2024年中考数学二轮复习突破课件：专题四 二次函数综合题(共63张PPT)

(共63张PPT)
专题四 二次函数综合题
类型1　与线段有关的问题（含最值）
典例1 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B（－4，0），C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，－4）.
　　　
典例1图
（1） 求该抛物线对应的函数表达式.
（2） 如图②，作直线AB，P是直线AB下方抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D.求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标.
（3） 在（2）中PD＋PE取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移2个单位，P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P'，A'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.
[思路点拨] （1） 将A（0，－4），B（－4，0），C（1，0）代入y＝ax2＋bx＋c即可建立方程组求解.（2） 先求出直线AB对应的函数表达式，设点P的坐标为（t，t2＋3t－4），则点E的坐标为（t，－t－4）.建立PD＋PE与t之间的函数表达式即可求解.（3） 根据平移确定新抛物线对应的函数表达式，进而可求出点A'的坐标，以平行四边形的对角线为切入点，根据“平行四边形的对角线互相平分”即可求解.
解：（1） 根据题意，得抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，－4），B（－4，0），C（1，0），∴ 该抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋3x－4.
典例1图
（2） 设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b1.∵ 点A（0，－4），B（－4，0）在直线AB上，∴ 解得∴ 直线AB对应的函数表达式为y＝－x－4.∵ PE∥y 轴，且PD⊥AB，∴ 易得∠DPE＝∠ABC.∴ PD＝PE·cos∠DPE＝PE·cos∠ABC.∵ OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴ ∠ABC＝45°.∴ PD＝PE.∴ PD＋PE＝PE＋PE＝PE.
设点P的坐标为（t，t2＋3t－4），－4＜t＜0，则点E的坐标为（t，－t－4）.∴ PE＝－t－4－t2－3t＋4＝－t2－4t＝－（t＋2）2＋4.∴ 当t＝－2时，PE的长取得最大值4，此时PE取得最大值2＋4，点P的坐标为（－2，－6）.∴ PD＋PE的最大值为4＋2，此时点P的坐标为（－2，－6）.
（3） ∵ 将抛物线y＝x2＋3x－4向左平移2个单位得抛物线y＝（x＋2）2＋3（x＋2）－4＝x2＋7x＋6，∴ 新抛物线的对称轴是直线x＝－＝－.在y＝x2＋7x＋6中，令x＝0，得y＝6.∴ 点A'的坐标为（0，6）.将点P（－2，－6）向左平移2个单位得点P'（－4，－6）.设点M，N（r，r2＋7r＋6）.分三种情况讨论：
① 当A'P'， MN为对角线时，A'P'，MN 的中点重合，∴ 解得r＝－.∴ 点N的坐标为.② 当A'M，P'N为对角线时，A'M，P'N的中点重合，∴ 解得r＝.∴ 点N的坐标为.
③ 当A'N，P'M为对角线时，A'N，P'M的中点重合，解得r＝－.∴ 点N的坐标为.综上所述，符合条件的点N的坐标为或或.
跟踪训练
1. （2023·合肥庐江二模）如图，直线m：y＝b和直线n：y＝x－b分别与y轴交于点A，B，顶点为C的抛物线L：y＝－x2＋bx与x轴的右交点为D.
（1） 若AB＝8，求b的值和抛物线L的对称轴.
解：（1） 在y＝x－b中，令x＝0，得y＝－b.∴ 点B（0，－b）.∵ AB＝8，点A（0，b），∴ b－（－b）＝8，解得b＝4.∴ 抛物线L对应的函数表达式为y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4.∴ 抛物线L的对称轴为直线x＝2.
第1题
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（2） 当顶点C在直线m下方时，求顶点C到直线m的距离的最大值.
