2024年中考数学二轮复习题型突破课件：两个特殊四边形的综合题(共25张PPT)

(共25张PPT)
两个特殊四边形的综合题
类型1　已知一个特殊四边形，判断另一个四边形为特殊四边形的证明题
方法指导：解答此类题，一般应根据已知特殊四边形的性质得出边或角的关系，再结合相关数学知识，将其转化为能够使结论成立的边或角的条件，进而推理判断，得出结论.
典例1 （2023·黄山黟县模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
典例1图
（1） 求证：四边形EBFD是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD.∵ AE＝CF，∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴ 四边形EBFD是平行四边形.
（2） 若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC.∴ ∠BAC＝∠DCA.∵ ∠BAC＝∠DAC，∴ ∠DCA＝∠DAC.∴ DC＝DA.∴ 四边形ABCD为菱形.∴ DB⊥EF.又由（1）知，四边形EBFD是平行四边形，∴ 四边形EBFD是菱形.
典例1图
典例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC，交OE的延长线于点F，连接AF.
典例2图
（1） 求证：△AOE≌△DFE.
解：（1） ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE.∵ DF∥AC，
∴ ∠OAE＝∠FDE.又∵ ∠AEO＝∠DEF，
∴ △AOE≌△DFE.
（2） 判断四边形AODF的形状，并说明理由.
解：（2） 四边形AODF为矩形.理由：
∵ △AOE≌△DFE，∴ AO＝DF.又∵ DF∥AC，∴ 四边形AODF为平行四边形.∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC⊥BD.∴ ∠AOD＝90°.∴ 四边形AODF为矩形.
典例2图
类型2　已知一个特殊四边形，解题过程中需要证明另一个四边形为特殊四边形的综合题
方法指导：此类题往往并未指明要求证某个四边形为特殊四边形，但必须先证明某个四边形为特殊四边形才能达到解题目的，即隐含了要先证明某个四边形是特殊四边形的过程.解题时应善于分析，探究发现某个四边形是特殊四边形，从而找到解题途径.
典例3 （2023·滁州凤阳二模）如图，A是菱形BDEF的对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于点O.
典例3图
（1） 求证：AC＝BD.
解：（1） ∵ BC∥FD，CD∥BE，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ 四边形BDEF是菱形，
∴ FD⊥BE.∴ ∠BAD＝90°.∴ 四边形ABCD是矩形.
∴ AC＝BD.
（2） 若BE＝10，DF＝24，求AC的长.
解：（2） ∵ 四边形BDEF是菱形，BE＝10，DF＝24，∴ AF＝AD＝12，AB＝AE＝5，BE⊥DF.
∴ ∠BAD＝90°.在Rt△BAD中，由勾股定理，得BD＝＝＝13.∴ AC＝BD＝13.
典例3图
典例4 如图，在 ABCD中，P为对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，PM＝DC，连接BM，CM，BP，PD.
典例4图
（1） 求证：△ADP≌△BCM.
解：（1） ∵ PM∥DC，PM＝DC，∴ 四边形CDPM是平行四边形.∴ PD＝MC.∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC.又∵ PM∥DC，PM＝DC，∴ AB∥PM，AB＝PM.∴ 四边形ABMP是平行四边形.
∴ AP＝BM.∴ △ADP≌△BCM.　
典例4图
（2） 若PA＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BMCP的面积为T，求的值.
解：（2） ∵ 由（1）知，△ADP≌△BCM，∴ S△ADP＝S△BCM.∴ S四边形BMCP＝S△BCM＋S△BCP＝S△ADP＋S△BCP＝S ABCD.∵ PA＝PC，∴ S△ABP＝S△ABC＝S ABCD.∴ S＝S ABCD，T＝S ABCD.∴ 的值为＝.
类型3　已知两个特殊四边形的综合题
方法指导：此类题综合性较强，一般应先将两个已知特殊四边形的性质挖掘出来，转化为能够计算或证明问题的边或角的条件，进而推理计算，得出问题的结论.
典例5 如图，在 ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEHF是矩形.若AB＝5，AD＝8，则BD的长为（　A　）
典例5图
A
A. B. C. 8 D.
[思路点拨] 连接GH，先证四边形GABH是平行四边形，由平行四边形和矩形的性质求出EF的长，进而由△EFH∽△CBF求出BF的长；再证△ABE≌△CDF，可得BE＝DF.从而由BD＝BF＋DF可得答案.
典例6 （2023·滁州二模）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝9，AD＝6，E为边AB上一动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC，EF为邻边构造 EFGC，连接EG交DC于点O.当EG的长最小时，AE的长为（　B　）
典例6图
B
A. B. 1
C. 2 D. 1＋
[思路点拨] 过点A作AM⊥CD，交CD于点M.先证当OE的长最小时，EG的长最小，此时OE⊥AB；再证AE＝OM，将问题转化为求DO，DM的差.而DO的长可由△DOE∽△COG而求得，DM的长可在Rt△ADM中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半而求得.
强化练习
1. 如图，P为线段AB上一点（不与点A，B重合），分别以AP，PB为边在线段AB同侧作正方形APCD，正方形PBEF.设∠CBE＝α，则∠AFP的度数为（　B　）
A. 2α B. 90°－α
C. 45°＋α D. 90°－α
第1题
B
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5
6
2. 如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上.若AB＝1，AD＝2，则为（　D　）
A. 1 B.
C. D.
第2题
D
1
2
3
4
5
6
3. （2023·阜阳模拟）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1，则CF的长为（　A　）
A. ＋ B. 2
C. 4 D. ＋
第3题
A
1
2
3
4
5
6
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　C　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
第4题
C
1
2
3
4
5
6
5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°，P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为 　72　 .　
第5题
72
1
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4
5
6
6. （2023·兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
第6题
（1） 判断四边形OCDE的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形OCDE是菱形　理由：∵ CD∥OE，∴ ∠FDC＝∠FOE.∵ CE是线段OD的垂直平分线，∴ FD＝FO，ED＝EO，CD＝CO.在△FDC和△FOE中，
∵ ∴ △FDC≌△FOE.∴ CD＝EO.又∵ ED＝EO，CD＝CO，∴ ED＝EO＝CD＝CO.∴ 四边形OCDE是菱形.
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（2） 当CD＝4时，求EG的长.
（2） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO.
∵ CE是线段OD的垂直平分线，∴ CD＝CO.∴ CD＝CO＝DO.∴ △ODC为等边三角形.∴ DO＝CD＝4，∠ODC＝60°.∴ DF＝DO＝2.在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，CD＝4，DF＝2，∴ 由勾股定理，得CF＝＝2.由（1）知，四边形OCDE是菱形，∴ EF＝CF＝2.∵ ∠GDF＝∠CDA－∠ODC＝90°－60°＝30°，∠DFG＝90°，
∴ tan∠GDF＝.∴ GF＝DF·tan∠GDF＝2tan30°＝.∴ EG＝EF－GF＝2－＝　
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