(共16张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.4.1 对数函数的概念
4.4 对数函数
课程标准 核心素养
通过具体实例，了解对数函数的概念. 通过对对数函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
一般地， 函数_________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是__________________.
[微思考]
函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
y＝logax(a>0，且a≠1)
知识点 对数函数的定义
(0，＋∞)
下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝loga x2(a>0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x>0，且x≠1)；
⑤y＝log5 x.
课堂互动探究
探究一 对数函数的概念
解 ①中真数不是自变量x，不是对数函数．
②中对数式后减1，∴不是对数函数．
③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．
④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．
⑤是对数函数．
[方法总结]
从“三方面”判断一个函数是否是对数函数
[跟踪训练1] 若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
解析 由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
答案 2
探究二 求对数函数的解析式
[方法总结]
确定对数函数解析式的步骤
(1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)．
(2)列：通过已知条件建立关于参数a的方程．
(3)求：求出a的值．
[跟踪训练2] 若某对数函数的图象经过点(4,2)，则该对数函数的解析式为________．
解析 设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，
由题意可知loga4＝2，∴a2＝4.∴a＝2.
故该对数函数的解析式为y＝log2x.
答案 y＝log2x
求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
探究三 与对数函数有关的定义域问题
[变式探究1] 把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
[变式探究2] 求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域．
[方法总结]
求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是看解析式是否符合y＝logax(a＞0，且a≠1)这一结构形式， 即logax的系数是1，真数x且系数为1.
2．求含对数式的函数的定义域，注意对数式的基本概念及性质的应用，当对数式有意义时，具备两个条件，即真数大于0，底数大于0且不等于1，当对数的底数不确定时，对数函数的单调性要分类讨论．
随堂本课小结(共18张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
第一课时 对数函数的图象和性质
4.4.2 对数函数的图象和性质
4.4 对数函数
课程标准 核心素养
1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点．
2．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠0). 通过对对数函数图象和性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点1 对数函数的图象和性质
(0，＋∞)
R
(1,0)
减函数
增函数
[微思考]
对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝loga(x－5)＋2的图象恒过定点________．
解析：无论a为何值时，loga1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．
答案 (6,2)
3．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0.
答案 a>0
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为____________.它们的定义域与值域正好互换．
知识点2 反函数
反函数
(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
答案 C
课堂互动探究
探究一 对数函数的图象
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[变式探究1] 把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
答案 C
[变式探究2] 若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象．
解 利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图所示．
[跟踪训练1] 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 f(－x)＝ln((－x)2＋1)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称．又x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，且过点(0,0)，所以A图符合．
探究二 对数函数实际应用
[方法总结]
解决对数应用题的四个步骤
(1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义．
(2)建模：根据已知条件，列出关系式．
(3)解模：运用数学知识，解决此问题．
(4)结论：还原实际问题，归纳得结论．
[跟踪训练2] 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．
1．根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
2．对数型函数图象恒过定点问题
解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0.例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
3．解决与对数函数的实际问题时注意用好对数的运算性质．
随堂本课小结(共18张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
第二课时 对数函数及其性质的应用
4.4.2 对数函数的图象和性质
4.4 对数函数
课前自主预习
答案 A
解析 因为y＝1.3x是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.
3．若函数f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
4．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是________．
5．已知函数f(x)＝lg(x－1)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明f(x)是增函数．
(1)解 由x－1>0，得x>1.
所以函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，值域为R.
课堂互动探究
探究一 利用单调性比较大小
[方法总结]
对数值比较大小的常用方法
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．
(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．
[跟踪训练1] 比较下列各组数的大小：
(1)loga2.7，loga2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.
解 (1)当a＞1时，由函数y＝loga x的单调性可知
loga2.7＜loga2.8；
当0＜a＜1时，同理可得loga2.7＞loga2.8.
(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.
(3)log0.37＜log0.31＝0，log97＞log91＝0，
∴log0.37＜log97.
探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题
[方法总结]
常见的对数不等式有三种类型
(1)形如loga x＞loga b的不等式，借助y＝loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如loga x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝loga x的单调性求解．
(3)形如loga x＞logb x的不等式，可利用图象求解．
[跟踪训练2] 解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝3|x|
C．y＝log3x D．y＝log23x
答案 D
解析 y＝x－1在定义域内不是单调函数；y＝3|x|为偶函数；y＝log3x既不是奇函数也不是偶函数，故A，B，C均不正确．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定义域为R，∴函数y＝log23x为奇函数．令3x＝t，则y＝log2t.
∵y＝log2t与y＝3x在R上都是增函数，∴y＝log23x在R上为增函数．
探究三 对数函数性质的综合应用
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定义域和值域；
②判断并证明f(x)的单调性．
解 ①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1.
