2023-2024 学年度下学期四校期初联考
高二数学答案
(选择性必修一+选择性必修二第四章)
一、单选题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小
题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审
题，认真做答）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A D C A D
二、多选题 （本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，两个选项
每个选项 3 分，三个选项每个选项 2分,有选错的得 0 分)
9 10 11
ACD ACD ABD
2．B由等差数列的性质可得a1011 + a1012 + a1013 + a1014 = 2(a1012 + a1013) = 8，所以
2024(a +a ) 2024(a +a )
a1012 + a
1 2024 1012 1013
1013 = 4，所以S2024 = = =4048． 2 2
3．C如图，以点A 为坐标原点， AB, AD, AA1分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，因为正方
体的棱长为 1，
( ) 1 1所以 A 0,0,0 ，M（ ，0，1），C（1,1,0），N（1，0， ），
2 2
1 1
所以 A M = （ ，0，1）， C N = （0， 1， ）
5 5
，则 √ √
2 2 |A M | = ，| C N | = 2 2
1
|A M · C N | 2 2
所以异面直线 AM 与CN 所成角的余弦值为 = =
| A M ||C N | √5 √5× 5
2 2
答案第 1 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
√21
所以正弦值为 故选：C.
5
x2 + 2y2 = 16
4．A { 0 0 ，消去 x
x2
0 得|y | = √3，
0 + y
2
0 = 13
0
1
所以△F1PF2 的面积S F PF = × |F1 2 2 1F2
|·|y0|=2√6 故选：A
5．D察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了
1 1 4
其周长的 ，即Cn =Cn 1 + Cn 1 = Cn 1，
3 3 3
3
4 4 64
所以 C C = 3 n 为首项为 1 ，公比为 的等比数列， C = 3 = .故选：D 43 3 9
6．C对于 A：圆D : x2 + y2 2x 24 = 0即 (x 1)2 + y2 = 25的圆心为D(1,0)，
半径 r = 5，故圆 D的面积为 π 52 = 25π，正确；
对于 B：将直线 l : mx y + 2 4m = 0整理为： (x 4)m y + 2 = 0，
x 4 = 0 x = 4
令 ，解得 ，即直线 l过定点T (4,2)，正确；
y + 2 = 0 y = 2
T (4,2) D(1,0) 2 2对于 C：定点 到圆心 的距离 TD = (4 1) + (2 0) = 13 ，
设点D到直线 AB 的距离为d ，则d 13 ，
1 1 2 2
则 S = AB d = 2 r 2 2
25 d + d 25
ABD d d = (25 d 2 )d 2 = ，
2 2 2 2
5 2
当且仅当25 d 2 = d 2 ，即d = 时，等号成立，
2
25
故△ABD的面积的最大值为 ，错误；
2
2
对于 D：当直线 l与TD 垂直时，弦 AB 的长度最小 AB = 2 r2 TD = 4 3 ，
min
当直线 l过圆心D(1,0)时，弦 AB 的长度最大 AB = 2r =10，
max
所以可得4 3 AB 10，正确.
7．A易知抛物线C1: y
2 = 4x的焦点为C2(1,0)，
答案第 2 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
设点P (x1, y1 )、Q(x2 , y C2 )，圆 1的半径为1，
由抛物线的定义可得|PN| = |PC2| + |C2N| = x1 + 2，|QM| = |QC2| + |C2M| = x2 + 2，
若直线 l与 x 轴重合，则直线 l与抛物线C1只有一个公共点，不合乎题意，
x = my + 1
设直线 l的方程为x = my + 1，联立{ 22 可得y 4my 4 = 0， y = 4x
则 = 16m2 + 16 > 0，由韦达定理可得y1y2 = 4，
y2
所以，|PN| + 4|QM| = x1 + 2 + 4(x2 + 2) = x1 + 4x
1 2
2 + 10 = + y2 + 10 4
y2y21 2
≥ 2√ + 10 = |y y
4 1 2
| + 10 = 14
y1y2 = 4 y = 2√2 y = 2√2
当且仅当{ y2 2 时，即当{
1 或{ 1 时，等号成立，
1 = y y
4 2 2
= √2 y2 = √2
因此， PN + 4 QM 的最小值为14.故选：A.
