2024年中考数学二轮复习题型突破课件：正方形中的常考题型(共24张PPT)

(共24张PPT)
正方形中的常考题型
类型1　求最值
方法指导：在已知正方形的条件下，求动点运动时，相关线段或线段和差的最大值或最小值，关键是动中求静、变中找不变，利用正方形的对称性将其转化为“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解.两点之间线段最短，即三角形的两边之和大于第三边（两边重合时取最值）.
典例1 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为（　C　）
典例1图
A. B. 4 C. D. 3
C
典例2 如图，E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，P为AD的中点，连接PG，在点E运动的过程中，PG长的最小值是（　C　）
典例2图
A. 2 B. C. 2 D. 4
C
典例3 （2023·池州东至一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分别为边BC，AB上的动点，且AQ＝BP，AP与DQ交于点E，则线段BE长的最小值为 　3－3　 .
典例3图
3－3
类型2　十字模型
模型解读：如图①，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点.若AE⊥BF，则AE＝BF.如图②，E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上的点.若EG⊥FH，则EG＝FH.
　　　
典例4 如图，在正方形ABCD中，AE＝BF，则下列结论中，一定成立的是（　D　）
典例4图
D
A. ∠BEC＝60°
B. ∠CFD＝60°
C. AB＝2AE
D. CE⊥DF
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边DC上一点，DE＝3，连接AE，过点D作AE的垂线，交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为（　B　）
典例5图
A. B.
C. 3 D. 5
B
典例6 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，点P，Q分别在边AB，AD上，连接PF，QE交于点H，∠FHE＝90°，PF＝4.求QE的长.
解：如图，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于点N.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝90°.∵ QM⊥BC，∴ ∠QMB＝∠B＝∠A＝90°.∴ 四边形ABMQ是矩形.∴ AB＝QM.同理，可得四边形BCNP是矩形.∴ BC＝PN，PN∥BC.∴ QM⊥PN.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC.∴ QM＝PN.∵ ∠FHE＝90°，∴ PF⊥QE.∴ 易知∠MQE＝∠NPF.在△QME和△PNF中，
∵ ∴ △QME≌△PNF.∴ QE＝PF＝4.
典例6图答案
类型3　对角互补模型
模型解读：如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，如图②，过点D 作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则△DEA≌△DFC，AB＋BC＝2BF＝BD.
　　　
典例7 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　B　）
典例7图
A. 2 B. C. D.
B
典例8 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.
典例8图
解：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD.∴ ∠COD＝90°.∴ ∠DOF＋∠COF＝90°.∵ ∠EOF＝90°，
∴ ∠COE＋∠COF＝90°.∴ ∠COE＝∠DOF.∴ △COE≌△DOF.∴ CE＝DF.
类型4　半角模型
模型解读：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接EF，AG，则△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF.
典例9 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝GF.
典例9图
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°.∵ 点G在CD的延长线上，∴ ∠ADG＝180°－∠ADC＝90°.∴ ∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵ ∴ △ABE≌△ADG.
∴ ∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠BAE＋∠DAF＝45°.∴ ∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°.在△EAF和△GAF中，
∵ ∴ △EAF≌△GAF.∴ EF＝GF.
典例9图
强化练习
1. （2023·芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E是边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，连接CF，则CF长的最小值为（　B　）
A. 5 B. 5－5
C. D.
第1题
B
1
2
3
4
5
6
2. （2023·合肥模拟）如图，在△BCP中，BP＝，PC＝4，现以BC为边在BC下方作正方形ABCD并连接AP，则AP长的最大值为（　B　）
A. 2 B. 6
C. 4＋2 D.
第2题
B
1
2
3
4
5
6
3. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　D　）
A. 2 B. C. D.
第3题
D
1
2
3
4
5
6
4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上.若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　A　）
A. B. C. 2 D.
第4题
A
1
2
3
4
5
6
5. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ 　 　 .
第5题

1
2
3
4
5
6
6. 操作发现：在正方形ABCD中，P是对角线AC和BD的交点，∠EPF＝90°，∠EPF的两边分别交直线AB，BC于点E，F.
（1） 当点E，F分别在边AB，BC上时，如图①，求证：（AE＋CF）＝AC.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，AC＝BD，AP＝AC，BP＝BD，∠ABC＝90°，∠PAE＝∠PBF＝45°，∠APB＝90°.
∴ AP＝BP.又∵ ∠EPF＝90°，∴ ∠APB＝∠EPF.∴ ∠APB－∠EPB＝∠EPF－∠EPB，即∠APE＝∠BPF.∴ △APE≌△BPF.∴ AE＝BF.
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴ 由勾股定理，得AC＝＝BC.又∵ BC＝BF＋CF＝AE＋CF，∴ （AE＋CF）＝AC
第6题
1
2
3
4
5
6
（2） 当点E，F分别在边BA，CB的延长线上时，如图②，线段AE，CF，AC之间的数量关系是 　（CF－AE）＝AC　 .
（3） 当点E，F分别在边AB，BC的延长线上时，如图③，线段AE，CF，AC之间的数量关系是 　（AE－CF）＝AC　 .
　 　
第6题
（AE－CF）＝AC
（CF－AE）＝AC
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