（课前预习讲义）数学好玩之包装的学问(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册数学重难点培优（含解析）（北师大版）

数学好玩之包装的学问
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
3．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．
4．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
5．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
一．选择题（共3小题）
1．两盒糖果包成一包，（　　）种包装方法最节省包装纸。
A． B． C．
2．将4个完全一样的长方体盒子包成一包，每个盒子长10厘米，宽6厘米，高1厘米，下面4种包法，（　　）种最省包装纸。
A． B． C． D．
3．一个长方体游泳池（如图），在它的四周和底面贴上瓷砖。求瓷砖的总面积，下面列式错误的是（　　）
A．20×15+20×2×2+15×2×2
B．（20×2+15×2+20×15）×2
C．（20×2+15×2+20×15）×2﹣20×15
D．（20+15）×2×2+20×15
二．填空题（共3小题）
4．把三盒相同的长方体磁带包成一包，有　 　种不同的包装方法．
5．将4盒火柴包成一包，火柴盒的长5厘米，宽3厘米，高1厘米，最少需要 　 　平方厘米的包装纸。（接口处忽略不计）
6．用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是 　 　平方分米。
三．判断题（共2小题）
7．如图所示形状的图形不能折成正方体．　 　． （判断对错）
8．两个相同的长方体礼盒（长10分米，宽8分米，高6分米）包成一包，共有3种不同的包装方案。 　 　（判断对错）
四．解答题（共2小题）
9．包装一种磁带，长是8厘米，宽是5厘米，高是2厘米，将3盒这样的磁带包装在一起，至少要用纸多少平方厘米？
10．用彩带把2盒磁带包装在一起，第　 　种包装方法最节省彩纸．
第一种：两个长方体这样上下重叠在一起，得到一个大长方体，长20cm，宽15cm，高5×2＝10cm，
第二种：两个长方体这样前后平放在一起得到：长15×2＝30cm，宽20cm，高5cm，
第三种：两个长方体这样左右平放在一起得到：长20×2＝40cm，宽15cm，高5cm．
数学好玩之包装的学问
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【答案】C
【分析】根据题意可知，要想最节省包装纸，也就是两盒糖果盒的最大面重合摞起来进行包装。据此解答。
【解答】解：要想最节省包装纸，也就是两盒糖果盒的最大面重合摞起来进行包装。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
2．【答案】A
【分析】根据长方体的表面积的意义可知，把这4个完全一样的长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装最省包装纸。据此解答即可。
【解答】解：把这4个完全一样的长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装最省包装纸。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方体的表面积公式及应用。
3．【答案】B
【分析】把这个游泳池看成一个长方体，需要贴瓷砖的是其5个面，缺少上面，根据长方体表面积的求法求出这5个面的面积即可。
【解答】解：由分析可知，只有（20×2+15×2+20×15）×2求6个面的面积。
所以选项B是错误的。
故选：B。
【点评】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。
二．填空题（共3小题）
4．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．把三盒相同的长方体磁带包成一包，有三种不同的包法．
【解答】解：有三种不同的包法，①长×宽的面重合包成一包；②长×高的面重合包成一包；③宽×高的面重合包成一包．
答：有三种不同的包装方法．
故答案为：三．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征．
5．【答案】94。
【分析】根据题意，把4盒火柴包成一包，要使需要的包装纸最小，也就是把火柴盒最大的面重合在一起，拼成一个长5厘米，宽3厘米，高（1×4）厘米长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：拼成长方体的高：1×4＝4（厘米）
（5×3+5×4+3×4）×2
＝（15+20+12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
答：最少需要94平方厘米的包装纸。
故答案为：94。
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．【答案】250。
【分析】根据正方体、长方体表面积的意义可知，用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：5×5×6×2﹣5×5×2
＝25×6×2﹣25×2
＝150×2﹣50
＝300﹣50
＝250（平方分米）
答：拼成的长方体的表面积是250平方分米。
故答案为：250。
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积。
三．判断题（共2小题）
7．【答案】×
【分析】正方体展开图分四种类型，11种情况，所有正方形都由边连成一片，此图不属于正方体展开图，也能折成正方体．
【解答】解：此图虽然不属于正方体展开图，但正面三正方形折成相邻的正方体的三个面，上面三个正方形折成正方体相邻的三个面，合在一起正好是一个正方体，
因此，不能折成正方体的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题题可动手操作一下，既得出结论，又锻炼了动手操作能力．
8．【答案】√
【分析】根据两个相同的长方体拼组大长方体的方法，可以将10×8面相粘合；或者将10×6面相粘合；或者将8×6面相粘合，一共有3种不同的拼组方法，据此即可解答。
【解答】解：可以将10×8面相粘合；或者将10×6面相粘合；或者将8×6面相粘合，一共有3种不同的拼组方法。
故答案为：√。
【点评】此题考查了两个一样的长方体的拼组新长方体的方法，结合题意分析解答即可。
四．解答题（共2小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】把3盒磁带上下面对在一起摞成一摞，得到新长方体的长8厘米，宽5厘米，高为2×3＝6厘米，这样包装最节省，根据长方体的表面积公式：s＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：2×3＝6厘米，
（8×5+8×6+5×6）×2
＝（40+48+30）×2
＝118×2
＝236（平方厘米），
答：至少要用纸236平方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据拼组方法得出表面积最少的拼组方案．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】因为把两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，减少2个面，算出每一种的包装面积，进行比较得出结论．
【解答】解：第一种：（20×15+20×10+15×10）×2，
＝（300+200+150）×2，
＝1300（平方厘米）；
第二种：（30×20+30×5+20×5）×2，
＝（600+150+100）×2，
＝1700（平方厘米）；
第三种：（40×15+40×5+15×5）×2，
＝（600+200+75）×2，
＝1750（平方厘米）；
因为：1300＜1700＜1750，所以应选用第一种包装方法；
故答案为：一．
【点评】解答此题应先找出磁带中最大的面，进而把两个磁带中的最大面上下重叠放在一起，即最省纸．