8．D由已知得数列 an 满足递推关系an+2 = an+1 + an .
选项 A：
a14 = a13 + a12 = 2a12 + a11 = 3a11 + 2a10 = 5a10 + 3a9 = 8a9 + 5a8 = 13a8 + 8a7 =
13 × 21 + 8 × 13 =377，A错误；
选项 B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2024＝674×3+2，不能被 3
整除，且a2为奇数，所以a2024也为奇数，故 B错误；
选项 C：若选项 C正确，又a2024 = a2023 + a2022，则a2023 = a1 + a2 + a3 +··· +a2021 ，
同理a2022 = a1 + a2 + a3 +··· +a2020 ，a2021 = a1 + a2 + a3 +··· +a2019 ，依次类推，可得
a4 = a1 + a2，显然错误，故 C错误；
选项 D：a2024 = a2023 + a2022 = 2a2022 + a2021，
所以a2020 + a2024 = a2020 + 2a2022 + a2021 = 2a2022 + (a2020 + a2021 ) = 3a2022，故 D正确．故选：D．
a1 + 6d = 9
9．设{an}的公差为 d，由a7 = 9， S4 = 3a4，得 ，
4a1 + 6d = 3a1 + 9d
a1 = 3
解得 ，故 A正确，B错误；
d =1
答案第 3 页，共 12 页
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S4 = 4a1 + 6d =18， a2023 = a1 + 2022d = 2025，C，D正确.
10．对于 A，因为椭圆C 的长轴长为2a = 4，所以a = 2，
c 1
又因为椭圆C 的离心率e = = ，所以 c =1，
a 2
x2 y2
所以b2 = a2 c2 = 3，所以椭圆C : + =1，故 A正确；
4 3
对于 B，若椭圆C 上存在点M ，使得MF1 MF2 = 0，则点M 在圆 x
2 + y2 =1上，
x2 + y2 =1
又因为方程组 x2 y2 无解，故 B错误；
+ =1
4 3
7
对于 C，设 F1PF2 = , PF1 = p, PF2 = q，则 pq = ，
2
2 2 2
PF + PF F F 2 21 2 1 2 p + q 4c
2
在△PF1F2 中，由余弦定理可得cos = =2
2 PF PF 2 pq1 2
7
2 4
( p + q) 2 pq 4c2 4 2 4
= = 2
5
= ，
2 pq 7 7
2
2
2
5
因为0 π，所以
2 6
sin = 1 = ，
7 7
1 1 1 7 2 6 6
所以 S = PF PF sin F PF = pqsin = = ，故 C正确； PF1F2 1 2 1 22 2 2 2 7 2
对于 D，F2 (1,0)，显然直线 l斜率不为 0，设直线 l : x = ty +1, A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 )，
x = ty +1 2 2
由 ，整理得： (3t + 4) y + 6ty 9 = 0，
3x
2 + 4y2 =12
答案第 4 页，共 12 页
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Δ = 36t2 +36(3t2 +4) 0恒成立，
6t 9
所以 y1 + y2 = , y2 1y2 = 3t + 4 3t2
，
+ 4
1 1 1 1
依题意有 ( AF1 + AF2 + 2c)r1 = 2c y1 ，得 (2a + 2c)r1 = 2c y1 ，
2 2 2 2
1 1 1
所以 (4+ 2) r1 = 2 y1 ，即 r1 = y1 ，
2 2 3
1
同理可得 r2 = y2 ，
3
因为n = 2r2，所以 y1 = 2 y2 ，又因为 y1y2 0，所以 y1 = 2y2 ，
6t 6t 6t 12t
因为 y1 + y2 = ，所以 2y2 + y y = , y = 2 2 = ，解得 2 2 1 2 ，代入到3t + 4 3t2 + 4 3t + 4 3t + 4
