2024年中考数学二轮复习题型突破课件：与中点有关的辅助线问题(共22张PPT)

(共22张PPT)
与中点有关的辅助线问题
类型1　构造中线
方法指导：（1） 当题目中已知直角三角形与斜边的中点时，可尝试连接直角顶点与斜边的中点，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解题；（2） 当题目中已知等腰三角形与底边的中点时，可连接等腰三角形的顶角顶点与底边的中点，利用“三线合一”解题.
典例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，则CE的长为（　C　）
典例1图
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
C
典例2 如图，在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝CD.求∠BAC的度数.
解：如图，取线段CD的中点E，连接AE.∵ ∠DAC＝90°，∴ AE＝CE＝DE＝CD.∴ ∠CAE＝∠C.∵ ∠C＝25°，∴ ∠CAE＝25°.∴ ∠AEB＝∠CAE＋∠C＝50°.∵ AB＝CD，∴ AB＝AE.∴ ∠B＝∠AEB＝50°.
∵ ∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴ 50°＋25°＋∠BAC＝180°.∴ ∠BAC＝105°.
典例2图答案
类型2倍长中线
方法指导：当题目中已知三角形一边上的中线时，可尝试将此中线延长至它的一倍，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解题.
典例3 如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长，交AC于点E.若AE＝EF，求证：AC＝BF.
典例3图答案
解：如图，延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH.∵ AD是△ABC的中线，∴ CD＝BD.又∵ ∠ADC＝∠HDB，AD＝HD，
∴ △ADC≌△HDB.∴ AC＝HB，∠CAD＝∠H.∵ AE＝EF，∴ ∠EAF＝∠AFE.∴ ∠H＝∠AFE.又∵ ∠AFE＝∠BFH，∴ ∠H＝∠BFH.∴ BF＝BH.∴ AC＝BF.
典例4 如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
解：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，则CF＝2CE.∵ CE是△ABC的中线，∴ BE＝AE.在△BEF和△AEC中，
∵ ∴ △BEF≌△AEC.∴ ∠EBF＝∠A，BF＝AC.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.∴ ∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵ CB是△ADC的中线，∴ AB＝BD.又∵ AB＝AC，AC＝BF，∴ AB＝BF.∴ BF＝BD.在△CBF和△CBD中，
∵ ∴ △CBF≌△CBD.∴ CF＝CD.∴ CD＝2CE.
典例4图答案
类型3　构造中位线
方法指导：（1） 当题目中已知三角形两边的中点时，可尝试连接这两点，利用三角形的中位线定理解题；（2） 当题目中已知三角形一边的中点时，可尝试取另一边的中点，或过此中点作另一条边的平行线，构造三角形的中位线解题；（3） 当题目中存在有公共端点的线段及它们的中点时，可通过补形构造三角形的中位线解题.
典例5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB的中点，点D在边BC上，∠BDE＝30°.求证：DE＝AC.
解：如图，过点E作 EF⊥BD，交BD于点F，则∠EFD＝90°.∵ ∠BDE＝30°，∴ DE＝2EF.∵ ∠C＝90°，∠EFD＝90°，∴ ∠C＋∠EFD＝180°.∴ EF∥AC.又∵ E为AB的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ AC＝2EF.∴ DE＝AC.
典例5图答案
典例6 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，M是BC的中点，连接MD，ME.求证：AB－AC＝2DM.
解：如图，延长CD交AB于点F.在△ADF和△ADC中，
∵ ∴ △ADF≌△ADC.∴ AF＝AC，DF＝DC.又∵ M是BC的中点，∴ DM是△CBF的中位线.∴ DM＝BF＝（AB－AF）＝（AB－AC）.∴ AB－AC＝2DM.
典例6图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB的中点，连接DF并延长，交AC于点E.若AB＝6，BC＝10，则线段EF的长为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1题
B
1
2
3
4
5
6
7
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接EF，DE.若EF＝2，则DE的长为（　B　）
A. 2 B. 1
C. D. ＋1
第2题
B
1
2
3
4
5
6
7
3. （2023·滁州凤阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E.F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为（　B　）
A. 3 B.
C. 4 D. 5
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
4. （2023·合肥蜀山二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F.若AC＝16，BC＝12，则的值为（　B　）
A. B.
C. D.
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
5. 如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝5，AD是∠BAC的平分线，AE是边BC上的中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则EF的长为 　3.5　 .
第5题
3.5
1
2
3
4
5
6
7
6. 在△ABC中，∠C＝60°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，连接DE，DE＝2.
（1） 若E是BC的中点，则AC＝ 　4　 .
（2） 若DE平分△ABC的周长，则AC＝ 　 　 .　
4

1
2
3
4
5
6
7
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝45°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF.若AE＝8，FC＝6，求EF的长.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，连接BD.∵ ∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴ ∠A＝90°－∠C＝45°.∴ ∠C＝∠A.∴ AB＝BC.∵ D为边AC的中点，∴ ∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC.∴ ∠EBD＝∠C.∵ ∠EDB＋∠FDB＝90°，∠FDB＋∠CDF＝90°，∴ ∠EDB＝∠FDC.在△BED和△CFD中，∵ ∴ △BED≌△CFD.∴ BE＝CF＝6.∵ AB＝BC，∴ AB－BE＝BC－CF，即AE＝BF＝8.在Rt△BEF中，EF＝＝10
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7