北京市第四中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题(无答案)

数学练习
班级 姓名 学号
学生须知 1. 本练习卷共8页，共28道小题，满分100分. 练习时间120分钟.2. 在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号3. 答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效4. 选择题、作图题用铅2B笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.
一、选择题（共16分，每题2分）
1．据国家统计局统计，从北京冬奥会申办成功至2021年10月，全国参与冰雪运动的人数达到 亿，“带动三亿人参与冰雪运动”的承诺已经实现，这是北京冬奥会最大的遗产成果. 将346000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
3．实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，内角和是外角和的二倍的多边形是（ ）
A． B． C． D．
5．不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别：从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么代数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图. 比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学成绩的平均分高，方差大 B．甲同学成绩的平均分高，方差小
C．乙同学成绩的平均分高，方差大 D．乙同学成绩的平均分高，方差小
8．如图，正方形 的边长是是 上一点，是 延长线上的一点，且 四边形 和四边形均为矩形，设的长为 ，矩形的面积为，矩形 的面积为，则与 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数 有意义，则实数的取值范围是 .
10．已知，且 是整数，请写出一个符合要求的 的值 .
11．分解因式： .
12．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于则 的值是 .
13．如图，点 ,是 上的三点. 若 ,，则 的度数为 .
14．在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数。求甲乙两班各有多少人？
设乙班有人，依题意，可列方程为 .
15．如右图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则 的面积与 的面积的大小关系为： （填“>”“<”或“=”）
16．某工厂用甲、乙两台设备加工 三件产品，每件产品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工. 每件产品在每台设备上所需要的加工时间如下图所示，则加工总时长最短为 分钟.
产品所需时间设备 A B C
甲 4 3 7
乙 6 5 2
三、解答题（共68分，第 17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17．计算： .
18．解不等式组：
19．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求 的值.
20．下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：如图，直线 和直线外一点 .
求作：过点 作直线 的平行线.作法：如图，
①在直线上任取点 ;
②作直线;
③以点 为圆心 长为半径画圆，交直线 于点 ，交直线 于点 ;
④连接 ，以点 为圆心，长为半径画弧，交 于点 （点 与点 不重合）；
⑤作直线 ;
则直线 即为所求.
根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务.
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据。
证明：连接 .
,
,
（ ）.
,
（ ）.
,
.
21．在菱形 中，对角线 相交于点 ,为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若，求 的长.
22．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过点 .
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）已知一次函数 .
①无论 取何值，直线 都经过点 ；
②当时，对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数的值，结合函数图象，直接写出 的取值范围.
23．为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动. 为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，60 79分为及格，59分及以下为不及格. 学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息.
抽取七年级20名学生的成绩如下：
66 87 57 96 79 67 89 97 77 100
80 69 89 95 58 98 69 78 80 89
抽取七年级 名学生成绩的频数分布直方图如下：
（数据分成5组：）
抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下：
七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如下表：
年级 平均数 中位数
七年级 81
八年级 82 81
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中 的值；
（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？
（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为 ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为 . 请比较,的大小，并说明理由.
24．如图，为的直径，为 延长线上一点，为 上一点，连接,,于点 ，交 于点 .
（1）求证：是 的切线；
（2）若 ，求 的长.
25．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点 和点 处，测得 距离为 ，若以点 为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的 处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 的一部分.
（1）抛物线 的最高点坐标为 ；
（2）求的值；
（3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则 的整数值可以为 .
26．已知抛物线 .
（1）若抛物线经过点 .
①求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
②若点 在抛物线上，求 的取值范围；
（2）已知点 为抛物线上的两点，若存在实数 ，对任意的，都有 ，直接写出 的取值范围.
27．已知等腰 中 为线段 上的一点且 . 点 在线段上（不与端点重合），以 为斜边向右侧作直角 . 连接 并延长交线段 的延长线于点 .
（1）如图1，当 时，若 ，求线段 的长；
（2）如图2，当时，若 ,
①依题意补全图形；
②求证：点 为线段 的中点.
28．在平面直角坐标系 中，点 为内一点，弦 ,相交于点 ,如果 ，则称 互为点 的“正交弦”，即 是 的“正交弦”，也是 的“正交弦”，依次连接点 ，称四边形为点 的“正交四边形”.
（1）若 的半径为5，弦 ，则弦 的“正交弦” 的最大值为 ，此时相应的“正交四边形”的面积为 .
（2）设的半径为4，
①已知点,,为点 的“正交弦”，记 求 的取值范围；
②直线 与交于 两点，当点 在 上运动时（不与端点重合），直接写出点 的“正交四边形”面积的最大值。