解：解：（2） ∵ y＝－x2＋bx＝－＋，∴ 抛物线L的顶点C的坐标为.∵ 点C在直线m下方，
∴ 点C到直线m的距离为b－＝－（b－2）2＋1.∵ －＜0，∴ 当b＝2时，b－取得最大值1.∴ 顶点C到直线m距离的最大值为1.
第1题
（3） 在抛物线L和直线n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当b＝2023时，求“整点”的个数.
解：解：（3） 当b＝2023时，抛物线L对应的函数表达式为y＝－x2＋2023x，直线n对应的函数表达式为y＝x－2023.令－x2＋2023x＝x－2023，即x2－2022x－2023＝0，解得x1＝－1，x2＝2023.∵ 对y＝－x2＋2023x和y＝x－2023，每一个整数x的值都对应一个整数y的值，且－1和2023之间（不包括－1和2023）共有2023个整数，∴ “整点”的个数为2023×2＋2＝4048.
第1题
类型2　与面积有关的问题（含最值）
典例2 （2023·芜湖一模）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（－1，0），直线y＝kx＋3经过点B，C.
典例2图
（1） 抛物线对应的函数表达式为 　y＝－x2＋2x＋3　 ，直线BC对应的函数表达式为 　y＝－x＋3　 .
（2） D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD.设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S关于m的函数表达式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值.
（3） 已知M为抛物线对称轴上的一个动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标.
y＝－x2＋2x＋3
y＝－x＋3
[思路点拨] （1） 根据直线y＝kx＋3经过点C，点C在y轴上，可求得点C的坐标，从而得到c的值，将点A的坐标代入抛物线对应的函数表达式即可求解.再求出点B的坐标，从而求得直线BC对应的函数表达式.（2） 根据题意，可得点D（m，－m2＋2m＋3），E（m，－m＋3），则DE＝－m2＋3m.再由S△BCD＝DE·OB求出S关于m的函数表达式，由二次函数的性质即可求出S的最大值.（3） 分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可.
解：（2） 由题意可知，点D（m，－m2＋2m＋3），E（m，－m＋3）.∴ DE＝（－m2＋2m＋3）－（－m＋3）＝－m2＋3m.由B（3，0）可知，OB＝3.∵ S△BCD＝DE·OB，∴ S＝（－m2＋3m）＝－m2＋m＝
－＋（0＜m＜3）.∵ －＜0，∴ 当m＝时，S有最大值，最大值为.∴ S关于m的函数表达式为S＝－m2＋m（0＜m＜3），S的最大值为.
典例2图
（3） 抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1.根据题意，设点M（1，a），则MB2＝a2＋4，MC2＝1＋（a－3）2，BC2＝18.① 当MC是斜边时，MC2＝MB2＋BC2，即1＋（a－3）2＝a2＋4＋18，解得a＝－2.∴ 点M（1，－2）.② 当MB是斜边时，MB2＝MC2＋BC2，即a2＋4＝1＋（a－3）2＋18，解得a＝4.∴ 点M（1，4）.综上所述，点M的坐标为（1，－2）或（1，4）.
典例2图
跟踪训练
2. （2023·滁州来安二模）如图①，一块钢板截面的一边为线段AB，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，现沿线段BC将这块钢板分成甲、乙两部分，以边AB所在直线为x轴，经过点C且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点.已知OA＝2米，OB＝8米，OC＝6米.
　　　　 　　　 　
第2题
（1） 求曲线ACB所在抛物线对应的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）.
解：（1） ∵ OC＝6米，∴ 可设曲线ACB所在抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋6.∵ OA＝2米，OB＝8米，∴ 点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（8，0）.∵ 点A，B在曲线ACB所在的抛物线上，
∴ 解得∴ 曲线ACB所在抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6.
（2） 如图②，在这块钢板的甲部分中截取一个矩形DEFG，其中D为BC的中点，点E，F均在线段AB上，点G在曲线AC上.求EF的长.
