2024年中考数学二轮复习突破课件：专题三 多解问题(共57张PPT)

(共57张PPT)
专题三 多解问题
类型1　特殊三角形中的多解题
考向1：与等腰三角形相关的分类讨论
典例1 （2023·阜阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B，DE与AC交于点E.
典例1图
（1） 求证：△ABD∽△DCE.
（2） 若∠B＝40°，当∠ADB的度数为多少时，△ADE是等腰三角形？
[思路点拨] （1） 根据三角形外角的性质证明∠BAD＝∠CDE，再根据等腰三角形的性质证明∠B＝∠C，即可证明△ABD∽△DCE.（2） 分三种情况：DA＝DE；AD＝AE；EA＝ED.根据等腰三角形的性质分别求出∠ADB的度数即可.
解：（1） ∵ ∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴ ∠BAD＝∠CDE.∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.
∴ △ABD∽△DCE.
典例1图
（2） 当DA＝DE时，∠DEA＝∠DAE.∵ ∠ADE＝∠B＝∠C＝40°，
∴ ∠DAE＝∠DEA＝×（180°－40°）＝70°.∴ ∠ADB＝∠DAE＋∠C＝110°.当AD＝AE时，∠DEA＝∠ADE＝∠B＝40°＝∠C.此时点D与点B重合，不合题意.当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝∠B＝40°.∴ ∠ADB＝∠EAD＋∠C＝80°.综上所述，当∠ADB的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形.
典例1图
跟踪训练
1. （2023·芜湖无为模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（3，0）.若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 　（3－，0）或（3＋，0）或（－1，0）或　　 .
第1题
（3－，0）或（3＋，0）或
（－ 1，0）或　
1
2
3
4
5
6
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8
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24
2. （2023·滁州定远模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝5，P为△ABC内一动点.过点P作PD⊥AC于点D，延长DP交AB于点E，连接BP，CP.若△BCP为等腰三角形，且S△PBC＝，求DP的长.
第2题
解：∵ S△PBC＝BC·CD＝，BC＝5，∴ CD＝3.∴ AD＝AC－CD＝6.∵ PD⊥AC，∴ ∠EDA＝90°＝∠ACB.∴ DE∥BC. ∴ △ADE∽△ACB.∴ ＝.∴ ＝.∴ DE＝.如图，过点P作PF⊥BC于点F，则∠PFC＝∠ACB＝∠CDE＝90°.∴ 四边形CDPF是矩形.∴ PF＝CD＝3，DP＝CF.① 如图①，当PB＝BC＝5时，在Rt△PBF中，BF＝＝4.∴ DP＝CF＝BC－BF＝1.∵ DP＜DE.∴ 点P在线段DE上，符合题意.
　 　
第2题答案
第2题
② 如图②，当PC＝PB时，DP＝CF＝BC＝×5＝.∵ DP＜DE，∴ 点P在线段DE上，符合题意.③ 如图③，当PC＝BC＝5时，在Rt△CFP中，CF＝＝4.∵ CF＞DE，∴ 点P不存在.综上所述，DP的长为1或.
　 　
第2题答案
第2题
考向2：与直角三角形相关的分类讨论
典例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将∠B翻折使得点B落在边AC上的点D处，折痕交BC于点E，交AB于点F，设CD＝x，BE＝y.
典例2图
（1） 写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围.
（2） 若△ADF为直角三角形，求x的值.
[思路点拨] （1） 根据折叠的性质得到DE＝BE，根据勾股定理列式计算，得到答案；（2） 分∠ADF＝90°，∠AFD＝90°两种情况，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值.
解：（1） ∵ BE＝y，BC＝2，∴ CE＝2－y.由折叠的性质，可知DE＝BE＝y.在Rt△DCE中，∵ CD2＋CE2＝DE2，∴ x2＋（2－y）2＝y2.整理，得y＝x2＋1（0＜x＜2）.
