第四章 图形的初步认识
4.1 生活中的立体图形
立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体。
欧拉公式：顶点+面数-棱数=2（V+F-E）
4.2画立体图形
三视图：从正面、上面、侧面（左面或右面 ( http: / / www.21cnjy.com )）三个不同的方向看一个物体，然后描绘所看到的图即 视图 这样就把一个物体转化为平面图形。
从正面看到的图形称为正视图
从上面看到的图形称为俯视图
从侧面看到的图形称为侧视图
4.3立体图形的表面展开图
多面体是由平面图形围成的立体图形，设想沿着多面体的一些棱将他剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形。
圆柱的侧面展开-------长方形
圆锥的侧面展开-------扇形
4.4平面图形
在多边形中，三角形是最基本的图形。每一个多边形都可以分割成n-2个三角形（n是多边形的边数）
4.5最基本的图形---点和线
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短
3.线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线
4.把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线
5. 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
4.6 角
1.角是由两条有公共端点的射线组成的图形。
角平分线：从一个角顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线
2定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点
叫做角的顶点。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
一周角=二平角=四直角
一周角=360°一平角=180° 1°=60′ 1′=60″
3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等
5 定理 三角形两边的和大于第三边
6 推论 三角形两边的差小于第三边
7 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
8 推论1 直角三角形的两个锐角互余
9 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
10 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
11.角的大小比较： 度量法 和 叠合法
二．两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为邻补角
两直线相交所成的四个角中，有一个公 ( http: / / www.21cnjy.com )共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 对顶角对顶角的性质：对顶角相等
4.7 相交线
1.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直.它们的交点叫做垂足
垂线的性质：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_点到直线的距离
线段AB叫做点A到直线BC的垂线段 它的长度就是点A到直线BC的距离
两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在 ( http: / / www.21cnjy.com )那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做同位角；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做内错角；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_同旁内角
4.8 平行线
1.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行.同一平面内的两条直线的位置关系只有相交与平行两种.
2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两直线互相平行
平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等 两直线平行；⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等 两直线平行； ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补 两直线平行.
3.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_平行.
平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行同位角相等 .⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行. 内错角相等⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行 . 同旁内角互补
数学思想方法在线段与角的学习中的应用
1.分类讨论思想：
当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的。
例1．已知：线段AB＝100 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝15 cm，求AP的长。
分析：根据题意中的所在直线就已经定性了，P点可能在直线上，也可能在延长线上。所以分情况讨论。
如图1，（1）当P在直线AB上，有N点在M点的左侧，如图
则 。
（2）当P在直线AB延长线上，有N点在M点的右侧（如图2）
即AP的长为70㎝和130㎝。
2.数形结合思想：例2．如图3，直线A ( http: / / www.21cnjy.com )B、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOC，OF平分∠AOE，若∠AOC=280，则∠EOF= 度。
解析：根据已知条件将数与形结合起来，利用角平分
线的性质及对顶角的性质可得。由∠AOC=280得
∠BOD=280。由∠DOE=∠BOD，得∠DOE=560。所以
∠AOE=1800-∠BOE=1800-560=1240。由OF平分∠AOE得∠FOE= ∠AOE=620。
3.方程思想：运用方程来解决几何中问题，是解决与几何图形有关的计算问题的常用手段。
例4 一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数。
分析：此题用方程求解较为简单，即应用方程思想来解决问题。
解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°－x），补角为（180°－x），依题意可得，解方程得：
答：这个角为67.5°。
例5. 已知，如图4，B、C、D是线段AE上的点，如果AB＝BC＝CE，D是CE的中点，BD＝6，求：AE的长。
分析：利用方程来解简单明了，也正体现方程思想的重要性。
解：设
则
依题意得：解方程得：
总之，数学思想是数学学科的精髓，是学好数学的重要保障。
图4《图形的初步认识》练习 (一)
一、巧手填填（每题5分，共30分）
1.已线段AB=2cm，延长AB到点C，使BC=2cm，D为AB的中点，则线段DC=＿＿.
2.下图是一个正方体的展开图，在余下的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则abc＝＿＿＿＿.
3.如上图，从小华家去学校共有4条路，第 条路最近，理由是 .
4. 6点15分钟，时针与分针所夹的角是 度.
5.某人从A地向北偏东30°走了20米到达B地，又从B地向南偏东30°走了20米到达C地，此时C地在A地的 方向.
6.如图，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P= .