解：（2） ∵ 点B（8，0），C（0，6），D为BC的中点，∴ 点D的坐标为（4，3）.∴ 点E的坐标为（4，0）.当y＝3时，－x2＋x＋6＝3，解得x1＝3＋，x2＝3－.∴ 结合题图可知，点G的横坐标为3－.∵ 四边形DEFG是矩形，∴ DE⊥x轴，GF⊥x轴.∴ 点F的坐标为（3－，0）.∴ EF＝4－（3－）＝（＋1）米.
（3） 如图③，在这块钢板的乙部分中截取一个△PBC，其中点P在曲线BC上，记△PBC的面积为S平方米.求S的最大值.
解：（3） 设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋c（k≠0）.∵ 点B（8，0），C（0，6）在直线BC上，∴ 解得
∴ 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋6.
∵ 点P在抛物线上，∴ 设点P的坐标为，0＜m＜8.如图③，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点Q，则PH∥y轴，点Q的坐标为（m，－m＋6）.∴ QP＝－m2＋m＋6－（－m＋6）＝－m2＋3m.∵ S△PBC＝S△CPQ＋S△BPQ＝QP·OB，∴ S＝·8＝
－m2＋12m＝－（m－4）2＋24.∵ －＜0，0＜m＜8，∴ 当m＝4时，S取得最大值，最大值为24.
类型3　含字母系数的二次函数问题
典例3 （2023·芜湖南陵模拟）已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－2与直线x＝－2交于点P.
（1） 当抛物线经过点（－1，－2）时，求抛物线对应的函数表达式.
（2） 设点P的纵坐标为yP，当yP取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2＜－2，比较y1与y2的大小.
（3） 若线段AB的两个端点分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，求出m的取值范围.
[思路点拨] （1） 将（－1，－2）代入函数表达式求解.（2） 将x＝－2代入函数表达式求出点P的纵坐标，通过配方可得当yP取最小值时m的值，再将抛物线对应的函数表达式化为顶点式求解.（3） 分别将点A，B的坐标代入函数表达式求得m的值，然后对m的取值范围讨论，找到符合条件的m的取值范围即可.
解：（1） ∵ 抛物线y＝x2－2mx＋m2－2经过点（－1，－2），∴ －2＝1＋2m＋m2－2，解得m＝－1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋2x－1.
（3） ∵ y＝x2－2mx＋m2－2＝（x－m）2－2，∴ 抛物线的顶点坐标为（m，－2）.∴ 抛物线随m值的变化而左右平移.将（0，2）代入y＝x2－2mx＋m2－2，得2＝m2－2，解得m＝2或m＝－2.将（2，2）代入y＝x2－2mx＋m2－2，得2＝4－4m＋m2－2，解得m＝0或m＝4.∴ 当
－2≤m≤0时，抛物线的对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点.当2≤m≤4时，抛物线的对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点.
∴ －2≤m≤0或2≤m≤4.
（2） 将x＝－2代入y＝x2－2mx＋m2－2，得yP＝m2＋4m＋2＝（m＋2）2－2.∴ 当m＝－2时，yP取最小值.∴ y＝x2＋4x＋2＝（x＋2）2－2.∴ 当x＜－2时，y随x的增大而减小.∵ x1＜x2＜－2，∴ y1＞y2.
跟踪训练
3. （2023·安庆潜山模拟）已知抛物线y＝x2－2ax＋a2＋2a（a＞0）.
（1） 若a＝1，抛物线的顶点坐标为 　（1，2）　 .
（2） 直线x＝m与直线y＝2x－2交于点P，与抛物线y＝x2－2ax＋a2＋2a交于点Q.若当m＜3时，PQ的长随m的增大而减小，则a的取值范围是 　a≥2　 .
（1，2）
a≥2
类型4　新定义型问题
典例4 （2023·滁州二模）已知二次函数y＝x2－2ax＋a2＋2a＝（x－a）2＋2a，其图象的顶点坐标为（a，2a），故不论a取何值时，二次函数图象的顶点都在直线y＝2x上，我们称图象的顶点位于同一条直线上且形状相同的二次函数为“同源二次函数”，该条直线对应的函数表达式为“根函数”.