9 72t
2 9
y y = 2
4
1 2 = 2 ，得 2 2 t =3t + 4 (3t2 3t + 4
，解得 ，
+ 4) 5
1 5
所以直线 l的斜率为 k = = ，故 D正确.故选：ACD
t 2
11．对于 A项，
因为平面BCC1B1 //平面DEF ， B1C 平面BCC1B1，
所以B1C //平面DEF ，所以点G 到平面DEF 的距离 h 为定值，
1
又VD EFG =VG DEF = S△DEF h， DEF 的面积为定值，
3
所以三棱锥D EFG的体积为定值，故 A项正确；
建立如图 1所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，D1(0,0,2)，
A1 (2,0,2),C (0,2,0), E (1,0,0), F (0,0,1), B1 (2,2,2), B (2,2,0), C1 (0,2,2)，
答案第 5 页，共 12 页
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对于 B项， AB1 = (0,2,2)， AD1 = ( 2,0,2)，CB1 = (2,0,2) , EF = ( 1,0,1) , EC = ( 1,2,0)，
设CG = tCB1 = (2t,0,2t ) ,0 t 1，则EG = EC +CG = (2t 1,2,2t )．
设平面EFG的法向量为n = (x1, y1, z1 )，
n EF = x1 + z1 = 0
由 ，令 x1 = 2，可得n = (2,1 4t,2)．
n EG = (2t 1) x1 + 2y1 + 2tz1 = 0
设平面 AB1D1 的法向量为m = (x2 , y2 , z2 )，
m AB1 = 2y2 + 2z2 = 0
由 ，令 x2 =1，可得m = (1, 1,1)．
m AD1 = 2x2 + 2z2 = 0
2 1 4t 2 3
若平面EFG∥平面 AB1D1 ，则 = = ，解得t = ，故 B项正确；
1 1 1 4
1 2 2
对于 C项，建立如图 1所示的空间直角坐标系，当CG = CB1 = ,0, 时，
3 3 3
2 2 1 2
EG = ( 1,2,0) + ,0, = ,2, , BC1 = ( 2,0,2)．
3 3 3 3
EG BC1 2 3 82
cos = = =
设直线EG 与BC1所成的角为 ，则 EG BC 41 82 ， 1 2 2
9
3 82
即直线EG 与BC1所成角的余弦值为 ，故 C 项错误；
82
对于 D项，如下图，当G 为B1C 的中点时， A1 (2,0,2) , E (1,0,0) , F (0,0,1),G (1,2,1)．
设三棱锥 A1 EFG的外接球的球心为O (x, y, z)，半径为 r ，
答案第 6 页，共 12 页
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7
x = 6
r2 = (x 2)2 + y2 + (z 2)2
2
r2 = (x 1)2 + y2
y =
+ z
2 3
则 ，解得2 2 ，
r = x + y
2 + (z 1)2 7z =
2 2 2 2
r = (x 1) + (y 2) + (z 1) 6
r2
11
=
6
A 2
22
所以三棱锥 1 EFG的外接球的表面积为4πr = ，故 D项正确．
3
故选：ABD.
x2 + y2 = 36
12．8 2 由 ，得3x + 4y +10 = 02 2 ，
(x 3) + (y 4) = 81
即两圆公共弦所在直线的方程为3x + 4y +10 = 0，圆 x2 + y2 = 36，圆心为 (0,0)，半径为
r = 6，
10
则圆心 (0,0)到直线3x + 4y +10 = 0的距离为d = = 2，所以公共弦长为
32 + 42
2 r2 d 2 = 8 2 .故答案为：8 2
a n + 3 a a a a a 36 35
13．6 因a = 3, n+1 = ，故有 34 · 33 32 31 21 · · ···· = √ · √ ·
an n + 2 a33 a32 a31 a30 a1 35 34
34 4 a34 36√ ··· √ ，即得 = √ ，
33 3 a1 3
所以a34 = √12a1 = 6．故答案为：6.
