（课前预习讲义）数学好玩之密铺（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年四年级下册数学重难点培优讲义（北师大版）（含解析）

数学好玩之密铺
图形的密铺
【知识点归纳】
用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
①正多边形密铺：
正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面．
②不可单独密铺的图形：a、所有任意三角形与任意四边形都可以密铺．b、正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺．c、三对对应边平行的六边形可以单独密铺．
一．选择题（共3小题）
1．下面图形中，不能密铺的有（　　）
A． B． C．
2．某商场出售下列几种形状的地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、圆，若只选购其中一种形状进行密铺，可供选择的地砖共有（　　）种。
A．4 B．2 C．3
3．关于密铺的说法正确的是（　　）
A．边数是单数的多边形都不能密铺
B．凡是完全相同的正多边形都可以密铺
C．凡是完全相同的平行四边形都能密铺
二．填空题（共3小题）
4．三角形 　 　密铺，五边形 　 　密铺。（填能或不能）
5．在设计密铺图案时，能单独密铺的图形有 　 　（请写出一种图形）。
6．密铺与图形的内角有关，只要图形的内角能组合成 　 　°，它就可以密铺。
三．判断题（共2小题）
7．一个正多边形，如果几个内角能组成360°，那么这个图形就能密铺．　 　（
8．长方形、三角形、平行四边形、正六边形都可以单独密铺。 　 　
四．操作题（共2小题）
9．请用下面的三角形创作一个密铺的图案．
10．如图是小丁丁未完成的图案，你能接着完成这幅图案吗？
数学好玩之密铺
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【答案】A
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，由线段围成的图形，且围成的多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【解答】解：圆是曲线围成的，不能密铺；
四边形的内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺，长方形、平行四边形都是四边形，都能密铺。
故选：A。
【点评】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。
2．【答案】C
【分析】几何图形镶嵌（密铺）成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。据此解答即可。
【解答】解：正三角形内角和是180°，能整除360°，能密铺；
正方形的内角和是360°，能整除360°，能密铺；
正五边形的内角和是540°，不能整除360°，不能密铺；
正六边形内角和是720°，能整除360°，能密铺；
圆不能密铺。
所以若只选购其中一种形状进行密铺，可供选择的地砖共有3种。
故选：C。
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）知识，结合题意分析解答即可。
3．【答案】C
【分析】A.说法根据等边三角形和正五边形可以密铺判断；
B.说法根据在公共顶点上几个角度数的和正好是360度的角可以密铺，否则不能密铺判断；
C.说法根据完全相同的平行四边形可以密铺解答。
【解答】解：A.因为正五边形和正三角形能密铺，所以原题说法错误；
B.因为公共顶点上几个角度数的和不是360度的角不可以密铺，所以原题说法错误；
C.因为凡是完全相同的平行四边形都能密铺，所以原题说法正确。
故选：C。
【点评】本题考查的是密铺知识的运用，掌握密铺图形的特征是解答关键。
二．填空题（共3小题）
4．【答案】能，不能。
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能整除360°或能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【解答】解：三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺；
五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺。
故答案为：能，不能。
【点评】判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除。
5．【答案】三角形。（答案不唯一）
【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此只要这个图形的内角和能整除360°或被360°整除，则这个图形就能单独密铺。
【解答】解：梯形内角和为360°，360°÷360°＝1，因此梯形可以单独进行密铺。
三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。
平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。
答：在设计密铺图案时，能单独密铺的图形有梯形、三角形、平行四边形。（答案不唯一）
故答案为：三角形。（答案不唯一）
【点评】此题考查的是图形的密铺，应熟练掌握密铺的特点。
6．【答案】360。
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即360°。
【解答】解：密铺与图形的内角有关，只要图形的内角能组合成 360°，它就可以密铺密铺。
故答案为：360。
【点评】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看图形的内角能组合成周角。
三．判断题（共2小题）
7．【答案】见试题解答内容
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．据此解答．
【解答】解：如果一个正多边形的一个内角度数的整数倍是360°，那么这个正多边形就能够密铺，所以单一品种的正多边形只有正三角形、正方形与正六边形才能密铺；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
8．【答案】√
【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能整除360°或能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【解答】解：长方形的内角和是360°，360°÷360°＝1，三角形能单独密铺；
三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能单独密铺；
平行四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，360°÷360°＝1，平行四边形能单独密铺；
正六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°，是360°的倍数，可以单独密铺。
所以长方形、三角形、平行四边形、正六边形都可以单独密铺。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了图形密铺知识，判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除。
四．操作题（共2小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．由于三角形的内角和是180°，即每个角的2倍拼起来刚好围成一个周角．
【解答】解：用下面的三角形创作一个密铺的图案（下图）．
【点评】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．三角形、四边形，正六边形都可以密铺．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．根据密铺的知识可知正六边形可以密铺．
【解答】解：接着完成这幅图案如下：
【点评】本题考查平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．