（1） 若二次函数y＝x2＋2x－3和y＝－x2－4x－3是“同源二次函数”，求它们的“根函数”.
（2） 已知二次函数C：y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1.
① 求满足二次函数C的所有二次函数的“根函数”.
② 若二次函数C的图象与直线x＝－3交于点P，求点P到x轴的距离的最小值，以及此时m的值.
[思路点拨] （1） 利用配方法分别求出两个二次函数图象的顶点坐标，利用“根函数”的定义，求出经过两个顶点的直线对应的函数表达式即可得出结论.（2） ① 利用配方法求出二次函数C：y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1的图象的顶点坐标，利用“根函数”的定义，求出顶点所在直线对应的函数表达式即可.② 由题意，得出点P的坐标，利用配方法求得点P纵坐标的最小值即可求解.
解：（1） ∵ y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴ 该二次函数图象的顶点坐标为（－1，－4）.∵ y＝－x2－4x－3＝－（x＋2）2＋1，∴ 该二次函数图象的顶点坐标为（－2，1）.设经过点（－1，－4）和点（－2，1）的直线对应的函数表达式为y＝kx＋b，∴ 解得∴ y＝－5x－9.∴ 它们的“根函数”为y＝－5x－9.
（2） ① ∵ y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1＝（x－2m）2－4m＋1，∴ 二次函数C的图象的顶点坐标为（2m，－4m＋1）.设x＝2m，y＝－4m＋1.联立消去m，得y＝－2x＋1.∴ 满足二次函数C的所有二次函数的“根函数”为y＝－2x＋1.
② ∵ 二次函数C的图象与直线x＝－3交于点P，∴ y＝（－3）2－4m·（－3）＋4m2－4m＋1＝4m2＋8m＋10.∴ 点P的坐标为（－3，4m2＋8m＋10）.∵ 4m2＋8m＋10＝4（m＋1）2＋6，∴ 当m＝－1时，点P的纵坐标最小，最小为6.∴ 点P到x轴的距离的最小值为6，此时m＝－1.
跟踪训练
4. （2023·合肥蜀山二模）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1） 请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
解：（1） 答案不唯一，如y＝x2和y＝2x2为“同簇二次函数”.
（2） 已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋，其中y1的图象经过点P（1，1），y2与y1为“同簇二次函数”.
① 求m的值及二次函数y2的表达式.
解：（2） ① ∵ 二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1的图象经过点P（1，1），∴ 1＝2－4m＋2m2＋1，解得m＝1.∴ y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.∵ y2与y1为“同簇二次函数”，∴ 两个函数图象的顶点坐标均为（1，1）.∴ y2＝a（x－1）2＋1＝ax2－2ax＋a＋1.∴ a＋1＝.∴ a＝.∴ y2＝（x－1）2＋1＝x2－x＋.
② 如图，A，C是函数y1的图象上的点，B，D是函数y2的图象上的点，且都在对称轴右侧.若AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，直接写出的值.
第4题
解： ② 设点B的坐标为（n，（n－1）2＋1）（n＞1）.
∵ AB∥x轴，∴ 令y1＝（n－1）2＋1，即2（x－1）2＋1＝（n－1）2＋1，得x＝（n－1）.∴ 点A的坐标为（（n－1）＋1，（n－1）2＋1）.
∵ BC⊥AB，∴ 点C的坐标为（n，2（n－1）2＋1）.∵ CD∥AB，∴ 令y2＝2（n－1）2＋1，即（x－1）2＋1＝2（n－1）2＋1，得x＝2（n－1）＋1.∴ 点D的坐标为（2（n－1）＋1，2（n－1）2＋1）.∴ AB＝n－［（n－1）＋1］＝（n－1），CD＝2（n－1）＋1－n＝（2－1）（n－1）.∴ ＝＝＝2.