14．√7
由双曲线的对称性可得| 1 | = | 2 |，| 1 | = | 2 |，有四边形 1 2为平行四边形，
令| 1 | = | 2 | = ，则| 1 | = | 2 | = 2
由双曲线定义可知| 2 | | 1 | = 2 ，故有2 = 2 ，即 = 2
即| 1 | = | 2 | = = 2 ，| 1 | = | 2 | = 4
2 · 2 = | 2 | · | 2 | cos∠ 2 = 2 × 4 cos∠ 2 = 4
2，
1 2
则cos∠ 2 = ，即∠ 2 = ，故∠ 2 1 = ， 2 3 3
| 1 |
2+| 2 2 2 2 2
则有cos ∠ = 2
| | 2 1| (4a) +(2a) (2c) 1
2 1 = = 2| 1 |·| 2 | 2×4 ×2 2
20a2 4c2 1 20 4e2 1
即 = ,即 = ，则e2 = 7，由e > 1,故e = √7
16 2 2 16 16 2
答案第 7 页，共 12 页
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15．（1）解：数列{an}中，a1 = 2，a2 = 3，且an = 2an 1 an 2 + 3，
令n = 3，可得.a3 = 2a2 a1 + 3=7…………………………………………………….3分
（2）证明：由an = 2an 1 an 2 + 3(n ≥ 3),
当n 2时，可得an+1 = 2an an 1 + 3，则(an+1 an) (an an 1) = 3，………6 分
又由a1 = 2，a2 = 3，可得a2 a1 = 1，………………………………………..7 分
所以 an+1 an 是公差为 3的等差数列，即数列{an an 1}(n≥2)是公差为 3等差数列…….8
分.
（3）解：由（2）知，数列 an+1 an 是首项为 1，公差为 3的等差数列，
可得an+1 an = 1 + (n 1) × 3 = 3n 2，……………………………………..9 分
所以an = a1 + (a2 a1) + (a3 a2) + (a4 a3) +··· +(an an 1)
(n 1)(1+3n 2) 3 2 5= 2 + [1 + 4 + 7 +··· +(3n 2)] = 2 + = n 2n + ………………………12
2 2 2
分
3 5
.即数列 an 的通项公式为an = n
2 2n + ……………………………13 分
2 2
8
16． （1）设 P(x , 4)0 ，代入由 y
2 = 2 px( p 0)中得 x0 = ，
p
8 p 8
所以 | PA |= ， | PF |= + ，
p 2 p
p 8 5 8
由题设得 + = ，解得 p = 2（舍去）或 p = 2．
2 p 4 p
所以C 的方程为 y2 = 4x；…………………………………………………..4 分
（2）由（1）知P(4,4) ,F (1,0),
4 4 4
所以直线 PQ方程为 y 0 = (x 1)，即 y = x ，
3 3 3
答案第 8 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
y2 = 4x
联立 4 4 4x
2 17x + 4 = 0，
y = x
3 3
1
则4xQ =1,故 xQ = , yQ = 1，
4
2
故
1 2 25
PQ = 4 + (4+1) = ，…………………………………………8分
4 4
4
4 4 3 4
原点到直线 y = x 的距离为d = =2 5 ，……………………………….10 分 3 3 4
1+
3
1 1 25 4 5
故 S OPQ = PQ d = = ………………………………………………12 分
2 2 4 5 2
4 4 4
（3）由（2）知直线 PQ方程为 y = x ，则 M（0， ）
3 3 3
1 17 3 1 25
因为P（4,4）Q（ ， 1），所以圆心C1( , ),半径r = |PQ| = 4 8 2 2 8
