2023-2024学年北师大版五年级下册数学重难点培优-（课前预习讲义）7.2相遇问题(知识精讲+典题精练)
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北师大版五年级下册数学重难点培优-（课前预习讲义）7.2相遇问题(知识精讲+典题精练) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-28 14:50:15 | ||
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文档简介
7.2相遇问题
1．列方程解三步应用题(相遇问题)
【知识点问题】
甲速×相遇时间+乙速×相遇时间＝路程
（甲速+乙速）×相遇时间＝路程
甲走的路程+乙走的路程＝总路程
2．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．
一．选择题（共4小题）
1．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）
A．65×4+4x＝480 B．4x＝480﹣65
C．65+x＝480÷4 D．（65+x）×4＝480
2．甲、乙轮船分别从相距411km的A、B两港口同时出发，相向而行，甲轮船每时行驶73km，乙轮船每时行驶64km。如果两船x时后相遇，下面方程正确的是（ ）
A．73x+64x＝411 B．（73﹣64）x＝411
C．73x+64＝411
3．甲、乙两地相距840米，小张和小玲同时从两地相向而行，6分钟后相遇。小张每分钟走75米，小玲每分钟走多少米？
解：设小玲每分钟走x米，依题意列方程，正确的是（ ）
A．6x+75＝840 B．6x＝840﹣75
C．6x+75×6＝840 D．x+75×6＝840
4．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）
A．65×4+4x＝480 B．4x＝480+65×4
C．65+x＝480÷4 D．（65+x）×4＝480
二．填空题（共3小题）
5．甲、乙两辆汽车同时从相距280km的A、B两地开出，相向而行，经过2小时相遇．甲车每小时行78km，乙车每小时行多少千米？设乙车每小时行xkm，列方程得 ．
6．先根据图意把等量关系式补充完整，再列出方程．
+ ＝总路程；
方程： ．
7．A、B两地相距1200千米，甲、乙两辆汽车从A、B两地相对开出.甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米， 小时后两车相遇，相遇时甲车行了 千米，乙车行了 千米.
三．计算题（共1小题）
8．把下面各题的等量关系式补充完整，并列出方程。
甲、乙两人分别骑自行车从相距86km的两地同时出发相向而行，甲每小时行20km，乙每小时行xkm，2小时后相遇。
（ + ）×相遇时间＝两地的距离
方程：
四．解答题（共2小题）
9．小林家和小云家相距4.5km．周日早上9：00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？（用方程解答）
10．小丽每分跑200m，小刚每分跑240m。环湖公路一周的长度是6600m，两人同时从同一地点出发反方向跑步。
（1）几分后两人相遇？
（2）估计两人在何处相遇，在图中标出来。
7.2相遇问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【答案】B
【分析】（1）首先根据速度×时间＝路程，分别求出两车相遇时行的路程各是多少；然后根据客车行的路程+货车行的路程＝两地之间的铁路长，可得65×4+4x＝480，A正确；
（2）首先根据速度×时间＝路程，分别求出两车相遇时行的路程各是多少；然后根据货车行的路程＝两地之间的铁路长﹣客车行的路程，可得4x＝480﹣65×4，B错误；
（3）首先根据路程÷时间＝速度，用两地之间的铁路的长度除以两车相遇用的时间，求出两车的速度之和是多少；然后根据客车的速度+货车的速度＝两车的速度之和，可得65+x＝480÷4，C正确；
（4）根据速度×时间＝路程，可得两车的速度之和×相遇用的时间＝两地之间的铁路长，所以（65+x）×4＝480，D正确．
【解答】解：（1）65×4+4x＝480
260+4x＝480
4x+260﹣260＝480﹣260
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
（2）4x＝480﹣65×4
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
（3）65+x＝480÷4
65+x＝120
65+x﹣65＝120﹣65
x＝55
（4）（65+x）×4＝480
（65+x）×4÷4＝480÷4
65+x＝120
65+x﹣65＝120﹣65
x＝55
答：货车每小时行55千米．