第4题
强化练习
练习1　与线段长度、面积有关的问题（含最值）
1. （2023·亳州涡阳二模）如图，经过点A（－1，0）的抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于点B，C，并与边长为2的正方形OCDE相交于点C，D.
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（1） 求抛物线和直线BC对应的函数表达式.
解：（1） ∵ 经过点A（－1，0）的抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于点B，C，并与边长为2的正方形OCDE相交于点C，D，∴ 点C（0，2），D（2，2）.∴ 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋2.令y＝0，得x1＝－1，x2＝3.∴ 点B的坐标为（3，0）.∵ 点B（3，0），C（0，2）在直线y＝mx＋n上，
∴ 解得∴ 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋2
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解：（2） ① 由题意，得点P.如图，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，连接BP，CP，则点Q.∴ PQ＝－t2＋t＋2－＝－t2＋2t.∴ △PBC的面积为PQ·｜xB－xC｜＝＝－t2＋3t
（2） 若抛物线在第一象限内有一点P，它的横坐标为t.
① 用含t的式子表示△PBC的面积.
第1题答案
1
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② 要使点P到直线BC的距离最远，则△PBC的面积取得最大值.由①，得S△PBC＝－t2＋3t＝－＋.
∴ 当t＝时，S△PBC最大，此时y＝－×＋×＋2＝.∴ 点P的坐标为
② 若点P到直线BC的距离最远，请求出此时点P的坐标.
第1题答案
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2. （2023·合肥蜀山模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点（－2，5），抛物线的对称轴为直线x＝1.
（1） 求抛物线对应的函数表达式.
解：（1） 根据题意，得解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x－3
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（2） 若P是抛物线在第四象限内的点，求点P到直线AB距离的最大值.
解：（2） 如图，连接AB，AP，BP，过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q.∵ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x－3，
∴ 易得点A（3，0），B（0，－3）.∴ OA＝3，OB＝3.∴ AB＝＝3.设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b.∴ 解得∴ 直线AB对应的函数表达式为y＝x－3.设点P（m，m2－2m－3），则点Q（m，m－3）.∴ PQ＝m－3－（m2－2m－3）＝－m2＋3m.∴ S△ABP＝PQ·｜xA－xB｜＝－（m2－3m）＝－＋.
∴ 当m＝时，△ABP的面积最大，最大值为，此时点P到直线AB的距离最大，最大距离为＝
第2题答案
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（3） 已知点M（－6，3），N（0，3），线段MN以每秒1个单位的速度向右平移，同时抛物线以每秒1个单位的速度向上平移.若t秒后，抛物线与线段MN有两个交点，求t的取值范围.
第2题答案
解：（3） t秒后，点M'（t－6，3），N'（t，3），抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x－3＋t.若抛物线与线段M'N'有两个交点，则点N'在抛物线上（或右侧），且点M'在抛物线上（或左侧）.当点N'恰好在抛物线上时，3＝t2－2t－3＋t，解得t＝3或t＝－2（舍去）.当点M'恰好在抛物线上时，3＝（t－6）2－2（t－6）－3＋t，解得t＝6或t＝7（此时只有一个交点，舍去）.∴ t的取值范围是3≤t≤6
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3. （2023·阜阳临泉二模）如图，抛物线y＝－x2＋x＋4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC.
（1） 求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标.
解：（1） 将y＝0代入y＝－x2＋x＋4，得0＝－x2＋x＋4，解得x1＝－1，x2＝3.∴ 点A（－1，0），B（3，0）.将x＝0代入y＝－x2＋x＋4，得y＝4.∴ 点C（0，4）.∵ y＝－x2＋x＋4＝－（x－1）2＋，∴ 抛物线顶点的坐标为　
第3题
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3
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（2） D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接BD，CD.当△BCD的面积最大时，求m的值.
