人教版七年级下册数学5.1.2垂线同步训练（含解析）

人教版七年级下册数学5.1.2 垂线同步训练
一、单选题
1．如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，，，，那么点P到直线l的距离是（　　）
A． B．小于
C．不大于 D．大于，且小于
3．如图，直线，相交于点，．下列说法错误的是（ ）

A． B．
C． D．
4．如图，点在上，，垂足为，交于点，则下列说法错误的是（ ）

A．线段的长度是点到直线的距离 B．线段的长度是点到直线的距离
C．线段的长度是点到直线的距离 D．线段的长度是点到直线的距离
5．如图，直线于点O，为过点的一条直线，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，于，于，下列说法正确的是（ ）

A．的余角只有 B．的邻补角是
C．是的余角 D．与互补
7．如图，三条直线相交于点O．若，，则的补角等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形中，，，垂足为点D，则点A到的距离是（　　）

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
二、填空题
9．如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿线段修建，理由是 ．

10．已知直线、相交于点，射线，平分，如果，那么 ．
11．如图，直线，相交于点，，若，则 度．

12．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为 ．
13．如图，于，经过点，，则 ．

14．已知，平分角，则 度．
15．如图，在三角形中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ．

16．如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是 度．
三、解答题
17．某工厂位于公路一侧，（点代表厂门，直线代表公路）由厂门修一条路与公路连接，怎样修才能使路程短，画出图形．

18．如图，直线相交于点O，平分，，，求、和的度数．
19．如图，点在直线上，，是的平分线，，

(1)找出图中与相等的角，并说明理由；
(2)若求的度数．
20．如图，直线、交于点，射线平分，，．

(1)求的度数；
(2)求的度数．
参考答案：
1．B
【分析】根据垂直的定义得到，可得，继而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
【详解】解：因为垂线段最短，
所以点P到直线l的距离为不大于．
故选：C．
【点睛】此题考查了垂线段最短的性质，此题所给的线段长度中，最短，可能是垂线段，也可能不是．
3．D
【分析】根据对顶角性质，邻补角定义和垂线的定义逐项判断可得．
【详解】与是对顶角，
，选项A正确，不符合题意；
，选项B正确，不符合题意；
和互为邻补角，
，选项C正确，不符合题意；
由于根据题中的条件，不能得到，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角性质，邻补角定义和垂线的定义，熟练掌握相关定义和性质是解本题的关键．
4．B
【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可．
【详解】A. ∵，线段的长度是点到直线的距离 ，故该选项正确，不符合题意；
B. 线段的长度不一定是点到直线的距离，故该选项不正确，符合题意；
C. ∵，线段的长度是点到直线的距离，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，线段的长度是点到直线的距离，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离和垂线．点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5．A
【分析】根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，然后根据，代入数据计算即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质和垂线的定义，掌握、和之间的关系是解题关键．
6．D
【分析】根据余角、补角、邻补角的概念及计算方法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴选项，的余角只有错误；
∵，
∴选项，的邻补角是错误；
在中，，且，
∴，
∵，即
∴选项，是的余角错误；
选项，与互补正确；
故选：．
【点睛】本题主要考查余角（两个角和为），补角（两个角和为），邻补角（两个角有公共边，且和为）的概念及计算，掌握以上知识的运用是解题的关键．
7．D
【分析】现根据垂直的定义求出，然后利用对顶相等解答即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴的补角等于，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的定义及对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．B
【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可．
【详解】解：点A到的距离是线段的长度．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念．
9．垂线段最短
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：选择沿线段修建，理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短．
10．或
【分析】当在内部时，当在外部时，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；

如图所示，当在外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．

故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11．
【分析】根据垂直定义可得的度数，然后再根据平角的定义可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
12．/96度
【分析】根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据与是邻补角，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出，再求出，最后得出答案．
13．/50度
【分析】根据垂直的定义求出，由对顶角的性质得，然后可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，数形结合是解答本题的关键．
14．75或15
【分析】分当点B在内部时，当点B在外部时，两种情况先求出，再求出的度数，进而根据角平分线的定义求出度数，由此即可求出答案．
【详解】解：如图1所示，当点B在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分角，
∴，
∴；

如图2所示，当点B在外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分角，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：75或15．

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
15．2.4
【分析】根据垂线段最短判断出当垂直时有最小值，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可；
【详解】当垂直时有最小值，
，，，
即 ,
解得：，
线段的最小值是2.4
故答案为：2.4.
【点睛】本题考查了三角形的面积，垂线段最短的性质，判断出最短时的情况是解题的关键，解答最短线段长时需注意运用等面积法进行计算，该方法是一个重要的解题技巧，一定要熟练使用．
16．65
【分析】根据对顶角相等可得，然后根据，可得，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：65．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握对顶角相等，垂线的定义，是解题的关键．
17．见解析．
【分析】根据“垂线段最短”，运用三角板画经过点的直线的垂线段，即为所求．
【详解】解：如图所示，过点作，为垂足，即为修建公路的位置．

【点睛】本题考查垂线段最短，用三角板经过一点画已知直线的垂线段，理解垂线段最短是解题的关键．
18．为、为，为
【分析】由平分，可得，则，根据，求的值，由，可得，根据，，计算求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴为、为，为．
【点睛】本题考查了角平分线，垂线的定义，对顶角相等，邻补角．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义可得，根据等角的余角相等，可得；
（2）根据，令则，则，解方程，可得，．进而求得，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）
理由：∵于点
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）∵于点
∴
∵
令则
∴
∴
∴，
∵
∴
∵平分
∴．
【点睛】本题考查了垂线的定义，等角的余角相等，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据邻补角定义得，再根据角平分线的定义得出，最后根据邻补角定义得出，求解即可得出答案．
（2）由，根据垂线的定义可得，再根据即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
．
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了几何图形中角的运算，垂线及角平分线的定义，掌握垂线及角平分线的定义并结合图形找到角的关系是解题关键．