所以不正确的方程是4x＝480﹣65．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
2．【答案】A
【分析】相遇时甲船行驶的路程+乙船行驶的路程＝A、B两港的总路程；甲船行驶的路程是73x，乙船行驶的路程是64x，据此列方程即可。
【解答】解：根据题意可列方程：73x+64x＝411
故选：A。
【点评】本题考查了相遇问题知识点，熟练掌握相遇问题数量关系是用方程解答相遇问题的关键。
3．【答案】C
【分析】相遇时两人所行的路程之和就是甲、乙两地之间的路程，根据相遇问题的数量关系：小张行的路程+小玲行的路程＝840米，列方程解答。
【解答】解：设小玲每分钟走x米。
6x+75×6＝840
6x+450＝840
6x+450﹣450＝840﹣450
6x＝390
6x÷6＝390÷6
x＝65
所以列方程正确的是：6x+75×6＝840。
故选：C。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：小张行的路程+小玲行的路程＝840米，列方程解答。
4．【答案】B
【分析】由题意知：客车所行的路程+货车所行的路程＝两地之间的距离，速度之和＝两地路程÷相遇时间，速度之和×相遇时间＝两地路程，由此分别列方程解答即可．
【解答】解：由分析可得算式：65×4+4x＝480，
65+x＝480÷4，
（65+x）×4＝480；
故选：B．
【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程或客车所行的路程+货车所行的路程＝两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题．
二．填空题（共3小题）
5．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得等量关系式：甲、乙两辆汽车的速度和×相遇时间＝路程；设乙车每小时行x千米，又甲车每小时行78千米，则两车每小时共行（78+x）千米，两地的路程是280千米，2小时相遇，根据乘法的意义，可得方程：（78+x）×2＝280；然后列方程进一步解答即可．
【解答】解：设乙车每小时行x千米，可得方程：
（78+x）×2＝280
78+x＝140
x＝62
答：乙车每小时行62千米．
故答案为：（78+x）×2＝280．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得等量关系式：依依行的路程+黄菲菲行的路程＝总路程，设两个人x小时后相遇，然后列方程解答即可．
【解答】解：设两个人x小时后相遇，
依依行的路程+黄菲菲行的路程＝总路程，
方程：0.28x+0.22x＝5.5；
故答案为：依依行的路程，黄菲菲行的路程，0.28x+0.22x＝5.5．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
7．【答案】12；624；576。
【分析】本题是一道相遇问题，关键是明确相遇问题的数量关系——相遇时间＝两地的距离÷甲乙两车的速度之和。再分别用相遇时间乘两车的速度可得相遇时两车行驶的距离。
【解答】解：1200÷（52+48）＝12（时）
甲：52×12＝624（千米）
乙：1200﹣624＝576（千米）
故答案为：12；624；576。
【点评】本题侧重考查的知识点是相遇问题中的等量关系式，就是：相遇时间＝两地的距离÷甲乙两车的速度之和。
三．计算题（共1小题）
8．【答案】甲速度；乙速度；（20+x）×2＝86。
【分析】根据等量关系式：速度和×相遇时间＝两地的距离，其中速度和指的是甲乙两人的速度之和，据此求解即可。
【解答】解：根据速度和×相遇时间＝两地的距离可得：
（甲速度+乙速度）×相遇时间＝两地的距离；
据此列出方程为：（20+x）×2＝86；
故答案为：甲速度；乙速度；（20+x）×2＝86。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系式，再根据等量关系式列出方程求解即可。
四．解答题（共2小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】设两人x小时相遇，根据总路程÷速度和＝相遇时间，列方程求出相遇时间，从而推出相遇时的时刻，据此解答．
【解答】解：设两人x分相遇
4.5千米＝4500米
（250+200）×x＝4500
450x＝4500
x＝10
早上9：00经过10分钟是9时10分．
答：两人在9时10分相遇．
【点评】此题列方程的依据是：总路程÷速度和＝相遇时间．
10．【答案】（1）15分后两人相遇。
（2）如图：
【分析】（1）把两人每分钟跑的路程相加，求出速度和，再用一周的长度除以速度和即可求出相遇需要的时间。
（2）根据分数的意义，用小丽相遇时跑的路程除以环湖公路的长度，求出小丽跑的路程占全程的几分之几，进而求出小刚跑的路程占全程的几分之几，据此标出二人相遇时的位置。
【解答】解：（1）6600÷（240+200）
＝6600÷440
＝15（分）
答：15分后两人相遇。