典例2图
（2） 在Rt△ABC中，∵ ∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴ AB＝2BC＝4.由勾股定理，得AC＝＝＝2.∴ AD＝AC－CD＝2－x.由折叠的性质，可知DF＝BF.∴ AF＝4－DF.当∠ADF＝90°时，∵ ∠A＝30°，∴ AF＝2DF，即4－DF＝2DF.∴ DF＝.∴ AD＝DF＝.∴ 2－x＝，解得x＝.当∠AFD＝90°时，∵ ∠A＝30°，∴ AD＝2DF.在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＋AF2＝AD2，即DF2＋（4－DF）2＝（2DF）2，解得DF＝2－2或DF＝－2－2（不合题意，舍去）.∴ AD＝4－4.∴ 2－x＝4－4，解得x＝4－2.综上所述，若△ADF为直角三角形，则x的值为或4－2.
典例2图
跟踪训练
3. 如图，平面直角坐标系中有点A（－1，0），B（1，2）.若在坐标轴上存在点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　C　）
A. 2个 B. 4个
C. 6个 D. 7个
第3题
C
4. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，M是线段CO的延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 　或　　 .
第4题
或　
类型2　对应关系不确定
考向1：全等三角形中的对应关系不确定
典例3 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点，点P以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以相同的速度由点C向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动.当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间.
典例3图
[思路点拨] 当△BPD与△CQP全等时，根据∠B＝∠C可知B和C是对应顶点，但这两个角的两边的对应关系不确定，应分两种情况讨论：① BD与CP是对应边；② BD与CQ是对应边.
解：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC.设点P，Q的运动时间为ts，则BP＝3tcm，CQ＝3tcm.∵ AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点，∴ BD＝AB＝×10＝5（cm），PC＝（8－3t）cm.① 当BD与CP是对应边时，△BPD≌△CQP.∴ BD＝CP，BP＝CQ.∴ 5＝8－3t，3t＝3t，解得t＝1.② 当BD与CQ是对应边时，△BPD≌△CPQ.∴ BD＝CQ，BP＝CP.∴ 5＝3t，3t＝8－3t，无解.综上所述，当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1s.
典例3图
跟踪训练
5. 如图，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（0，2）.若在y轴的右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为 　（1，0）或（1，2）　 .
第5题
（1，0）或
（1，2）
6. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝4，AP⊥AC于点A，点D，E分别在AC和AP上运动，且DE＝AB，当AD＝ 　8或4　 时，△ADE和△ABC全等.
第6题
8或4
考向2：相似三角形中的对应关系不确定
典例4 如图，正方形ABCD的边长为6，F为AB的中点，点E在AD上，且ED＝2AE，在边CD上找一点P，连接EP，使△DEP与△AEF相似，则DP的长为 　6或　 .　
典例4图
[思路点拨] 分△AEF∽△DEP和△AEF∽△DPE两种情况，利用相似三角形的性质求解即可.
6或
跟踪训练
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E为线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为 　2或　　 .
第7题
2或　
8. 如图，CD＝1，AE＝2，CE＝4，∠A＝∠ECD，点B在AC的延长线上，当△BCD与△ACE相似时，BC的长为 　2或　　 .
第8题
2或　
类型3　点的位置不确定
考向1：与三角形相关的点的位置不确定
典例5 如图，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，其中D是射线BC上一动点（点D不与点B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为 　135°或45°　 .　
典例5图
135°或45°
[思路点拨] 分两种情况讨论：① 当点D在线段BC上时；② 当点D在线段BC的延长线上时.过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可求出∠DCE的度数.
跟踪训练
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点C在直线l上.点P从点A出发，在△ABC的边上沿A→C→B向终点B运动，点Q从点B出发，在△ABC的边上沿B→C→A向终点A运动.点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.在运动过程中，若有一点先到达终点，则该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，则当点P的运动时间为 　1秒或秒或6秒　 时，△PEC与△CFQ全等.
1秒或秒或6秒
第9题
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点，F为AC上的动点，将△ADF沿直线DF折叠得到△EDF.若DE与△ABC的边垂直，则AF的长是多少？
第10题
解：在Rt△ABC中，∵ ∠A＝30°，BC＝2，∴ AB＝4，AC＝2.∵ D为AB的中点，∴ AD＝BD＝2.如图①，当DE⊥AC时，∠DGA＝90°.由折叠可知，∠A＝∠E＝30°，AD＝ED＝2，EF＝FA.∵ ∠DGA＝90°，∴ ∠ADE＝60°，AG＝AD·cosA＝.∵ ∠EDF＝∠ADF，∴ ∠EDF＝30°＝∠E.∴ DF＝EF＝FA.∴ FG＝EF＝AF.∴ AG＝AF＋FG＝AF＋AF＝.∴ AF＝.
