2024年中考数学二轮复习突破课件：专题五 几何探究题(共69张PPT)

(共69张PPT)
专题五 几何探究题
类型1　利用截长补短法构造线段的和与差
典例1 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
（1） 求证：BD⊥EC.
（2） 若AB＝1，求AE的长.
（3） 连接AG.求证：EG－DG＝AG.
[思路点拨] （1） 证明△AEF≌△ADB，得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，可得出结论.（2） 证明△AEF∽△DCF，得出＝，即AE·DF＝AF·DC.设AE＝AD＝a（a＞0），则有a（a－1）＝1，解方程即可得出答案.（3） 在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，证明△AEP≌△ADG，得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，即可得出结论.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴ ∠EAF＝∠DAB＝90°.又∵ AE＝AD，AF＝AB，∴ △AEF≌△ADB.∴ ∠AEF＝∠ADB.∴ ∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°.∴ ∠EGB＝90°.
∴ BD⊥EC.
（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AE∥CD，CD＝AB＝1.∴ ∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF.∴ △AEF∽△DCF.∴ ＝，即AE·DF＝AF·DC.设AE＝AD＝a（a＞0），则a（a－1）＝1.化简，得a2－a－1＝0，解得a＝或a＝（不合题意，舍去）.∴ AE＝.
（3） 如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP.在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴ △AEP≌△ADG.∴ AP＝AG，∠EAP＝∠DAG.∴ ∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°.∴ △PAG为等腰直角三角形.
∴ PG＝AG.∴ EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG.
典例1图答案
跟踪训练
1. （2023·亳州蒙城二模）已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，连接AE，CF.
　　
第1题
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（1） 如图①，当点E在BC上时，请判断AE和CF之间的数量及位置关系，并说明理由.
解：（1） AE＝CF，AE⊥CF　理由：如图①，延长AE交CF于点G.
∵ 四边形ABCD是正方形，点E在BC上，∴ AB＝CB，∠ABE＝90°.∵ BE＝BF，∠EBF＝90°，∴ ∠ABE＝∠CBF＝90°.∴ △ABE≌△CBF.
∴ AE＝CF，∠BAE＝∠BCF.∵ ∠CEG＝∠AEB，∴ ∠BCF＋∠CEG＝∠BAE＋∠AEB＝90°.∴ ∠CGE＝90°.∴ AE⊥CF.
第1题答案
第1题
（2） 如图②，H是AE的延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转.当点F在直线BC的右侧时，求证：AH－CH＝BH.
解：（2） 如图②，在AH上取点L，使得AL＝CH，连接BL.∵ AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°－∠CBE，BE＝BF，∴ △ABE≌△CBF.
∴ ∠BAE＝∠BCF，即∠BAL＝∠BCH.又∵ AB＝CB，AL＝CH，
∴ △BAL≌△BCH.∴ BL＝BH，∠ABL＝∠CBH.∴ ∠LBH＝∠LBC＋∠CBH＝∠LBC＋∠ABL＝∠ABC＝90°.∴ LH＝＝＝BH.∴ AH－CH＝AH－AL＝LH＝BH.
第1题答案
第1题
（3） 将△BEF绕点B旋转一周，H是直线AE与直线CF的交点，连接BH.当∠CFB＝45°，AB＝3，BE＝1时，请直接写出线段CH的长.
解：（3） 当点F在直线BC的右侧时，如图③.∵ BE＝BF，∠EBF＝90°，∴ ∠FEB＝∠EFB＝45°.∵ ∠CFB＝45°，∴ ∠EFB＝∠CFB.
∴ 点E在CF上.∴ 点H与点E重合.过点B作BN⊥CF于点N，则∠BNF＝∠BNC＝90°.∵ BF＝BE＝1，∴ EF＝＝＝. ∴ BN＝EN＝FN＝EF＝.∵ BC＝AB＝3，∴ CN＝＝＝.∴ CH＝CE＝CN－EN＝.
