2024年中考数学二轮复习题型突破课件：与角平分线有关的辅助线问题(共24张PPT)

(共24张PPT)
与角平分线有关的辅助线问题
类型1　作垂线
模型解读：如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PA＝PB，△OAP≌△OBP.
典例1 如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，CE∥AO交OB于点E，OE＝20cm，求CD的长.
解：如图，过点C作CF⊥OB，垂足为F.∵ OC平分∠AOB，CD⊥OA，∴ ∠EOC＝∠AOC＝15°，CF＝CD.∵ CE∥AO，∴ ∠ECO＝∠AOC＝15°.∴ ∠ECO＝∠EOC.∴ OE＝CE＝20cm.∵ ∠FEC＝∠EOC＋∠ECO＝30°，∴ CF＝CE＝×20＝10（cm）.∴ CD＝10cm.
典例1图答案
典例2 如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E.求证：AC平分∠DAB.
解：如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.∵ CE⊥AD，
∴ ∠DEC＝∠F＝90°.∵ ∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴ ∠D＝∠CBF.在△CDE和△CBF中，∵
∴ △CDE≌△CBF.∴ CE＝CF.∴ AC平分∠DAB.
典例2图答案
类型2　作平行线
模型解读：如图，P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则OQ＝PQ，△POQ为等腰三角形.
典例3图
典例3 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，则的值为 　2　 .
2
典例4 如图，在△AOB中，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，D为OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E.若DE＝4，求OE的长.
典例4图答案
解：∵ ∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴ ∠AOC＝∠BOC＝15°.如图，过点D作DF∥OB，交OA于点F.∴ ∠FDO＝∠BOC＝15°.∴ ∠FDO＝∠FOD＝15°.∴ OF＝DF，∠DFE＝∠FDO＋∠FOD＝15°＋15°＝30°.∴ 在Rt△DEF中，DF＝2DE＝2×4＝8，EF＝DE＝×4＝4.∴ OF＝8.∴ OE＝OF＋EF＝8＋4.
典例5 如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于点E.若∠BDA＝90°，E是AD的中点，AB＝5，求AC的长.
解：如图，延长AC，BD交于点F，过点D作DG∥AF，交BC于点G，则∠DGE＝∠ACE.∵ E是AD的中点，∴ DE＝AE.在△DGE和△ACE中，∵ ∴ △DGE≌△ACE.∴ DG＝AC.∵ AD平分∠CAB，∴ ∠BAD＝∠FAD.∵ ∠BDA＝90°，∴ ∠FDA＝90°＝∠BDA.又∵ AD＝AD，∴ △BAD≌△FAD.∴ AB＝AF＝5，BD＝FD.∵ DG∥AF，∴ DG是△BCF的中位线.∴ CF＝2DG.∴ AF＝AC＋CF＝3DG＝3AC.∴ AC＝AF＝.
典例5图答案
类型3　构造轴对称图形
模型解读：如图①，P是∠MON的平分线上一点.若AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角形.
如图②，P是∠MON的平分线上一点，点A在边OM上.若在边ON上截取OB＝OA，连接AP，BP，则△AOP≌△BOP.
　　　
典例6 如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD.求证：BC＝AB＋CE.
解：如图，在BC上截取BF＝AB，连接DF.∵ BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°，∴ ∠1＝∠2＝20°.在△ABD　和　△FBD　中，
∵ ∴ △ABD≌△FBD.∴ DA＝DF，∠A＝∠BFD.∵ DE＝AD，∴ DE＝DF.又∵ ∠A＝100°，∠ABC＝40°，∴ ∠ACB＝40°，∠DFC＝180°－∠BFD＝80°.∴ ∠FDC＝60°.∵ ∠EDC＝∠ADB＝180°－∠1－∠A＝180°－20°－100°＝60°，∴ ∠EDC＝∠FDC.又∵ CD＝CD，∴ △DCE≌△DCF.∴ CE＝CF.∴ BC＝BF＋CF＝AB＋CE，即BC＝AB＋CE.
典例6图答案
强化练习
1. 如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C.若PD＝3，则OC的长为（　D　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
第1题
D
1
2
3
4
5
6
7
2. 如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD.有下列结论：① ∠AED＝90°；② ∠ADE＝∠CDE；③ DE＝BE；④ AD＝AB＋CD.其中，正确的是（　A　）
A. ①②④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①③
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图，OC平分∠AOB，D，F分别是OC，OB上的点，点E，G在OA上.若OF＝13，OE＝18，OG＝10，△ODF的面积是26，则△DEG的面积是 　16　 .
第3题
16
1
2
3
4
5
6
7
4. 如图，∠ADE＝∠BDE＝15°，EF∥DB，EC⊥DB于点C.若EC＝，则EF的长为 　2 　 .
第4题
2
1
2
3
4
5
6
7
5. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD的边AD上的中线.若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　7.5　 .
第5题
7.5
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图，D是∠EAF平分线上的一点.若∠ACD＋∠ABD＝180°，求证：CD＝BD.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于点M，交AF于点N，则∠CMD＝∠BND＝90°.∵ AD是∠EAF的平分线，∴ DM＝DN.
∵ ∠ACD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠MCD＝180°，∴ ∠MCD＝∠NBD.在△CDM和△BDN中，∵ ∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴ △CDM≌△BDN.∴ CD＝BD
第6题答案
第6题答案
1
2
3
4
5
6
7
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∠BAC与∠ABC的平分线AD与BE交于点F.求证：AB＋BD＝AE＋BE.
1
2
3
4
5
6
7
解：∵ ∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∴ ∠C＝180°－（∠BAC＋∠ABC）＝180°－（60°＋80°）＝40°.∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠EBC＝∠ABC＝40°.∴ ∠C＝∠EBC.∴ BE＝EC.如图，过点D作DH∥BE，交AC于点H，则∠HDC＝∠EBC＝40°.∴ ∠HDC＝∠C.
∴ HD＝HC.∴ ∠AHD＝∠HDC＋∠C＝40°＋40°＝80°.∴ ∠ABD＝∠AHD.∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠BAD＝∠HAD.在△ABD和△AHD中，∵ ∴ △ABD≌△AHD.∴ AB＝AH，BD＝HD.∵ HD＝HC，∴ BD＝HC.∴ AB＋BD＝AH＋HC＝AC.又∵ BE＝EC，∴ AE＋BE＝AE＋EC＝AC.∴ AB＋BD＝AE＋BE
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7