第10题答案
第10题
如图②，当DE⊥AB时，∠ADE＝90°.由折叠可知，∠ADF＝∠EDF＝45°，∠A＝∠E＝30°.∴ ∠AGD＝60°，∠EFG＝30°＝∠E.∴ GE＝GF.在Rt△ADG中，AD＝2，DG＝AD·tan30°＝，AG＝＝.∴ GF＝GE＝DE－DG＝AD－DG＝2－. ∴ AF＝AG－GF＝－2＋＝2－2.
第10题答案
第10题
如图③，当DE⊥BC时，
∵ AC⊥BC，∴ DE∥AC.∴ ∠E＝∠EFC.由折叠可知，AD＝DE＝2，∠E＝∠A.∴ ∠EFC＝∠A.∴ EF∥AD.又∵ DE∥AF，∴ 四边形ADEF是平行四边形.∴ AF＝DE＝2.综上所述，AF的长为或2－2或2.
第10题答案
第10题
考向2：与四边形相关的点的位置不确定
典例6 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AD的中点，连接BE，在线段BE上有一点P，如果点P到正方形一边的距离为1，那么PE的长为 　或或　 .　
或或
典例6图
[思路点拨] 由勾股定理易得BE＝＝2，由条件结合图形分类讨论，再利用平行线分线段成比例列出关系式，代入数值求解即可.
跟踪训练
11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝18cm，点P在边AD上以3cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以2cm/s的速度从点C向点B运动.若P，Q两点同时出发，则当直线PQ在四边形ABCD的内部截出一个平行四边形时，点P运动的时间为 　2.4s或3.6s　 .
第11题
2.4s或3.6s
12. 如图，在矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24，E为边DC上的一个动点，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在点D'处，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　 .
第12题
9或18
考向3：与圆相关的点的位置不确定
典例7 如图，PM，PN分别与☉O相切于点A，B，∠P＝58°.若C为☉O上异于A，B的一点，连接AC，BC，则∠ACB的度数是 　61°或119°　 .
典例7图
61°或119°
[思路点拨] 连接OA，OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，进而求出∠AOB的度数，分点C在优弧AB上和点C在劣弧AB上这两种情况进行讨论，并根据圆周角定理计算即可.
跟踪训练
13. 如图，在☉O中，半径OA垂直于弦BC.若∠AOB＝60°，D为☉O上一点，则∠ADC的度数为 　30°或150°　 .　
第13题
30°或150°
14. 如图，AB是☉O的直径，AB＝2，直线l与☉O相切于点C，且l∥AB.在直线l上取一点D，连接AD交☉O于点E.若AE＝DE，求CD的长.
第14题
解：① 如图①，当点D在点C的左侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F.∵ AB是☉O的直径，∴ ∠AEB＝90°，即BE⊥AD.∵ AE＝DE，∴ BD＝BA＝2.∵ l与☉O相切于点C，∴ OC⊥l.∵ l∥AB，
∴ OC⊥AB.又∵ BF⊥l，∴ ∠OCF＝∠COB＝∠BFC＝90°.∴ 四边形OCFB为矩形.∵ OB＝OC，∴ 四边形OCFB为正方形.∴ CF＝BF＝OC＝1.∴ DF＝＝.∴ CD＝DF－CF＝－1.
第14题答案
第14题
② 如图②，当点D在点C的右侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F.∵ AB是☉O的直径，∴ ∠AEB＝90°，即BE⊥AD.∵ AE＝DE，∴ BD＝BA＝2.∵ l与☉O相切于点C，∴ OC⊥l.∵ l∥AB，∴ OC⊥AB.∵ BF⊥l，∴ ∠OCF＝∠COB＝∠BFC＝90°.∴ 四边形OCFB为矩形.∵ OB＝OC，
∴ 四边形OCFB为正方形.∴ CF＝BF＝OC＝1.∴ DF＝＝.∴ CD＝DF＋CF＝＋1.综上所述，CD的长是＋1或－1.
第14题答案
第14题
强化练习
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到点B，则当点P出发 　2.5或4　 s时，△ACP是等腰三角形.