解：（2） 如图①，过点D作DM∥y轴，交BC于点M.设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b.将B（3，0），C（0，4）代入y＝kx＋b，得解得∴ 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋4.
∵ 点D在抛物线上，∴ 点D（m，－m2＋m＋4）.
∵ DM∥y轴，∴ 点M.∴ S△BCD＝DM·｜xB－xC｜＝［－］＝－2＋.∴ 当m＝时，S△BCD最大
第3题答案
第3题
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（3） 在y轴上是否存在点P，使得∠PAO＝∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3） 存在　∵ 点B（3，0），C（0，4），∴ OB＝3，OC＝4.∴ BC＝＝5.如图②，作BN平分∠ABC交OC于点N，过点N作EN⊥BC于点E.∵ ON⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠ABC，∴ ON＝EN.∴ ＝＝＝.∵ ＝，∴ ＝.又∵ CN＋ON＝OC＝4，∴ CN＝，ON＝.∵ ∠OAP1＝∠ABC＝∠OBN，∠AOP1＝∠BON＝90°，∴ △AOP1∽△BON. ∴ ＝，即＝.∴ OP1＝.同理，可得OP2＝.∴ 在y轴上存在点P，使得∠PAO＝∠ABC，点P的坐标为或
第3题答案
第3题
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4. （2023·阜阳太和二模）如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点坐标为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B.
第4题
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（1） 求抛物线对应的函数表达式.
解：（1） ∵ 抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点坐标为D，
∴ 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋4　
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（2） 若M为y轴上一点，当BM＋DM的值最小时，求点M的坐标.
解：（2） 在y＝－x2＋x＋4中，令y＝0，得－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∴ 点A（－2，0），B（4，0）.如图①，作点B关于y轴的对称点E（－4，0），连接DE，与y轴交于点M，连接BM，此时BM＋DM的值最小.设直线DE对应的函数表达式为y＝kx＋t.根据题意，得解得∴ 直线DE对应的函数表达式为y＝x＋.令x＝0，得y＝.∴ 点M的坐标为
第4题答案
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（3） 如图②，若P是抛物线在第一象限内的一个动点，求△BCP面积的最大值.
解：（3） ∵ y＝－x2＋x＋4，∴ 点C（0，4）.设直线BC对应的函数表达式为y＝px＋q.根据题意，得解得∴ 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋4.如图②，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q.设点P，0＜n＜4，则点Q（n，－n＋4）.∴ PQ＝－（－n＋4）＝－n2＋2n.∴ S△BCP＝PQ·｜xB－xC｜＝×4＝－n2＋4n＝－（n－2）2＋4.
∴ 当n＝2时，△BCP面积的最大值为4
第4题
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练习2　含字母系数的二次函数及新定义型问题
1. （2023·合肥模拟）已知二次函数y＝mx2－4m2x－3（m为常数，m＞0）.
（1） 若点（－2，9）在该二次函数的图象上.
① 求m的值.
解：（1） ① ∵ 点（－2，9）在二次函数y＝mx2－4m2x－3的图象上，∴ 9＝4m＋8m2－3，解得m＝1或m＝－.∵ m＞0，∴ m＝1
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② ∵ m＝1，∴ 二次函数的表达式为y＝x2－4x－3＝（x－2）2－7.∴ 二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－7）.令y＝18，得（x－2）2－7＝18，解得x＝7或x＝－3.∵ 当0≤x≤a时，y的最大值为18，且当x＝0时，y＝－3，∴ 结合函数图象（图略）可知，a＝7
② 当0≤x≤a时，y的最大值为18，求a的值.
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（2） 若P（xP，yP）是该函数图象上的一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，求m的取值范围.
