2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编：专题01数轴、绝对值、相反数（含解析）

专题01 数轴、绝对值、相反数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2024·全国·七年级竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ．
2．（2024·全国·七年级竞赛）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．

3．（2024·全国·七年级竞赛）已知互为倒数，互为相反数，的绝对值为2014，则代数式的值为 ．
4．（2024·全国·七年级竞赛）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则的值为 ．
5．（2024·全国·七年级竞赛）若与互为相反数，则 ．
6．（2024·全国·七年级竞赛）已知整数满足，则的值为 ．
7．（2024·全国·七年级竞赛）若，，且，则 ．
8．（2024·全国·八年级竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是 ．
9．（2024·全国·七年级竞赛）已知实数满足关于的方程组，则 ．
10．（2024·全国·七年级竞赛）已知，，代数式的最小值为 ．
11．（2024·全国·七年级竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ．
12．（2024·全国·七年级竞赛）满足的所有整数对有 对．
13．（2024·全国·七年级竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）已知，且，则一次函数与轴的交点坐标为 ．
15．（2024·全国·七年级竞赛）绝对值大于5且小于7的整数是 ．
16．（2024·全国·七年级竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ．
17．（2024·全国·八年级竞赛）当时，对于实数，代数式的最小值为 ．
二、单选题
18．（2024·全国·七年级竞赛）有理数在数轴上的对应位置如图所示，则在中负数的个数是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
19．（2024·全国·七年级竞赛）如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2024·全国·七年级竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（ ）．
A．点A B．点B C．点C D．点D
21．（2024·全国·七年级竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（ ）
A．2 B．2或10 C．6或10 D．6
22．（2024·全国·七年级竞赛）若与互为相反数，则（ ）．
A． B． C． D．
23．（2024·全国·七年级竞赛）下列命题中真命题的个数是（ ）．
相反数等于本身的数是；倒数等于本身的数是；绝对值等于本身的数是；符号不同的两个数互为相反数；时钟上，点分时时针与分针的夹角是．
A． B． C． D．
24．（2024·全国·八年级竞赛）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．64
25．（2024·全国·七年级竞赛）方程的解有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
26．（2024·全国·八年级竞赛）已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．14或16
27．（2024·全国·七年级竞赛）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·全国·八年级竞赛）如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A．13 B．17 C．17或22 D．22
29．（2024·全国·七年级竞赛）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
三、解答题
30．（2024·全国·七年级竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中．
化简．
31．（2024·全国·七年级竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点，第一次向左爬1个单位到点，第二次由点向右爬2个单位到点，第三次由点向左爬3个单位到点，第四次由点向右爬4个单位到点，如此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点处，若点所表示的数是888，求点所表示的数．
32．（2024·全国·七年级竞赛）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．

33．（2024·全国·七年级竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题：
数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小．
(1)求的最小值．
(2)求的最小值．
34．（2024·全国·七年级竞赛）化简绝对值．
35．（2024·全国·七年级竞赛）解方程：．
36．（2024·全国·七年级竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简．
答案解析
一、填空题
1．（2024·全国·七年级竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键．
由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答．
【详解】解：∵点为的中点，点为的中点，
∴，
∵点表示的数分别为，
∴
∴．
故答案为：．
2．（2024·全国·七年级竞赛）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．

【答案】
【分析】本题考查化简绝对值，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可，解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号．
【详解】解：由题意可知， ，
∴，，，，
∴
，
故答案为：．
3．（2024·全国·七年级竞赛）已知互为倒数，互为相反数，的绝对值为2014，则代数式的值为 ．
【答案】2013或
【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，根据题意，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由题可得： ，
或
① 原式；
② 原式，
故的值是2013或，
故答案为：2013或．
4．（2024·全国·七年级竞赛）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则的值为 ．
【答案】5或9
【分析】根据题意得到，，，分两种情况代入求值即可．此题主要考查了求代数式的值，熟练掌握相反数、倒数、绝对值等知识是解题的关键．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，
∴，，，
∴，
当时，原式．
当时，原式．
故答案为：5或9
5．（2024·全国·七年级竞赛）若与互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相反数的性质，绝对值和平方的非负性．
由相反数的性质可得，再由非负性即可求得a，b的值，代入即可解答．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
6．（2024·全国·七年级竞赛）已知整数满足，则的值为 ．
【答案】0或
【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可．
【详解】∵，且整数，
∴或，或
∴；
或；
或；
综上，的值为0或．
故答案为：0或．
7．（2024·全国·七年级竞赛）若，，且，则 ．
【答案】1或81/81或1
【分析】根据绝对值意义得到，，根据，得到，得到，， 把分解因式，分，与，两种情况求值即得．