85 25
M到曲线C1最小值为d = |MC1| r = =24 8
5
………………………………….15 分
12
17．（1）由题意可知
n
cn = 20 (1+10%) (12+5n)………………………………..4 分
（2）由（1）可知
1.1(1 1.1n ) (17+12+5n) n
Sn = 20(1.1+1.12 + +1.1n ) (17+ 22+ +12+5n) = 20 化简可
1 1.1 2
得
(29+ 5n)n
Sn = 220 (1.1n 1) ……………………………………10分
2
1
（3）当n =1时，cn = 20 1.1 (12+5 1) = 5 0
2
当n = 2时，cn = 20 1.1 (12+5 2) = 2.2 0
当n = 3时，cn = 20 1.1
3 (12+5 3) 0
……
9
当n = 9时，cn = 20 1.1 (12+5 9) 0……………………………………14 分
所以第3到第9年不需要……………………………………………15 分
答案第 9 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
.18．（1） 平面 ABC ⊥平面 ACC1A1，BC 平面 ABC，
平面 ABC 平面 ACC1A1 = AC, ACB = 90 ，
BC ⊥平面 ACC1A1，
A1C 平面 ACC A ， BC ⊥ A1 1 1C ，
BC∥B1C1， B1C1 ⊥ A1C，
AC = AA1， 四边形 ACC1A1为菱形，
∴ AC1 ⊥ A1C ，……………………………………………………..4 分
B1C1 AC1 =C1, B1C1, AC1 平面 B1C1 ，
A1C ⊥平面 AB1C1．………………………………………………….5 分
(2) 1 = 1
因为 AC = AA1 =2，∠A1AC = 60°所以△ AA1C是等边三角形
过 1做 1M 垂直于 AC 于点 M，| 1M|=√3
因为 ⊥ 平面 1 1 , 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥
又 1 ⊥ , ∩ 于 所以 1 ⊥平面 ABC
平面 ABC 与平面 1 1 1间距离大小为| 1M|，即 1到平面 ABC 的距离为√3……………….9 分
1 1
= = × | || ||
√3
1 |= ……………………………10 分 1 1 3 2 3
(3) 以 C为原点，CA，CB及平面 ABC过点 C的垂线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐
标系，则C(0,0,0), B(0,1,0), A1(1,0, 3), A(2,0,0)，
所以 AB = ( 2,1,0) , BB1 = AA1 = ( 1,0, 3)，………………………………11 分
答案第 10 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
A1C ⊥平面 AB1C1，
CA = (1,0, 3) 即为平面 AB1C1 1的法向量，……………………13 分
设平面 ABB1 的法向量为m = (x, y, z)，
AB m = 0 2x + y = 0
则 ，即 ，
BB m = 0 x + 3z = 01
令 z =1，可得m = ( 3,2 3,1)，………………………………………………….15 分
2 3 3
cos CA1,m = = ，
2 4 4
3
∴平面 AB1C1与平面 ABB1 的夹角的余弦值为 ………………..17 分
4
19．（1）设动圆的半径为 r ，由题意得圆F2 的圆心为F2 ( 3,0)，半径R = 4，
所以 MF1 = r， MF2 = R r ，则 MF1 + MF2 = 4 F1F2 = 2 3，
所以动圆圆心M 的轨迹C 是以F1， F2 为焦点，长轴长为4 的椭圆.