（2）相遇时，小丽跑了环湖公路的：
200×15÷6600
＝3000÷6600
小刚跑了环湖公路的：
1
据此标出二人相遇时的位置如图：
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；注意相遇时间＝路程÷速度和。
1．列方程解三步应用题(相遇问题)
【知识点问题】
甲速×相遇时间+乙速×相遇时间＝路程
（甲速+乙速）×相遇时间＝路程
甲走的路程+乙走的路程＝总路程
2．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．
一．选择题（共4小题）
1．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）
A．65×4+4x＝480 B．4x＝480﹣65
C．65+x＝480÷4 D．（65+x）×4＝480
2．甲、乙轮船分别从相距411km的A、B两港口同时出发，相向而行，甲轮船每时行驶73km，乙轮船每时行驶64km。如果两船x时后相遇，下面方程正确的是（ ）
A．73x+64x＝411 B．（73﹣64）x＝411
C．73x+64＝411
3．甲、乙两地相距840米，小张和小玲同时从两地相向而行，6分钟后相遇。小张每分钟走75米，小玲每分钟走多少米？
解：设小玲每分钟走x米，依题意列方程，正确的是（ ）
A．6x+75＝840 B．6x＝840﹣75
C．6x+75×6＝840 D．x+75×6＝840
4．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）
A．65×4+4x＝480 B．4x＝480+65×4
C．65+x＝480÷4 D．（65+x）×4＝480
二．填空题（共3小题）
5．甲、乙两辆汽车同时从相距280km的A、B两地开出，相向而行，经过2小时相遇．甲车每小时行78km，乙车每小时行多少千米？设乙车每小时行xkm，列方程得 ．
6．先根据图意把等量关系式补充完整，再列出方程．
+ ＝总路程；
方程： ．
7．A、B两地相距1200千米，甲、乙两辆汽车从A、B两地相对开出.甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米， 小时后两车相遇，相遇时甲车行了 千米，乙车行了 千米.
三．计算题（共1小题）
8．把下面各题的等量关系式补充完整，并列出方程。
甲、乙两人分别骑自行车从相距86km的两地同时出发相向而行，甲每小时行20km，乙每小时行xkm，2小时后相遇。
（ + ）×相遇时间＝两地的距离
方程：
四．解答题（共2小题）
9．小林家和小云家相距4.5km．周日早上9：00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？（用方程解答）
10．小丽每分跑200m，小刚每分跑240m。环湖公路一周的长度是6600m，两人同时从同一地点出发反方向跑步。
（1）几分后两人相遇？
（2）估计两人在何处相遇，在图中标出来。
7.2相遇问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【答案】B
【分析】（1）首先根据速度×时间＝路程，分别求出两车相遇时行的路程各是多少；然后根据客车行的路程+货车行的路程＝两地之间的铁路长，可得65×4+4x＝480，A正确；
（2）首先根据速度×时间＝路程，分别求出两车相遇时行的路程各是多少；然后根据货车行的路程＝两地之间的铁路长﹣客车行的路程，可得4x＝480﹣65×4，B错误；
（3）首先根据路程÷时间＝速度，用两地之间的铁路的长度除以两车相遇用的时间，求出两车的速度之和是多少；然后根据客车的速度+货车的速度＝两车的速度之和，可得65+x＝480÷4，C正确；
（4）根据速度×时间＝路程，可得两车的速度之和×相遇用的时间＝两地之间的铁路长，所以（65+x）×4＝480，D正确．
【解答】解：（1）65×4+4x＝480
260+4x＝480
4x+260﹣260＝480﹣260
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
（2）4x＝480﹣65×4
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
（3）65+x＝480÷4
65+x＝120
65+x﹣65＝120﹣65
x＝55
（4）（65+x）×4＝480
（65+x）×4÷4＝480÷4
65+x＝120
65+x﹣65＝120﹣65
x＝55
答：货车每小时行55千米．
所以不正确的方程是4x＝480﹣65．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
2．【答案】A
【分析】相遇时甲船行驶的路程+乙船行驶的路程＝A、B两港的总路程；甲船行驶的路程是73x，乙船行驶的路程是64x，据此列方程即可。
【解答】解：根据题意可列方程：73x+64x＝411