二、慧眼选选
7.如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有 （ ）
Ａ.3条 Ｂ.4条
Ｃ.5条 Ｄ.6条
8.在同一时刻的阳光下，小丽的影子比小华的影子长，那么在同一路灯下 （ ）
Ａ.小丽的影子比小华的影子长 Ｂ.小丽的影子比小华的影子短
Ｃ.她俩的影子一样长 Ｄ.无法判断谁的影子长
9.如图所示，共有线段 （ ）
Ａ.4条 Ｂ.6条 Ｃ.5条 Ｄ.3条
10.若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点间的距离是 （ ）
Ａ.5 Ｂ.19 Ｃ.5或19 Ｄ.不能确定
11.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ）
Ａ.相等 Ｂ.互补 Ｃ.相等或互补 Ｄ.以上都不对
12.如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC=236°，则∠AOC= （ ）
Ａ.72° Ｂ.62° Ｃ.124° Ｄ.144°
三、耐心做做
13.已知一个角的余角等于这个角的补角的，求这个角的度数.
《图形的初步认识》练习 (二)
填空题：
如图⑴，有____条直线，有____条线段，有____条射线． ⑴
用度、分、秒表示 35.12°=____°____′____″
已知∠a=42°31′,则∠a的余角为
钟表上表示的时间为8点15分，则时针与分针的夹角为__ ____度．
选择题：
1、如图（2），与∠a是同位角的有（ ）个．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
图2
2、下列语句错误的有（ ）个．
① 相等的角是对顶角 ② 等角的补角相等 ③ 同位角相等
④ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑤ 连结两点的线段叫做两点间的距离 ⑥ 不相交的两条直线互相平行
A. 2 B. 3 C.4 D. 5
3、如图3，AE//CD//FB，∠1=，∠2=，则∠3=（ ）
A B C D
4、一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角为( )
A B C D
5、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体
6、不能用一副三角板画出的角是（ ）
A. 15° B. 75° C. 105° D. 125°
7、①平角是一条直线. ②线段AB是点A ( http: / / www.21cnjy.com )与点B的距离.③射线AB与射线BA表示同一条直线. ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. ⑥圆柱的侧面是长方形。以上说法正确的有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
8、如图⑾，已知 AB∥CD, 则①∠B=∠1 ②∠2=∠B ③∠2=∠A
④∠3=∠B,其中说法正确的是（ ）
A.①②③④ B. ②③④ C. ③④ D. ①④
9、观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交 三条直线相交 四条直线相交 ……
最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点
象这样有11条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A、45 B、36 C、50 D、55
三、用心解答
1、如图，将书面斜折过去，使角的顶点A落在M处，BC为折痕，BD为∠MBE的平分线，求∠CBD的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
2、已知：C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7,BD=5
求：线段CD的长度.
3、如图，直线AB∥CD,直线m与AB、CD相交于点E、F, EG平分∠FEB,∠EFG＝50°, 求∠FEG的度数.
4、下图是由五个小正方体搭成的物体图形，画出它的三视图
5、如下图，∠１＝∠C, ∠2与∠3互补，那么AB与 EF平行吗？为什么？（5分）
6、已知：如图，∠BAP + ∠APD = 180°，∠BAE = ∠CPF
求证：∠E = ∠F（5分）
练习 (一)参考答案
1. 3；2.6.；3.③，两点之间，线段最短；4.97.5°.提示：时钟被分成60个小格，每小格是360°×=6°.时针每60分钟走1大格，15分钟时针走了个大格，所以分针和时针的夹角是（3+）个大格，度数为（3+）×30°=90°+7.5°=97.5°；5.正东方向上；6. 35°；
二、慧眼选选
7.D；8.D；9.B；10.C；11.C；12.B 。
三、耐心做做
13.解：设这个角的度数为x，则它的余角和补角的度数分别为90°-x，180°-x，
依题意，得90°-x=（180°-x）.解得 x=60°.
练习 (二)参考答案
一、1、1 ，3 ，6； 2、35，7，12 ； 3、47°29′；4、157．5；
二、1、A 2、D 3、B 4、C 5、 D 6、D 7、A 8、C 9、 D
三、1、90°2、解∵AD=7,BD=5∴AB=AD+BD=12 ∵C是AB的中点∴AC=AB=6
∴CD=AD-AC=7-6=1
3、解：∵AB∥CD(已知) ∴∠EFG+∠FEB=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠EFG=50°(已知) ∴∠FEB=130° （等式的性质）
∵EG平分∠FEB (已知) ∴∠FEG=∠FEB=65°(角平分线的定义)
4、解：
5、解：∵∠1=∠C(已知)∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠3与∠B互补 （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠2与∠3互补(已知)∴∠2=∠B （同角的补角相等）
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）
6、略
A
B
C
a
图 3
1
D
A
B
C
3
2
B
D
A
C
D
G
B
m
C
A
E
F
D
A
B
C
F
E
1
3
2