x2
因此动圆圆心M 的轨迹C 的方程为 + y2 =1………………………………..4 分
4
（2）设P (x1, y1 )，Q(x2 , y2 )，T (4,m).由（1）可知 A( 2,0)，B (2,0)，如图所示，
y m y1 m 2y1 1
所以 kAp = ， kAQ = kAT = ， 又因为 k = m =x + 2 BP
= kBT ，即 ，于是 ，
1 6 x1 2 2 x1 2
y m y 2 2
k ·k = 1 = 1
y1 y
所以 AP AQ =
1 x
， 又 1 + y2 =1，则
x1 + 2 6 x1 + 2 3(x1 2) 3(x21 4) 14
y2
1
1 = (4 x21 )，
4
1
(4 x21 )
因此 1k ·k = 4 = 为定值……………………………………………..10 分 AP AQ
3(4 x2 121 )
答案第 11 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
② 设直线PQ的方程为 x = ty +n，由①中知P (x1, y1 )，Q(x2 , y2 )，
x = ty + n，
2 2
由 x2 得 (t + 4) y + 2tny + n2 4 = 0 =16(t2， n2 + 4) 0， 2
+ y =1，
4
2tn
y1 + y2 = - ， t2 + 4 1
由根与系数的关系得 由①可知， kAP·kAQ = ，
n
2 -4 12
y1y2 = . 2 t + 4
y 21 y2 y1y2 1 n 4 1
即 = = ，代入化简得 = ，解得
x1 + 2 x2 + 2 (ty1 + n + 2)(ty2 + n + 2) 12 4n
2 +16n +16 12
n =1或n = 2(舍去)，
所以直线PQ的方程为 x = ty +1，所以直线PQ经过 x 轴上的定点，定点坐标为
(1,0)…………………………………….17 分
答案第 12 页，共 12 页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}2023-2024 学年度下学期四校期初联考
高二数学试题
本试卷满分 150分，共 4页。考试时间为 120分钟。考试结束后，只交答题卡。
一、单选题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）
1．已知直线 l的方向向量为 ( 3, 1)，则 l的倾斜角为（ ）
π 5π π 2π
A． B． C． D．
6 6 3 3
2．等差数列 an 的前n 项和为 Sn ．若 1011 + 1012 + 1013 + 1014 = 8，则 2024 =（ ）
A．8096 B．4048 C．4046 D．2024
3．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中，点M , N 分别是棱 A B , BB 的中点，则
异面直线 AM 与CN 所成角的正弦值为（ ）
√ 2 √ 3
A . 10 B . C . 21 D .
5 5 5 5
2 2
4．已知F1， F2分别是椭圆 + = 1的左、右焦点，点 P 在椭圆上，O是坐标原点，
16 8
且| | = √13，则△F1PF2 的面积等于（ ）
A．2√6 B．4√3 C．3√2 D．4√6
5．如图是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从
一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三
角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图
①）的边长为 1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C C1， 2 ，C C3， 4 ，
则C4 =（ ）
四校期初联考 高二数学试题 第1页 共 4页
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128 128 64 64
A． B． C． D．
9 27 27 9
6．已知直线 l : mx y + 2 4m = 0(m R)与圆D : x2 + y2 2x 24 = 0交于 A，B两点，则下
列结论不正确的（ ）
A．圆 D的面积为 25π B．l过定点 (4,2)
C．△ABD面积的最大值为2 39 D．4 3 AB 10
7．如图，已知抛物线 1:
2 = 4 ，圆 2: ( 1)
2 + 2 = 1，过圆心C2 的直线 l与抛物线和
圆依次交于 P 、M 、 N 、Q，则 PN + 4 QM 的最小值为（ ）
A．14 B．23 C．18 D．15
8．意大利人斐波那契于 1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，
8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数
称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列 an 说法正确的是（ ）
A． 14 = 233 B． 2024是偶数
C． 2024 = 1 + 2 + 3 +··· + 2022 D．a2020 + a2024 = 3a2022
二、多选题 （本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得 6 分，两个选项每个选项 3 分，三个选项每个选项 2 分,有选错
的得 0 分)
四校期初联考 高二数学试题 第2页 共 4页
{#{QQABbYCEggCgAhBAAQgCQwlaCkMQkBAACCoOgFAAoAABCBNABAA=}#}