本题主要考查了绝对值，代数式求值．熟练掌握绝对值意义，完全平方公式分解因式，分类讨论，是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴当，时，，
当，时，．
故答案为：1或81．
8．（2024·全国·八年级竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．
先由非负性求得a，b的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．
【详解】∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，或，，
①当，时，
；
②当，时，
；
∴的值是或．
故答案为：或．
9．（2024·全国·七年级竞赛）已知实数满足关于的方程组，则 ．
【答案】82
【分析】本题主要考查绝对值、平方的非负性质和解二元一次方程组、零指数幂及乘方运算，依据绝对值、平方的非负性质建立方程组是解题的关键．
根据绝对值、平方的非负性质建立方程组，再解方程组求解之后计算即可得．
【详解】解：∵实数满足关于的方程组，
∴将两个方程相加，得，
，，
，
，
故答案为：82．
10．（2024·全国·七年级竞赛）已知，，代数式的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键．
根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值．
【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，
∵，，
∴当时，的最小是，
故答案为：5．
11．（2024·全国·七年级竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ．
【答案】2016
【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数．
【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016．
故答案为：2016．
12．（2024·全国·七年级竞赛）满足的所有整数对有 对．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的意义，根据已知可得到或，分情况进行求解即可．
【详解】解：，
，
或，
所以有或或或，共4对，
故答案为：4．
13．（2024·全国·七年级竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ， 或，，分了讨论的值，再代入中求解绝对值方程即可．
【详解】解：由题意， ， 或，，
当 ，时，则，
，即
，
当，时，则，
，即，
，
，
解得．
14．（2024·全国·八年级竞赛）已知，且，则一次函数与轴的交点坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，先利用整理求出或，再利用二次根式和完全平方的非负性求出的值，最后令一次函数即可求出本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，即，
∴，，
∴一次函数为：或，
∴令得：或，
∴一次函数轴的交点坐标为：或，
故答案为∶或．
15．（2024·全国·七年级竞赛）绝对值大于5且小于7的整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，整数，根据绝对值的意义计算即可．
【详解】∵绝对值大于5且小于7的整数是，
∴整数是，
故答案为：．
16．（2024·全国·七年级竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围．
【详解】解：当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上，，
则当时，恒成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是求一元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的一元一次不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解．
17．（2024·全国·八年级竞赛）当时，对于实数，代数式的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质．分和两种情况讨论，利用绝对值的性质和算术平方根的性质计算即可求解．
【详解】解：，
由，所以，
令.
当时，.
当时，，
综上，的最小值为4．
故答案为：4．
二、单选题
18．（2024·全国·七年级竞赛）有理数在数轴上的对应位置如图所示，则在中负数的个数是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】先确定a,b的符号，再逐一确定式子的符号，解答即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上有理数的大小比较的原则是解题的关键．
【详解】解：由图可知，，，，
∴是负数，是正数，是负数，是负数，是正数，是负数，有4个负数，
故选C．
19．（2024·全国·七年级竞赛）如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查利用数轴确定代数式符号，涉及数轴定义与性质、去绝对值等知识，根据数轴上点的位置确定大小及符号，从而逐个判断出代数式符号，熟练掌握数轴性质得到大小及符号是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，，，
，则；；；；；
综上所述，有3个代数式是正数，
故选：C．
20．（2024·全国·七年级竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（ ）．
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点之间的关系是解题的关键；
有图可知C与D之间相隔7个单位，即，根据，求的c，然后求得，即可得出结论．
【详解】C与D之间相隔7个单位，
相距，
，即
，
，
解得：，
，
，
，
原点在为点A．
故选：A
21．（2024·全国·七年级竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（ ）
A．2 B．2或10 C．6或10 D．6
【答案】A
【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键．
【详解】解：∵有理数与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，
解得或．
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴．
故选：A
22．（2024·全国·七年级竞赛）若与互为相反数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴．
故选B．
23．（2024·全国·七年级竞赛）下列命题中真命题的个数是（ ）．
相反数等于本身的数是；倒数等于本身的数是；绝对值等于本身的数是；符号不同的两个数互为相反数；时钟上，点分时时针与分针的夹角是．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了相反数，倒数，绝对值和钟表时针与分针夹角，熟练掌握有关概念和计算是解题的关键．
【详解】相反数等于本身的数是，说法正确；
倒数等于本身的数是，说法错误；
绝对值等于本身的数是和正数，说法错误；
只有符号不同的两个数互为相反数，说法错误；
时钟上，点分时时针与分针的夹角是，说法正确；
一共有个真命题，
故选：．
24．（2024·全国·八年级竞赛）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．64
【答案】C
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得．
此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键．
【详解】∵若与互为相反数，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
25．（2024·全国·七年级竞赛）方程的解有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可．
【详解】解：，
或（舍），
，
故答案为：C.
