2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编：平方根、立方根及无理数（含解析）

专题03 平方根、立方根及无理数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在一个长为、宽、高的仓库中，内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎，顶点处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为 米．
2．（2018下·四川自贡·八年级竞赛）已知 ，则 = .
3．（2024·全国·八年级竞赛）如果，那么二次根式的平方根为 ．
4．（2024·全国·七年级竞赛） ．
5．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数x、y满足条件：，则代数式的值为 ．
6．（2024·全国·八年级竞赛）若，，则的值为 ．
7．（2024·全国·八年级竞赛）已知，且，，则的值为 ．
8．（2024·全国·八年级竞赛）在实数范围内化简根式 ．
9．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则 ．
10．（2024·全国·七年级竞赛）定义一种新的运算“早”，运算规则如下：（1）当时，；（2）当时，．那么当时，的最大值是 ．
11．（2022下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）满足不等式的整数的个数是 ．
12．（2024·全国·八年级竞赛）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ．
13．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则的值为 ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
15．（2024·全国·八年级竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则
二、单选题
16．（2024·全国·八年级竞赛）已知是整数，若是正整数，则的最小值是（ ）
A．31 B．59 C．65 D．124
17．（2024·全国·八年级竞赛）若，则A的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
19．（2024·全国·七年级竞赛）已知，，，则的值的个位数字为( )
A．0 B．4 C．6 D．8
20．（2024·全国·八年级竞赛）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．5
21．（2024·全国·八年级竞赛）如图，将八个全等的直角三角形拼接成一个环状图案，若外面的正八边形的边长为，则中间的正八边形的边长为（ ）．

A． B． C． D．
22．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则的整数部分是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
23．（2024·全国·七年级竞赛）若的整数部分为，小数部分为的值为（ ）
A．3 B． C． D．
三、解答题
24．（2024·全国·八年级竞赛）已知a、b、c满足如下关系式：，求a、b、c的值．
25．（2024·全国·七年级竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根．
26．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组若．求的最小值．
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则．
27．（2024·全国·八年级竞赛）设n为正整数，且，
，
…
．
(1)求证：；
(2)若，求正整数a，b的值．
28．（2024·全国·八年级竞赛）对于任意的实数，运算都成立，其中等式的右边是通常的四则运算．
(1)求与的值；
(2)对于任意的实数是否恒成立？请证明你的结论．
29．（2024·全国·八年级竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围．
30．（2024·全国·八年级竞赛）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值．
答案解析
一、填空题
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在一个长为、宽、高的仓库中，内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎，顶点处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为 米．
【答案】
【分析】本题考查了立体图形中两点之间的最短距离，勾股定理的应用，先分类讨论：展开前面和上面的面，展开前面和右面的面，再利用勾股定理求出距离，最后进行比较即可，熟练掌握知识点，能够将立体图形转化为平面图形是解题的关键．
【详解】当展开前面和上面的面时，如图，
∵长为、宽、高，点为长的四等分点，
∴，
∵，
∴；
当展开前面和右面的面时，如图，
∵长为、宽、高，点为长的四等分点，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴最短路程为米，
故答案为：．
2．（2018下·四川自贡·八年级竞赛）已知 ，则 = .
【答案】8
【详解】解：根据题意得：x﹣2=0，y+2=0，解得：x=2，y=﹣2，∴= =8．故答案为8．
点睛：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
3．（2024·全国·八年级竞赛）如果，那么二次根式的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，配方法，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先将方程两边同除以x，得到，再将的被开方式配方，即得 ，最后根据平方根的定义，即得答案．
【详解】解：由得，
，
所以二次根式的平方根为．
故答案为：．
4．（2024·全国·七年级竞赛） ．
【答案】2
【分析】本题考查实数的运算、平方根的应用，通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，利用方程思想进行求解．
【详解】解：设，则，
即，则，
解得或，
因为，所以原式的值为2，
故答案为：2．
5．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数x、y满足条件：，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算、完全平方公式、开平方等知识，先求出，令，则，求出，则，开平方即可得到答案．
【详解】解：
两边同乘以得，
，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
所以．
故答案为：．
6．（2024·全国·八年级竞赛）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值．利用完全平方公式求得的值，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
7．（2024·全国·八年级竞赛）已知，且，，则的值为 ．
【答案】32
【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
联立，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，代数式求值等知识．根据二次根式的性质和立方根的定义，结合解二元一次方程组的步骤求出a和b的值是解题关键．
8．（2024·全国·八年级竞赛）在实数范围内化简根式 ．
【答案】0或或或．
【分析】本题二次根式的性质与化简、立方根的化简及整式的加减，解题的关键是分类讨论的思想．
根据二次根式与立方根的性质化简，然后分类进行讨论．
【详解】∵
，且
∴分四种情况讨论：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
③当时，原式；
故答案为：0或或或．
9．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负性得性质，代数式求值，立方根，正确求出m、n的值是解此题的关键；
根据非负性求出m、n的值，然后代入计算求出立方根即可．
【详解】，
，
即，
，，
，，
，
故答案为：．
10．（2024·全国·七年级竞赛）定义一种新的运算“早”，运算规则如下：（1）当时，；（2）当时，．那么当时，的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了新运算法则、二次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
分和两种情况，分别根据新运算法则求出最值，然后进行比较即可解答．
【详解】解：当时，；
当时，；
∵，对称轴为，，
∴当时，有最大值，，
∴的最大值是2．
故答案为：2．
11．（2022下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）满足不等式的整数的个数是 ．
【答案】4
【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故1.6与5.24之间的整数有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的估值，能熟练化简二次根是式解决本题的关键．
12．（2024·全国·八年级竞赛）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据不等式的性质计算无理数的整数部分和小数部分的代数式解决本题的关键．
通过估算和，求出a、b值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴的整数部分为1，
∴，
∵b是的小数部分，
∴．
∴．
故答案为：15
13．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
先算小括号里面的，再算括号外面的，然后将已知等式变形，最后代入求值．
【详解】解：
=
=
=，
∵
∴
∴，
故答案为：．
14．（2024·全国·八年级竞赛）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查对无理数的估算，利用平方法估计的整数部分，利用整数部分表示出小数部分，再将整数部分代入式子，即可解题．
【详解】解： ，
，
的整数部分是，
，则小数部分，
，
故答案为：．
15．（2024·全国·八年级竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则
【答案】/
【分析】本题考查了复杂二次根式的化简，以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．先把化简后求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】
，
所以，代入得
．
二、单选题
16．（2024·全国·八年级竞赛）已知是整数，若是正整数，则的最小值是（ ）
A．31 B．59 C．65 D．124
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的应用，算术平方根，将变形为，根据是整数，可得，其中a为大于1的正整数，由此可解．
【详解】解：是整数，
是平方数，
是正整数，
，a为大于1的正整数，
当时，n取最小值，
，
解得，
故选B．
17．（2024·全国·八年级竞赛）若，则A的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质化简A的值，再根据算术平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：
A的算术平方根是．
故选：C．
18．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，①
∴，
∴，
∴，
∴，②
由①②得，
解得：，
∴，
∴平方根即为4的平方根，为．
故选：D．
19．（2024·全国·七年级竞赛）已知，，，则的值的个位数字为( )
A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】此题主要考查了算术平方根，得出的近似值是解题关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即其个位数字为8，
故选D．
20．（2024·全国·八年级竞赛）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．
本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
21．（2024·全国·八年级竞赛）如图，将八个全等的直角三角形拼接成一个环状图案，若外面的正八边形的边长为，则中间的正八边形的边长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正多边形内角和，全等三角形的性质和勾股定理，由正八边形可得内角为，再根据全等三角形的性质和勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】解：如图，