解：（2） ∵ 二次函数y＝mx2－4m2x－3，∴ 其图象的对称轴为直线x＝2m＞0，与y轴的交点为（0，－3）.∴ 点（0，－3）关于对称轴的对称点为（4m，－3）.∵ P（xP，yP）是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，∴ 结合函数图象（图略）可知，4m≥4，解得m≥1.∴ m的取值范围是m≥1
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2. （2023·滁州南谯一模）已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（－3，－3），B（1，－1）均在直线l上.
（1） 求直线l对应的函数表达式.
解：（1） ∵ 点A（－3，－3），B（1，－1）在直线l：y＝kx＋b上，∴ 解得∴ 直线l对应的函数表达式为y＝x－
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（2） 若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围.
解：（2） 联立消去y、整理，得2ax2＋3x＋1＝0.
∵ 抛物线C与直线l有交点，∴ Δ＝9－8a≥0，解得a≤.又a≠0，∴ a的取值范围是a≤且a≠0
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（3） 当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，y的最大值为－4，求m的值.
解：（3） ∵ a＝－1，∴ y＝－x2＋2x－1＝－（x－1）2.又∵ a＜0，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.当y＝－4时，－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.① 在对称轴左侧，即x＜1时，y随x的增大而增大，∴ 当x＝m＋2＝－1时，y的最大值为－4.∴ m＝－3.② 在对称轴右侧，即x＞1时，y随x的增大而减小，∴ 当x＝m＝3时，y的最大值为－4.综上所述，m的值为－3或3
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3. （2023·安庆模拟）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称P为“和谐点”.例如：（1，1），（0，0），（－，－），…都是“和谐点”.
（1） 判断二次函数y＝x2－2的图象上是否存在“和谐点”，若存在，求出其“和谐点”的坐标.
解：（1） 存在“和谐点”.设二次函数y＝x2－2图象上的“和谐点”的坐标为（x，x），则x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2.∴ “和谐点”的坐标为（－1，－1），（2，2）
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（2） 若二次函数y＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（1，1）.
① 求该二次函数的表达式.
解：（2） ① ∵ （1，1）是二次函数y＝ax2＋2x＋c（a≠0）图象上的“和谐点”，∴ 1＝a＋2＋c.∴ c＝－a－1.∵ 二次函数y＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”，∴ ax2＋2x＋c＝x，即关于x的一元二次方程ax2＋x＋c＝0有两个相等的实数根.∴ Δ＝1－4ac＝0.联立解得∴ 该二次函数的表达式为y＝－x2＋2x－
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② 由①可知，y＝－x2＋2x＋1＝－（x－2）2＋3，∴ 二次函数图象的对称轴为直线x＝2.当x＝2时，y＝3；当x＝0时，y＝1；当x＝4时，y＝1.∵ 当0≤x≤m时，函数的最小值为1，最大值为3，∴ 结合图象（图略）可知，m的取值范围是2≤m≤4
② 当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋2x＋c＋（a≠0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围.
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4. （2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2＋b1x＋c1与y2＝a2x2＋b2x＋c2同时满足＋（b2＋b1）2＋｜c2－a1｜＝0，（b1－b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数.
（1） 若关于x的二次函数y1＝2x2＋kx＋3与y2＝mx2＋x＋n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值.
解：（1） 由题意可知，a2＝c1，a1＝c2，b1＝－b2≠0.∴ k＝－1，m＝3，n＝2
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（2） 对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2＋2rx＋s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数.
① 求函数y2的图象的对称轴.
解：（2） ① ∵ 点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2＋2rx＋s的图象上运动，∴ ＝－＝－r，即s＝－3r.∵ 函数y2与y1互为“美美与共”函数，∴ y2＝sx2－2rx＋1.∴ 函数y2的图象的对称轴为直线x＝－＝＝－
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② 函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由.
解：（2） ② 函数y2的图象经过定点（0，1），　由①知，y2＝－3rx2－2rx＋1＝－（3x2＋2x）r＋1.令3x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝－.∴ 函数y2的图象经过定点（0，1），
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