26．（2024·全国·八年级竞赛）已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．14或16
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性应用，算术平方根的非负性应用，三角形的三边关系应用，根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再应用三角形的三边关系判断即可求解，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
当腰长，为底边长时，
∵，
∴不构成三角形，
当底边长，为腰长时，
∵，
∴能构成三角形，
∴三角形的周长，
故选：．
27．（2024·全国·七年级竞赛）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查实数的计算，理解二次根式的非负性质和绝对值的非负性质是解题的关键．根据二次根式和绝对值的性质，两个非负数相加等于0，则，，解出和的值即可．
【详解】解：因为；
所以，；
解得：；
所以；
故选：B．
28．（2024·全国·八年级竞赛）如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A．13 B．17 C．17或22 D．22
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，构成三角形的条件，等腰三角形的性质；由绝对值非负性可求，，分类讨论①当时，②当时，即可求解；理解非负性，能个根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：，
，，
，，
是等腰三角形，
①当时，
三边长为：4，4，9，
，
不能构成三角形；
②当时，
三边长为：4，9，9，
能构成三角形，
故三角形的周长为；
综上所述：三角形的周长为；
故选：D.
29．（2024·全国·七年级竞赛）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，整式的加减，化简绝对值，根据数轴可得，进而可得，化简绝对值，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴
∴原式．
故选：D．
三、解答题
30．（2024·全国·七年级竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中．
化简．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，涉及二次根式的性质与绝对值化简，解题关键是利用数轴确定各式的符号进而化简．由数轴可确定，，，，，，进而结合绝对值的性质化简即可．
【详解】解：根据题意可得，，，，，，
∴
．
31．（2024·全国·七年级竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点，第一次向左爬1个单位到点，第二次由点向右爬2个单位到点，第三次由点向左爬3个单位到点，第四次由点向右爬4个单位到点，如此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点处，若点所表示的数是888，求点所表示的数．
【答案】
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程．熟练掌握在数轴上表示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程是解题的关键．设点所表示的数为，则所表示的数分别为：，由题意知：，计算求解即可．
【详解】解：设点所表示的数为，则所表示的数分别为：，
由题意知：，
∴，即，
解得，．
答：蚂蚁的初始位置点所表示的数为．
32．（2024·全国·七年级竞赛）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
，，，，
则原式
．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2024·全国·七年级竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题：
数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小．
(1)求的最小值．
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义．
（1）一共有123个数，求出，代入求值即可；
（2）将原式变形后，得出，代入求值即可．
【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小，
此时，；
（2）解：
有2个，3个，5个，7个，9个，共个数，
，当取第13个数时，的值最小，
此时，
．
34．（2024·全国·七年级竞赛）化简绝对值．
【答案】当时，；当时，；当时，．
【分析】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，分当时，当时，当时，再化简绝对值进行计算即可．
【详解】解：当时，
；
当时，
；
当时，
．
35．（2024·全国·七年级竞赛）解方程：．
【答案】或．
【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可．
【详解】解：（1）当时，有，得；
（2）当时，有，无解；
（3）当时，有，得．
所以方程的解为或．
36．（2024·全国·七年级竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简．
【答案】
【分析】本题考查数轴上表示有理数、化简绝对值，整式的加减，根据数轴得出，，，，再根据整式的加减运算化简即可．
【详解】解：由题意可得：
，，，，
所以原式．