第1题答案
第1题
当点F在直线BC的左侧时，如图④.设CF与AB交于点P.∵ AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°＋∠ABF，BE＝BF，∴ △ABE≌△CBF.∴ ∠BAE＝∠BCF，AE＝CF.∵ ∠APF＝∠BPC，∴ ∠BAE＋∠APF＝∠BCF＋∠BPC＝90°. ∴ ∠AFC＝90°.∴ ∠AFC＋∠CFB＋∠BFE＝180°.∴ 点F在AE上.∴ 点H与点F重合.过点B作BQ⊥AE于点Q，则∠BQE＝∠BQA＝90°.∵ BF＝BE＝1，∠EBF＝90°，∴ EF＝＝.∴ BQ＝FQ＝EQ＝EF＝.∵ AB＝3，∴ AQ＝＝＝.∴ CH＝CF＝AE＝AQ＋EQ＝.综上所述，线段CH的长为或.
第1题答案
第1题
类型2　一线三等角模型
模型1：利用一线三等角构造全等
典例2 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，EB⊥MN于点E.
　　　　　 　　　　　
典例2图
（1） 当直线MN绕点C旋转到如图①所示的位置时，求证：
① △ADC≌△CEB.
② DE＝AD＋EB.
典例2图
（2） 当直线MN绕点C旋转到如图②所示的位置时，求证：DE＝AD－EB.
（3） 当直线MN绕点C旋转到如图③所示的位置时，试问DE，AD，EB具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
典例2图
[思路点拨] （1） 由∠ACB＝90°，得∠ACD＋∠BCE＝90°；由AD⊥MN，EB⊥MN，得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等，得到∠ACD＝∠CBE，可得△ADC≌△CEB，得出AD＝CE，DC＝EB，即可得到DE＝CE＋DC＝AD＋EB.（2） 根据等角的余角相等，得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝EB，得出DE＝CE－DC＝AD－EB.（3） DE，AD，EB具有的等量关系为DE＝EB－AD，证明的方法与（2）相同.
解：（1） ① ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＋∠BCE＝90°.∵ AD⊥MN，EB⊥MN，∴ ∠ADC＝∠CEB＝90°.∴ ∠BCE＋∠CBE＝90°.∴ ∠ACD＝∠CBE.在△ADC和△CEB中，∵
∴ △ADC≌△CEB.　
② ∵ △ADC≌△CEB，∴ AD＝CE，DC＝EB.∴ DE＝CE＋DC＝AD＋EB.
典例2图
（2） ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＋∠BCE＝90°.∵ AD⊥MN，EB⊥MN，∴ ∠ADC＝∠CEB＝90°.∴ ∠BCE＋∠CBE＝90°.∴ ∠ACD＝∠CBE.在△ADC和△CEB中，∵
∴ △ADC≌△CEB.∴ AD＝CE，DC＝EB.∴ DE＝CE－DC＝AD－EB.
典例2图
（3） DE＝EB－AD.∵ 易证△ADC≌△CEB，∴ AD＝CE，DC＝EB.∴ DE＝DC－CE＝EB－AD.
典例2图
跟踪训练
2. （2023·芜湖无为一模）数学课上，老师给出了一个模型：如图①，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上有三个直角顶点的模型，我们把它称为一线三等角模型.
　　　　　 　　　　
第2题
（1） 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△CDA≌△BEC.
解：（1） ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠BCE＋∠ACD＝90°.∵ AD⊥ED，BE⊥ED，∴ ∠CDA＝∠BEC＝90°.∴ ∠CBE＋∠BCE＝90°.∴ ∠ACD＝∠CBE.在△CDA和△BEC中，∵
∴ △CDA≌△BEC.　
第2题
（2） 如图③，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，CA＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB的距离.
解：（2） 如图③，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，则∠CEA＝∠AFD＝90°.∴ ∠DAF＋∠ADF＝90°.