∵正八边形的一个内角为，八个直角三角形全等，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴中间的正八边形的边长，
故选：．
22．（2024·全国·八年级竞赛）已知，则的整数部分是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】B
【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分．
【详解】解：由题知，，
又，
则的整数部分是，
故选：B．
23．（2024·全国·七年级竞赛）若的整数部分为，小数部分为的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
故选：．
三、解答题
24．（2024·全国·八年级竞赛）已知a、b、c满足如下关系式：，求a、b、c的值．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二元一次方程；根据题意可知，得，从而，得，最终利用方程组得解；熟知算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：由，
得①
从而，
所以，
即，
得②
由①②联立得，
解得，
从而．
25．（2024·全国·七年级竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根．
【答案】；
【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据题意得到，，，得到，，再代入求的立方根和的平方根，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，，
∴，．
∴的立方根，的平方根．
26．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组若．求的最小值．
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则．
【答案】482
【分析】先根据题意设出一组实数，按照题干信息得出，根据排序不等式，当，，…，从小到大排列时，的值最大，的值最小，然后分类进行讨论，得出结果即可．
【详解】由对称性，不妨设，，2，…，8，且，
则
，
∴，
∵，，…，，
∴，
若，则，不符合要求，
∴，
于是，，，，，，，，，，…，是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且，
∵
．
根据排序不等式，当，，…，从小到大排列时，的值最大，的值最小．
∵当，，…，从小到大排列时，
，
∴的最小值为482．
或：∵，
当，，…，从小到大排列时，
，
．
∴的最小值为482．
【点睛】本题主要考查力数列最小值计算，根据题干信息得出规律是解决本题得关键．
27．（2024·全国·八年级竞赛）设n为正整数，且，
，
…
．
(1)求证：；
(2)若，求正整数a，b的值．
【答案】(1)见解析
(2)或或或
【分析】本题考查分式的化简，整数解．
（1）运用分式的运算法则计算即可；
（2）由（1）可得：，，从而．设，，上式可变形为，即，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答．
【详解】（1）
（2）由（1）可得：，，
∵
∴，
设，，
则，即，
故，
由a，b为正整数可知s，t为正整数，
则为整数，
∴或或或，
∴或或或，
则或或或．
28．（2024·全国·八年级竞赛）对于任意的实数，运算都成立，其中等式的右边是通常的四则运算．
(1)求与的值；
(2)对于任意的实数是否恒成立？请证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)成立，证明见解析
【分析】本题考查新定义下实数运算，整式的混合运算，读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．
（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则分别计算和即得出答案．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：成立，证明如下，
证明：
；
；
∴．
29．（2024·全国·八年级竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案；
此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由得到，
，
解得
（2）由题意可得，，
∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解，
∴.
30．（2024·全国·八年级竞赛）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值．
【答案】8
【分析】题目主要考查新定义的运算及不等式的性质，理解新定义的运算是解题关键，根据题意得出，进而均等于0或1，根据题意得出关于x的不等式组，解出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴均等于0或1，
又∵，
∴其中必有16个1，
∴，
∴
∴．