故选：A。
【点评】本题考查了相遇问题知识点，熟练掌握相遇问题数量关系是用方程解答相遇问题的关键。
3．【答案】C
【分析】相遇时两人所行的路程之和就是甲、乙两地之间的路程，根据相遇问题的数量关系：小张行的路程+小玲行的路程＝840米，列方程解答。
【解答】解：设小玲每分钟走x米。
6x+75×6＝840
6x+450＝840
6x+450﹣450＝840﹣450
6x＝390
6x÷6＝390÷6
x＝65
所以列方程正确的是：6x+75×6＝840。
故选：C。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：小张行的路程+小玲行的路程＝840米，列方程解答。
4．【答案】B
【分析】由题意知：客车所行的路程+货车所行的路程＝两地之间的距离，速度之和＝两地路程÷相遇时间，速度之和×相遇时间＝两地路程，由此分别列方程解答即可．
【解答】解：由分析可得算式：65×4+4x＝480，
65+x＝480÷4，
（65+x）×4＝480；
故选：B．
【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程或客车所行的路程+货车所行的路程＝两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题．
二．填空题（共3小题）
5．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得等量关系式：甲、乙两辆汽车的速度和×相遇时间＝路程；设乙车每小时行x千米，又甲车每小时行78千米，则两车每小时共行（78+x）千米，两地的路程是280千米，2小时相遇，根据乘法的意义，可得方程：（78+x）×2＝280；然后列方程进一步解答即可．
【解答】解：设乙车每小时行x千米，可得方程：
（78+x）×2＝280
78+x＝140
x＝62
答：乙车每小时行62千米．
故答案为：（78+x）×2＝280．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得等量关系式：依依行的路程+黄菲菲行的路程＝总路程，设两个人x小时后相遇，然后列方程解答即可．
【解答】解：设两个人x小时后相遇，
依依行的路程+黄菲菲行的路程＝总路程，
方程：0.28x+0.22x＝5.5；
故答案为：依依行的路程，黄菲菲行的路程，0.28x+0.22x＝5.5．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
7．【答案】12；624；576。
【分析】本题是一道相遇问题，关键是明确相遇问题的数量关系——相遇时间＝两地的距离÷甲乙两车的速度之和。再分别用相遇时间乘两车的速度可得相遇时两车行驶的距离。
【解答】解：1200÷（52+48）＝12（时）
甲：52×12＝624（千米）
乙：1200﹣624＝576（千米）
故答案为：12；624；576。
【点评】本题侧重考查的知识点是相遇问题中的等量关系式，就是：相遇时间＝两地的距离÷甲乙两车的速度之和。
三．计算题（共1小题）
8．【答案】甲速度；乙速度；（20+x）×2＝86。
【分析】根据等量关系式：速度和×相遇时间＝两地的距离，其中速度和指的是甲乙两人的速度之和，据此求解即可。
【解答】解：根据速度和×相遇时间＝两地的距离可得：
（甲速度+乙速度）×相遇时间＝两地的距离；
据此列出方程为：（20+x）×2＝86；
故答案为：甲速度；乙速度；（20+x）×2＝86。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系式，再根据等量关系式列出方程求解即可。
四．解答题（共2小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】设两人x小时相遇，根据总路程÷速度和＝相遇时间，列方程求出相遇时间，从而推出相遇时的时刻，据此解答．
【解答】解：设两人x分相遇
4.5千米＝4500米
（250+200）×x＝4500
450x＝4500
x＝10
早上9：00经过10分钟是9时10分．
答：两人在9时10分相遇．
【点评】此题列方程的依据是：总路程÷速度和＝相遇时间．
10．【答案】（1）15分后两人相遇。
（2）如图：
【分析】（1）把两人每分钟跑的路程相加，求出速度和，再用一周的长度除以速度和即可求出相遇需要的时间。
（2）根据分数的意义，用小丽相遇时跑的路程除以环湖公路的长度，求出小丽跑的路程占全程的几分之几，进而求出小刚跑的路程占全程的几分之几，据此标出二人相遇时的位置。
【解答】解：（1）6600÷（240+200）
＝6600÷440
＝15（分）
答：15分后两人相遇。
（2）相遇时，小丽跑了环湖公路的：
200×15÷6600
＝3000÷6600
小刚跑了环湖公路的：
1
据此标出二人相遇时的位置如图：
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；注意相遇时间＝路程÷速度和。