9．等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若a7 = 9， S4 = 3a4 ，则（ ）
A．{an}的公差为 1 B．{an}的公差为 2 C． S =18 D．a4 2023 = 2025
x2 y2 1
10．已知椭圆C : + =1(a b 0)的长轴长为 4，离心率为 , F
2 2 1
, F2分别为椭圆C 的
a b 2
左、右焦点，过点F2的直线 l与椭圆C 相交于 A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
x2 y2
A．椭圆C 的标准方程为 + =1 B．椭圆C 上存在点M ，使得MF1 MF = 0 2
4 3
7 6
C． P 是椭圆C 上一点，若 PF1 PF2 = ，则 S
2 △PF
=
1F2 2
D．若 AF1F2, BF1F2的内切圆半径分别为 r1, r2，当 r1 = 2r
5
2 时，直线 l的斜率 k =
2
11．在棱长为 2 的正方体 ABCD A B C D 中， , 分别为棱 AD, DD1 1 1 1 1的中点，G 为线段
B1C 上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥D EFG的体积为定值 B．存在点G ，使得平面EFG / / 平面 AB1D1
1 3 5
C．当CG = CB1 时，直线EG 与 BC1所成角的余弦值为
3 20
22π
D．当G 为 B1C 的中点时，三棱锥 A1 EFG 的外接球的表面积为
3
三、填空题 （本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，请仔细审题，认真做答）
．圆 x2 + y2 = 36与圆 (x 3)212 + (y 4)2 = 81的公共弦的长为 ．
a n + 3
13．在数列 an 中，a1 = 3,
n+1 = ，则 34= ．
an n + 2
2 2
14 . 设双曲线 C: = 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 1, 2，过坐标原点的直线与 C
2 2
交于 A、B 点，| | = 2| |， · 1 1 2 2 = 4
2，则 C 的离心率为 ．
四、解答题 （本大题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步
骤）
15．(本小题满分为 13 分) 已知数列{an}中， 1 = 2， 2 = 3， = 2 1 2 + 3( ≥ 3).
(1)求 3的值；
(2)证明：数列{an an 1}(n≥2)是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式.
四校期初联考 高二数学试题 第3页 共 4页
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16．(本小题满分为 15 分) 已知抛物线C : y2 = 2 px( p 0) 的焦点为 F，直线 y = 4与 y 轴的交
5
点为 A，与 C的交点为 P，且 PF = AP ．
4
(1)求 C的方程；
(2)延长PF 交抛物线于 Q，O为坐标原点，求△OPQ 的面积．
(3)延长PF 交抛物线准线于 M，曲线 1是以 PQ 为直径的圆，求点 M 到 1的最小值.
17．(本小题满分为 15 分) 去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 8 万吨垃圾以填埋方式
处理，12 万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年
生活垃圾的总量递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加 5 万吨．
(1.15 ≈ 1.61，1.16 ≈ 1.77，1.17 ≈ 1.95，1.18 ≈ 2.14，1.19 ≈ 2.36)
(1)请写出今年起第 n年用填埋方式处理的垃圾量cn 的表达式；
(2)求从今年起 n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和 Sn ；
(3)预计今年起 9 年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
18．(本小题满分为 17 分) 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
底面 ⊥侧面 ACC1A1, AC = AA1 = 2, BC =1, ACB = 90 ．
（1）证明： A1C ⊥平面 AB1C1； (2) 若∠A1AC = 60°求三棱锥 A BB1C 的体积；
（3）在（2）的条件下，求平面 AB C ABB1 1与平面 1 的夹角的余弦值．
2
19．(本小题满分为 17 分) 已知动圆M 经过定点F1 ( 3,0)，且与圆F2： (x 3 ) + y2 =16内
切.
(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)设轨迹C 与 x 轴从左到右的交点为A ， B ，点 P 为轨迹C 上异于A ， B 的动点，设PB 交
直线 x = 4于点T ，连接 AT 交轨迹C 于点Q，直线 AP ， AQ 的斜率分别为 kAP ， kAQ .
①求证： · 为定值；
②证明：直线PQ经过 x 轴上的定点，并求出该定点的坐标.
四校期初联考 高二数学试题 第4页 共 4页
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