∵ ∠DBA＝∠DAB，∴ BD＝AD.∴ AF＝BF＝AB＝.∵ ∠CAD＝90°，∴ ∠DAF＋∠CAE＝90°.∴ ∠CAE＝∠ADF.在△CAE和△ADF中，∵ ∴ △CAE≌△ADF.∴ CE＝AF＝，即点C到AB的距离为.
第2题
模型2：利用一线三等角构造相似
典例3 （2021·安徽）如图①，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，ED∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，连接BF.
　　　　 　
典例3图
（1） 求证：△ABF≌△EAD.
（2） 若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长.
（3） 如图②，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值.
典例3图
[思路点拨] （1） 根据题意，得出AB＝AE，ED＝CD，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD.进而得出AF＝ED.由平行线的性质，得∠BAF＝∠AED，进而证得结论.（2） 根据△ABF≌△EAD，得出AB＝EA＝9，AF＝ED＝5，再得EF＝4.根据题意，得到∠EBF＝∠EAB，易证△BEF∽△AEB，得到＝，进而得到BE的长.（3） 延长BM，ED交于点G.易证△ABE∽△DCE，得出＝＝.设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，则AB＝AE＝ax，AF＝DC＝a，BE＝bx.可得EF＝AE－AF＝ax－a＝a（x－1）.再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可.
解：（1） ∵ AE∥CD，∴ ∠AEB＝∠BCD.∵ ∠ABC＝∠BCD，
∴ ∠ABC＝∠AEB.∴ AB＝EA.∵ ED∥AB，∴ ∠DEC＝∠ABC，∠BAF＝∠AED.∵ ∠ABC＝∠BCD，∴ ∠DEC＝∠BCD.∴ ED＝CD.
∵ CF∥AD，AE∥CD，∴ 四边形ADCF是平行四边形.∴ AF＝CD.∴ AF＝ED.在△ABF和△EAD中，∵ ∴ △ABF≌△EAD.
典例3图
（2） 由（1），知△ABF≌△EAD，ED＝CD，AB＝EA＝9.∴ AF＝ED＝5，∠ABF＝∠EAD.∴ EF＝EA－AF＝4.∵ CF∥AD，∴ ∠EAD＝∠CFE.∴ ∠ABF＝∠CFE.∵ ∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF＋∠EBF，∠AEB＝∠CFE＋∠ECF，∴ ∠EBF＝∠ECF.∵ ∠EAB＝∠AED＝∠ECF，∴ ∠EBF＝∠EAB.∵ ∠BEF＝∠AEB，
∴ △BEF∽△AEB.∴ ＝，即＝.∴ BE＝6.
典例3图
（3） 如图②，延长BM，ED交于点G.由（1），知四边形ADCF是平行四边形，△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，∴ AF＝DC，△ABE∽△DCE.∴ ＝＝.设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，则AB＝AE＝ax，AF＝DC＝a，BE＝bx.∴ EF＝AE－AF＝ax－a＝a（x－1）.∵ AB∥DG，∴ ∠ABG＝∠G.∵ M是AD的中点，∴ AM＝DM.∵ ∠AMB＝∠DMG，∴ △AMB≌△DMG.∴ AB＝DG＝ax.∴ EG＝DG＋DE＝ax＋a＝a（x＋1）.∵ AB∥EG，
∴ △ABF∽△EGF.∴ ＝，即＝.∴ x2－2x－1＝0.解得x＝1＋或x＝1－（不合题意，舍去）.∴ ＝x＝1＋.
典例3图
跟踪训练
3. 如图，在等边三角形ABC中，边长为6，D是边BC上的动点，∠EDF＝60°.
（1） 求证：△BDE∽△CFD.
解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠B＝∠C＝60°.
∵ ∠EDF＝60°，∴ ∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠CDF＝120°.∴ ∠BED＝∠CDF.∴ △BDE∽△CFD.
