2024年中考数学二轮复习题型突破课件：构造辅助圆解题(共30张PPT)

(共30张PPT)
构造辅助圆解题
类型1　定点定长构造辅助圆
模型解读：如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则点A，B，C，D在以点O为圆心，OA（或OB，OC，OD）为半径的圆上（本质是依据圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）.
典例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD.若∠CAD＝76°，则∠CBD的度数为 　38°　 .　
典例1图
38°
典例2图
典例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为 　 　 .　

典例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是边AD的中点，N是边AB上的动点，将△AMN沿MN所在的直线折叠，得到△A'MN，连接A'C，则A'C的长的最小值是 　－1　 .　
典例3图
－1
类型2　利用四点构造辅助圆
模型解读：
1. 如图①②，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜边，则A，B，C，D四点共圆，即有公共斜边的两个直角三角形，无论直角顶点在斜边的同侧还是异侧，都可得到四点共圆.
　　
2. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆.
　　
3. 如图④，在四边形ABCD中，若满足其中一组对角之和等于180°，如∠ABC＋∠ADC＝180°，则A，B，C，D四点共圆，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点.
典例4 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD.若∠CAB＝35°，则∠CDB的度数为（　A　）
典例4图
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
A
典例5 如图，在△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB＝，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ长的最大值是 　 　 .
典例5图

典例6 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，求DE长的最小值.
解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于点H.∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝6.∵ PD⊥BC，PE⊥AC，∴ ∠PEC＝∠PDC＝90°.∵ OP＝OC，
∴ OE＝OP＝OC＝OD.∴ C，D，P，E四点在以点O为圆心，OC长为半径的圆上.∴ ∠EOD＝2∠ECD＝120°.∵ OH⊥DE，∴ DH＝EH，∠EOH＝∠DOE＝60°.∴ DE＝2EH＝2OE·sin∠EOH＝OE＝CP.∴ 当CP的值最小时，DE的值最小.根据垂线段最短，可知当CP⊥AB时，CP的长取得最小值，此时CP＝BC·sinB＝3.∴ DE长的最小值为×3＝.
典例6图答案
类型3　定弦对定角构造辅助圆
模型解读：在△ABC中，∠C为定角（∠C＝α），所对的弦AB的长是定长.如图①，当∠C为锐角时，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α的优弧上运动（点O，C在AB的同侧）；如图②，当∠C＝90°时，点C在以AB为直径的圆上运动；如图③，当∠C为钝角时，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α的劣弧上运动（点O，C在AB的异侧）.
典例7 如图，∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于点G，AB＝AE＝4，则BG长的最小值为（　C　）
典例7图
A. 2 B. 2－1
C. 2－2 D.
C
典例8 如图，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且∠AOB＝135°.若AB＝2，则OC长的最小值为 　1＋－　 .
典例8图
1＋－
典例9 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE长的最小值.
解：如图，取AB的中点O，以点O为圆心，OA长为半径画半圆O.
∵ AE⊥BE，∴ 点E在半圆O上，连接CO交半圆O于点E'，则当点E位于点E'的位置时，线段CE的长取得最小值.∵ AB＝4，O为AB的中点，
∴ OA＝OB＝OE'＝2.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°.∵ BC＝6，∴ OC＝＝＝2.∴ CE'＝OC－OE'＝2－2.
∴ 线段CE长的最小值为2－2.
典例9图答案
强化练习
1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，沿AE将正方形进行折叠，使点B落在正方形ABCD内部的点P处，则CP长的最小值是（　C　）
A. 2 B. 2－
C. 2－2 D. 2＋2
第1题
C
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE长的最小值为（　C　）
A. 2－3 B.
C. －2 D.
第2题
C
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3. 如图，在△ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的高，且BC＝DE，BE＝6，则AE的长为（　B　）
A. B. 2
C. D.
第3题
B
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4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，使点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（　B　）
A. 1.5 B. 1.2
C. 2.4 D. 以上都不对
第4题
B
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5. （2023·亳州谯城一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是矩形ABCD内的一点，连接PA，PC，PD.若PA⊥PD，则PC长的最小值为（　C　）
A. 2－4 B. 2－3
C. 2 D. 4
第5题
C
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6. （2023·合肥瑶海一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC为边作等腰直角三角形ACD，连接BD，则BD长的最大值是（　D　）
A. － B. ＋
C. 2 D. ＋
第6题
D
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7. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，P是边AB上的一个动点，连接PD，PE，则PD＋PE的最小值为（　D　）
A. 8 B. 4
C. 8－4 D. 4－4
第7题
D
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8. 如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等.若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是 　130°　 .
第8题
130°
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9. 如图，直尺的宽度为2cm，A，B两点在直尺的一条边上，AB＝8cm，C，D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C，D两点之间的距离为 　4　 cm.
第9题
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10. （2023·合肥模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部的一个动点，且满足∠BCP＝∠PDC.
第10题
（1） 线段BP的长的最小值是 　2　 .
（2） 当BP的长取最小值时，设DP的延长线交线段BC于点E，则CE的长为 　3　 .
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11. 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，连接PA，PB，PC，且满足∠PAB＝∠PBC.
第11题
（1） ∠APB＝ 　90°　 .
（2） 当线段CP最短时，△BCP的面积为 　 　 .　
90°

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12. 如图，四边形ABCD为矩形，BE平分∠ABC，交AD于点F，∠AEC＝90°，连接AC，DE.
（1） 求∠ACE的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠ABC＝90°.又∵ ∠AEC＝90°，∴ ∠ABC＋∠AEC＝180°.∴ A，B，C，E四点共圆.∵ ∠ABC＝90°，BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE＝45°.∴ ∠ACE＝∠ABE＝45°
第12题
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（2） 求证：BE⊥ED.
解：（2） 连接BD.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ A，B，C，D四点共圆，并且BD为直径.又∵ A，B，C，E四点共圆，∴ A，B，C，D，E五点共圆，且BD为直径.
∴ ∠BED＝90°，即BE⊥ED
第12题
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