故f(x)的定义域为(－∞，1)．
由0故函数f(x)的值域为(－∞，1)．
②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，
又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1∴loga(a－ax1)故f(x)在(－∞，1)上为减函数．
[方法总结]
解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
解 ∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为
{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．(共15张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.4.3 不同函数增长的差异
4.4 对数函数
课程标准 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 通过对三种不同函数增长差异的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 三种不同函数增长的差异
y＝ax(a>1) y＝kx(k>0) y＝logax(a>1)
在(0，＋∞)
上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x增大逐渐与______________ 增长速
度固定 随x增大逐渐与______________
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度______________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度______________；
②存在一个x0，当x>x0时，有_______________
y轴平行
x轴平行
越来越快
越来越慢
ax>xn>logax
[微体验]
1．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
答案 C
解析 荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面面积的一半．
答案 C
解析 表中数据体现爆炸式增长，符合的函数模型为指数函数模型．
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.
解析 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
答案 乙、甲、丙
课堂互动探究
探究一 几类函数模型的增长差异
(2)如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶. 已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如图所示，试确定水瓶的形状是图中的( )
答案 B
解析 看图显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大. 所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B．
[方法总结]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax (a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
答案 y2
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
探究二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
答案 B
解析 由图得水深h越大，水的体积v就越大，故v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小．
[方法总结]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟踪训练2] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．(共23张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5 函数的应用(二)
课程标准 核心素养
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理. 通过对函数的零点与方程的解的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
1．对于函数y＝f(x)，把使__________________的实数________叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有__________ 函数y＝f(x)的图象与__________有公共交点．
f(x)＝0
知识点1 函数的零点
x
零点
x轴
[微思考]
函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
解析 由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
答案 两
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________. 这个c也就是方程f(x)＝0的解．
[微思考]
该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
知识点2 函数零点存在性定理
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
[微体验]
1．思考辨析
(1)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．( )
(2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．( )
答案 (1)× (2)×
2．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(1,2)
答案 D
解析 由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点所在区间为(1,2)．
课堂互动探究
探究一 求函数的零点
[方法总结]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
探究二 判断函数零点所在区间问题
(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．
[方法总结]
1．确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
探究三 函数零点的个数
方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图，如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[变式探究] 将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln x 呢？
[方法总结]
判断函数零点个数的方法
方法一：直接求出函数的零点进行判断；
方法二：结合函数图象进行判断；
方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．(共19张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.5.2 用二分法求方程的近似解
4.5 函数的应用(二)
课程标准 核心素养
1．探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解．
2．了解用二分法求方程近似解具有一般性. 通过对用二分法求方程的近似解的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
对于在区间[a，b]上图象______________且____________________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间______________，使所得区间的两个端点逐步逼近__________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
连续不断
知识点1 二分法的定义
f(a)·f(b)＜0
一分为二
零点
[微思考]
若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证____________________________.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则______________________；
②若f(a)·f(c)＜0(此时x0∈________________)，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)＜0(此时x0∈________________)，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若____________________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
知识点2 二分法的步骤
f(a)·f(b)＜0
c就是函数的零点
(a，c)
(c，b)
|a－b|＜ε
[微体验]
1．思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
答案 B
解析 据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
3．(多空题)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
解析 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
答案 (0,0.5) f(0.25)
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
课堂互动探究
探究一 二分法的概念
答案 B
解析 利用二分法求函数零点，必须满足零点，两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A，C，D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[方法总结]
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[跟踪训练1] 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.
求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
解 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
探究二 二分法求函数零点近似解
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
(－2.25，－2.187 5) －2.218 75 －0.077 1
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
[变式探究] 将本例中的“负”改为“正”呢？
[方法总结]
利用二分法求函数近似零点应关注三点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数解，精确到0.1.
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，易知函数f(x)＝2x3＋3x－3在R上为单调递增函数．经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以该函数在(0,1)内存在零点，且为该函数的唯一正数零点．取(0,1)的中点0.5，经计算，f(0.5)＜0，f(1)＞0，所以该函数在(0.5,1)内存在零点．如此继续下去，得到函数零点所在的区间，如下表：
探究三 二分法求方程的近似解
[方法总结]
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
[跟踪训练2] 求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．
解 分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．
设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得
f(2)<0，f(3)>0 x1∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0 x1∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625);
f(2.562 5)<0，f(2.625)>0 x1∈(2.562 5,2.625)．
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.(共19张PPT)
指数函数与对数函数
第四章
4.5.3 函数模型的应用
4.5 函数的应用(二)
课程标准 核心素养
1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．
2．会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 通过对函数模型的应用的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课堂互动探究
探究一 利用已知函数模型解决实际问题
[方法总结]
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6 210.
∵6 210<6 400，
∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
探究二 自建函数模型解决问题
[方法总结]
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
解 (1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N*)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x.由题意知，226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
探究三 函数模型的选取
[方法总结]
(1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数
(2)函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合．
[跟踪训练3] 某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．