第3题
（2） 当BD＝1，CF＝3时，求BE的长.
解：（2） 由（1），知△BDE∽△CFD.∴ ＝.∵ BC＝6，BD＝1，∴ CD＝BC－BD＝5.∴ ＝.∴ BE＝.
第3题
类型3　模型旋转
模型1：“手拉手”旋转构造全等
典例4 如图①，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE.
　　　　　 　　　　
典例4图
（1） 判断线段BD与CE的数量关系并证明.
（2） 延长ED交直线BC于点F.
① 如图②，当点F与点B重合时，线段AE，BE和CE之间的数量关系为 　AE＝BE－CE　 .
② 如图③，当F为线段BC的中点，且DE＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由.
AE＝BE－CE
典例4图
[思路点拨] （1） 证明△BAD≌△CAE，可得BD＝CE.（2） ① AE＝DE＝BE－BD＝BE－CE.② 连接AF，过点A作AG⊥DE于点G，先证明△ABF∽△ADG，得到＝，∠BAF＝∠DAG，再得出∠BAD＝∠FAG，即可证明△ABD∽△AFG，得到∠ADB＝90°，由AD＝BD，可得∠BAD的度数.
解：（1） BD＝CE.∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC＝60°，AB＝AC.∵ AE是由AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到的，∴ ∠DAE＝60°，AD＝AE.∴ ∠BAC＝∠DAE.∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，
∵ ∴ △BAD≌△CAE.∴ BD＝CE.
典例4图
（2） ② ∠BAD＝45°.理由：如图③，连接AF，过点A作AG⊥DE于点G，则∠AGD＝90°.∵ F为线段BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，∴ AD＝DE，AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°.∴ ∠AFB＝∠AGD.∴ △ABF∽△ADG.∴ ＝，∠BAF＝∠DAG.∴ ＝，∠BAF＋∠DAF＝∠DAG＋∠DAF.∴ ∠BAD＝∠FAG.∴ △ABD∽△AFG.∴ ∠ADB＝∠AGF＝90°.由（1），得BD＝CE.∵ CE＝DE＝AD，∴ AD＝BD.∴ ∠BAD＝45°.
典例4图
跟踪训练
4. （2023·池州模拟）如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD，CE.
　　　　　　　
第4题
（1） BD与CE的数量关系为 　BD＝CE　 ，直线BD与CE所成的锐角的度数为 　60°　 .
BD＝CE
60°
（2） 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转至如图②所示的位置，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN.的值是否随图形的旋转而变化？若不变化，请求出这个值；若变化，请说明理由.
第4题
解：（2） 不变化.如图②，连接AM，AN.∵ △ABC和△ADE均为等边三角形，M，N分别为BC，DE的中点，∴ AM⊥BC，AN⊥DE，∠ABC＝∠ADE＝∠BAC＝∠DAE＝60°.∴ ＝sin60°，＝sin60°，∠MAB＝∠MAC＝∠DAN＝∠EAN＝30°.∴ ＝，∠DAN＋∠MAD＝∠MAB＋∠MAD.∴ ∠MAN＝∠BAD.∴ △MAN∽△BAD.∴ ＝＝sin60°＝.
第4题
（3） 若AB＝14，AD＝6，当图形旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出MN的值为 　5或8　　 .
5或8
模型2：半角模型
典例5 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A旋转，它的两边分别交直线CB，DC于点M，N.
　 　　　　　　
典例5图
（1） 当∠MAN绕点A旋转到如图①所示的位置时，求证：BM＋DN＝MN.
（2） 当∠MAN绕点A旋转到如图②所示的位置时，直接写出线段BM，DN和MN之间的数量关系（不需要证明）.
典例5图
[思路点拨] （1） 在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，可证△ABE≌△ADN，得到AE＝AN，进一步证明△AEM≌△ANM，可得结论BM＋DN＝MN.（2） 在DC上截取DF＝BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，再进一步证明△MAN≌△FAN，得到MN＝FN，从而得到结论.