第1题
2.5或4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 如图，在正方形ABCD中，边长为6，E是边CD的中点，对角线BD上有一动点F，则当△ABF与△DEF相似时，BF的长为 　6或8　 .　
第2题
6或8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－12，5），过点A作AB⊥x轴于点B，C是x轴负半轴上的一个动点，D是y轴正半轴上的一个动点，且始终保持CD＝OA，则当点D的坐标为 　（0，12）或（0，5） 时，△ABO与△OCD全等.
第3题
（0，12）或（0，5）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD是边BC上的高，E是射线AC上的动点，连接BE，交直线AD于点P，则当△ADE是等腰三角形时，AP的长为 　或24－12或　 .
第4题
或24－12或
1
2
3
4
5
6
7
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13
5. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝50°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，则当C'D平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 　65°或120°　 .
第5题
65°或120°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，AE是△ABC的中线，动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿A→C→E运动，最终到达点E，则当点P运动 　或　 s时，△APE的面积为9cm2.
第6题
或
1
2
3
4
5
6
7
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13
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D→A运动，则当点P运动 　1或7　 秒时，△ABP和△DCE全等.
第7题
1或7
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
8. 如图，∠AOB＝60°，半径为3cm的☉P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为C，☉P移动到与边OB相交于点E，F.若EF＝4cm，则OC的长为 　或　 cm.
第8题
或
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
9. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别为边AC，BC上的点，将△CDE沿DE折叠，使点C的对应点C'落在射线CA上，连接BC'，则当Rt△ABC'的某一直角边的长等于斜边BC'长的一半时，CD的长为 　 或　 .
第9题
或
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
10. 如图，矩形ABCD的边AB的长为6，将△ACD沿对角线AC翻折得到△ACD'，CD'与AB交于点E，再以CD'为折痕，将△BCE进行翻折，得到△B'CE.若两次翻折后，点B'恰好落在△ACD的边上，则AD的长为 　2或6－6　 .
第10题
2或6－6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，点E在边AD上运动，将△CDE沿CE折叠，使点D落在点D'处.若△CDE有两条边存在2倍的数量关系，则点D'到AD的距离为 　2或或6　 cm.
第11题
2或或6
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
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13
12. 如图，D是等边三角形ABC内的一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠ADB＝α，△ABD≌△ACE.
（1） 求证：△ADE是等边三角形.
解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠BAC＝60°.
∵ △ABD≌△ACE，∴ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴ ∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠DAE＝60°.
∴ △ADE是等边三角形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
（2） 若△CDE是直角三角形，求α的度数.
解：（2） ∵ △ABD≌△ACE，∴ ∠AEC＝∠ADB＝α.
∵ △ADE是等边三角形，∴ ∠AED＝∠ADE＝60°.
∴ ∠CED＝α－60°，∠CDE＝360°－130°－α－60°＝170°－α.∴ ∠DCE＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－（α－60°）－（170°－α）＝70°.当∠CED＝90°时，α－60°＝90°，
∴ α＝150°.当∠CDE＝90°时，170°－α＝90°，∴ α＝80°.综上所述，α的度数为150°或80°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
13
13. 如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝4，BC＝12，点P的坐标为（a，6）.
（1） 求点A，C的坐标.
解：（1） ∵ OA＝OB＝4，BC＝12，∴ 点A的坐标为（0，4），OC＝12－4＝8.∴ 点C的坐标为（8，0）
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：（2） 存在　∵ 点P的坐标为（a，6），∴ 点P在直线y＝6上运动.分两种情况讨论：① 如图①，当点P在y轴左侧时，a＜0，连接OP.∵ S△PAB＝S△BOP＋S△OAP－S△AOB，S△PAB＝S△ABC，∴ ×4×6＋×4×（－a）－×4×4＝×12×4，解得a＝－10.∴ 点P的坐标为（－10，6）.② 如图②，当点P在y轴右侧时，a＞0，连接OP.∵ S△PAB＝S△AOB＋SAOP－S△BOP，S△PAB＝S△ABC，∴ ×4×4＋×4×a－×4×6＝×12×4，解得a＝14.∴ 点P的坐标为（14，6）.综上所述，存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，点P的坐标为（－10，6）或（14，6）
1
2
3
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