4．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．(共24张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
第一课时 指数函数的图象和性质
4.2.2 指数函数的图象和性质
4.2 指数函数
课程标准 核心素养
能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 通过对指数函数图象和性质的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 指数函数的图象和性质
R
(0，＋∞)
(0,1)
减函数
增函数
[微体验]
1．思考辨析
(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
(2)当a＞1时，对于任意x∈R，总有ax＞1.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝3－x的图象是( )
答案 B
3．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
解析 结合指数函数的性质可知，
若y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1.
答案 (1，＋∞)
解析 由2x－1－1≠0，即2x－1≠20，则x－1≠0，解得x≠1.
答案 {x|x≠1}
5．函数y＝4x＋2的值域是________．
解析 因为对于任意x∈R，都有4x >0，所以4x＋2>2，
即函数y＝4x＋2的值域是(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．0
0 D．0答案 D
解析 由于f(x)的图象单调递减，所以00，b<0.
课堂互动探究
探究一 指数函数的图象
(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________.
解析 令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．
答案 (3, 4)
[方法总结]
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
[跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是
( )
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
答案 A
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
(2)函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
答案 B
解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax. 由已知a>1，故选B．
探究二 指数函数的定义域、值域问题
[方法总结]
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法：
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域的求法：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 mg/100 ml的行为属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0 mg/100 ml，经过x个小时，酒精含量降为p mg/100 ml，且满足关系式p＝ p0·e rx(r为常数). 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg/100 ml，2 h后，测得其血液中酒精含量降为61 mg/100 ml，则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到小时)．
探究三 指数函数的实际应用
[方法总结]
解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
[跟踪训练3] 已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%，设质量为20 g的镭经过x百年后的质量为yg(其中x∈N*)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1000年后镭的质量(精确到0.001 g)．
解 把1百年看成一个基数，然后看每经过1百年镭的质量的变化．
因为镭原来的质量为20 g；
1百年后镭的质量为20×95.76%g；
2百年后镭的质量为20×(95.76%)2g；
3百年后镭的质量为20×(95.76%)3g；
…
x百年后镭的质量为20×(95.76%)xg；
所以y与x的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N*)．
所以经过1000年后镭的质量y＝20×(95.76%)10≈12.968(g)．
1．对于指数函数来说，底数a的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠上．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
随堂本课小结
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．(共20张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
第二课时 指数函数及其性质的应用
4.2.2 指数函数的图象和性质
4.2 指数函数
课前自主预习
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 D
解析 不等式2x＋1<1＝20，因为y＝2x是增函数，所以x＋1<0，即x<－1.
5．已知4a＝2a＋2，解不等式a2x＋1>ax－1.
解 因为4a＝2a＋2，即22a＝2a＋2，所以2a＝a＋2，故a＝2，
则a2x＋1>ax－1 22x＋1>2x－1，因为y＝2x是增函数，所以2x＋1>x－1，即x>－2，
所以原不等式的解集为(－2，＋∞)．
课堂互动探究
探究一 利用单调性比较大小
[方法总结]
比较幂值大小的三种类型及处理方法
解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
解 ①当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
探究二 利用单调性解简单的指数不等式问题
[方法总结]
解指数不等式问题，需注意三点
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式，利用图象求解．
[跟踪训练2] 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
探究三 指数型函数的单调性问题
[方法总结]
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝ af(x)与y＝f(x)的单调性相同，
当0提醒：在解决与指数函数有关的问题时，特别注意底数的范围．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝2|2x－m| (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
随堂本课小结
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解，如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解.
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1或0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．(共20张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.3.1 对数的概念
4.3 对数
课程标准 核心素养
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 通过对对数概念和运算性质的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
(1)对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以______________的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的__________，N叫做__________.
a为底N
知识点1 对数的概念及特殊对数
底数
真数
(2)常用对数与自然对数
通常我们将以______________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______________.在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为______________.
(3)对数与指数之间的关系
当a＞0，a≠1时，ax＝N _________________.
10为底
lg N
ln N
x＝logaN
2．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围为________．
解析 由m－1＞0，解得m＞1.
答案 (1，＋∞)
(1)负数和零__________对数．
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
[微思考]
为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0，且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
知识点2 对数的基本性质
没有
0
1
课堂互动探究
探究一 对数的概念
[方法总结]
要使对数logaN有意义，必须满足下面两个条件
(1)底数大于0且不等于1；
(2)真数大于0.
因此求对数中参数的取值范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组，解出即可．
探究二 指数式与对数式的互化
[方法总结]
指数式与对数式互化的解题思路
(1)指数式化为对数式．
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式．
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
探究三 对数性质的应用
[方法总结]
对于对数的基本性质，要把握好以下三点
(1)在对数式中要特别注意N＞0，即零和负数没有对数．
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以loga1＝0，即1的对数等于0.
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.
关于“底数”和“1”的对数的运算，可利用对数的基本性质将其化成常数，这有利于化简和计算．(共21张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.3.2 对数的运算
4.3 对数
课前自主预习
知识点1 对数的运算性质
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
[微思考]
1．运算性质中底数a能等于零或小于零吗，真数M，N呢？
提示：由对数的定义知底数a>0且a≠1，故a不能小于或等于0，M，N均为正数．
2．当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
知识点2 对数的换底公式与对数恒等式
logab
1
N
[微体验]
1．2log23＝________.
答案 3
2．log23·log32＝________.
3．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________.
课堂互动探究
探究一 对数恒等式的应用
[方法总结]
对数恒等式alogaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
探究二 对数运算性质的运用
[方法总结]
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项
(1)基本原则．
对数的化简、求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用方法．
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
(3)注意事项．
①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题．
②准确应用以下结论：
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)．
探究三 对数换底公式
[变式探究1] 本例条件不变，试用a，b表示log2898.
[变式探究2] 若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？
[方法总结]
1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题
(1)针对具体问题，选择恰当的底数．
(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用．
(3)换底公式的正用与逆用．
(4)恰当应用换底公式的两个常用结论．
2．利用换底公式计算、化简、求值的思路
[跟踪训练3] 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
随堂本课小结
(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(3)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
3．利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．