解：（1） 如图①，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°＝∠ABE.在△ABE和△ADN中，∵ ∴ △ABE≌△ADN.∴ AE＝AN，∠EAB＝∠NAD.∵ ∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴ ∠BAM＋∠NAD＝45°.∴ ∠BAM＋∠EAB＝45°.∴ ∠EAM＝45°＝∠NAM.在△AEM和△ANM中，∵ ∴ △AEM≌△ANM.∴ ME＝MN.又∵ ME＝BM＋BE＝BM＋DN，∴ BM＋DN＝MN.
典例5图
（2） DN－BM＝MN.
跟踪训练
5. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于点M，N，连接MN.
（1） 探究BM，MN和NC之间的数量关系，并说明理由.
解：（1） MN＝BM＋NC.理由：如图，延长AC至点E，使得CE＝BM，连接DE.∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠MBC＝∠ACB＝60°.∵ BD＝CD，且∠BDC＝120°，
∴ ∠DBC＝∠DCB＝30°.∴ ∠MBC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB＝60°＋30°＝90°.∴ ∠MBD＝∠DCN＝90°.
第5题答案
∴ ∠MBD＝∠ECD＝90°.在△MBD与△ECD中，BD＝CD，∠MBD＝∠ECD，BM＝CE，∴ △MBD≌△ECD.∴ MD＝ED，∠BDM＝∠CDE.∵ ∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴ ∠BDM＋∠CDN＝60°.∴ ∠CDE＋∠CDN＝∠EDN＝60°.∴ ∠MDN＝∠EDN.又∵ DN＝DN，MD＝ED，∴ △DMN≌△DEN.∴ MN＝EN.∵ EN＝CE＋NC＝BM＋NC，∴ MN＝BM＋NC.
第5题答案
（2） 若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.
解：（2） 利用（1）中的结论，得△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝（AM＋BM）＋（NC＋AN）＝AB＋AC＝2＋2＝4.
强化练习
1. 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，BD经过点C，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD的长为（　B　）
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm
第1题
B
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11
12
13
2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC的长为（　B　）
A. 3 B. 11 C. 15 D. 9
第2题
B
1
2
3
4
5
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13
3. 如图，在△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D.已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（　B　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第3题
B
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13
4. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD.若这个四边形的面积是4，则BC＋CD的值等于（　B　）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
第4题
B
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13
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，连接AE，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC.若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（　A　）
A. 56° B. 60° C. 62° D. 64°
第5题
A
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13
6. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E为边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到△AFB，连接EF.有下列结论：① △ADC≌△AFB；② △ABE≌△ACD；③ △AED≌△AEF；④ BE＋EF＝BC－BF.其中，一定正确的个数是（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第6题
C
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13
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝ 　5　 cm.
第7题
5
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13
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E，F分别在BC，CD上.若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 　7.2　 .
第8题
7.2
1
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4
5
6
7
8
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12
13
解：（1） ∵ 在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴ △ABC是等边三角形.∴ AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵ 线段AC与AD关于直线AP对称，
∴ ∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC.∴ ∠BAD＝∠BAC＋∠CAE＋∠DAE＝90°.∵ AB＝AC＝AD，∴ △ABD是等腰直角三角形　
9. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点.
（1） 若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形.
1
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13
（2） 连接CE，求证：BE＝AE＋CE.
解：（2） 如图，在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF.∵ 线段AC与AD关于直线AP对称，∴ ∠ACE＝∠ADE，∠CAE＝∠DAE，AD＝AC.∵ AD＝AC＝AB，∴ ∠D＝∠ABD.∴ ∠ABD＝∠ACE.在△ABF和△ACE中，∵ ∴ △ABF≌△ACE.∴ AF＝AE.∵ ∠D＝∠ABD，∠CAE＝∠DAE.∴ ∠AEB＝∠D＋∠DAE＝（∠D＋∠ABD＋∠DAC）＝（180°－∠BAC）＝60°.∴ 在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°.∴ △AFE是等边三角形.∴ AF＝FE.∴ BE＝FE＋BF＝AE＋CE
第9题答案
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10. 如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D.
（1） 求证：△AOC∽△OBD.
解：（1） ∵ AC⊥MN，BD⊥MN，∴ ∠ACO＝∠ODB＝90°.又∵ ∠AOB＝90°，∴ ∠A＋∠AOC＝∠BOD＋∠AOC＝90°.∴ ∠A＝∠BOD.
∴ △AOC∽△OBD　
第10题
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（2） 若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长.
解：（2） 在Rt△ACO中，AC＝＝＝4.∵ △AOC∽△OBD，∴ ＝.∴ ＝.∴ BD＝
第10题
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13
11. 旋转变换是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D，E在边BC上，且∠DAE＝α.
第11题
1
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13
① ∠DAF＝ 　30°　 .
② 求证：DF＝DE.
解：（1） ② 由①，知AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°.又∵ AD＝AD，∴ △DAF≌△DAE.∴ DF＝DE
30°
（1） 如图①，当α＝60°时，将△AEC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AFB的位置，连接DF.
1
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（2） 如图②，当α＝90°时，猜想BD，DE，CE之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） DE2＝BD2＋CE2　理由：如图②，将△AEC绕点A按顺时针方向旋转90°到△AFB的位置，连接DF，则△BAF≌△CAE，∠EAF＝90°.∴ AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，BF＝CE，∠ABF＝∠C.在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°.∴ ∠ABF＝45°.∴ ∠DBF＝90°.根据勾股定理，得DF2＝BD2＋BF2.∴ DF2＝BD2＋CE2.同（1）②的方法，可得DF＝DE.∴ DE2＝BD2＋CE2.
第11题
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12. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，那么会形成一组全等的三角形.小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1） 问题发现：如图①，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE.
第12题
解：（1） ∵ △ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，∴ AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.∴ ∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∴ △BAD≌△CAE.∴ BD＝CE
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（2） 拓展探究：如图②，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　60°　 ，线段BE与AD之间的数量关系是 　AD＝BE　 .
60°
AD＝BE
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（3） 解决问题：如图③，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE.求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
解：（3） ∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM　理由：同（1）（2）的方法，可得△ACD≌△BCE.∴ AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵ △CDE是等腰直角三角形，∴ ∠CDE＝∠CED＝45°.∴ ∠ADC＝180°－∠CDE＝135°.∴ ∠BEC＝∠ADC＝135°.∴ ∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.∵ CD＝CE，CM⊥DE，∴ DM＝ME.∵ ∠DCE＝90°，
∴ DM＝ME＝CM.∴ AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.
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13. 如图，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC.
（1） 如图①，若AB⊥AC，则BD与AE之间的数量关系为 　BD＝AE　 ，BD，CE，DE之间的数量关系为 　BD＋CE＝DE　 .
第13题
BD＝
AE
BD＋CE＝DE
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（2） 如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
解：（2） 成立　理由：∵ ∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD＋∠CAE＋∠BAC＝∠BAD＋∠ABD＋∠BDA＝180°，∴ ∠CAE＝∠ABD.
又∵ AB＝CA，∴ △ABD≌△CAE.∴ BD＝AE，AD＝CE.∵ AE＋AD＝DE，∴ BD＋CE＝DE.
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（3） 如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，且BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，设点A，C的运动时间为ts.是否存在t，x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.
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解：（3） 存在　当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm.
∵ AD＋AE＝DE＝10cm，∴ CE＝AD＝DE－AE＝3cm.∴ t＝＝.∴ x＝3÷＝2.当△DAB≌△EAC时，AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm.∴ t＝＝.∴ x＝7÷＝.综上所述，存在t，x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝
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