2024年中考数学二轮复习突破课件：专题二 几何最值问题(共62张PPT)

(共62张PPT)
专题二 几何最值问题
类型1　由垂线段最短求最值
模型1：“一动一定”型（一个动点＋一个定点）
典例1 （2023·亳州二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
典例1图
（1） ∠MDN的度数是 　90°　 .
（2） 若AB＝6，AC＝8，连接MN，则当线段MN最短时，求线段AM的长.
90°
[思路点拨] （1） 根据有三个直角的四边形是矩形，可证得四边形DMAN是矩形，因此∠MDN＝90°.（2） 连接AD，根据矩形的对角线相等，可知AD＝MN.当线段MN最短时，线段AD也最短，因此当AD⊥BC时，AD最短，此时MN最短.结合等面积法与相似三角形可求得此时线段AM的长.
解：如图，连接AD.∵ ∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴ BC＝＝10.∵ DM⊥AB，DN⊥AC，∴ ∠DMA＝∠DNA＝90°.又∵ ∠BAC＝90°，四边形DMAN是矩形，∴ MN＝AD.当AD⊥BC时，线段AD最短，即线段MN最短，此时S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴ AD＝＝.∵ ∠AMD＝∠ADB＝90°，∠MAD＝∠DAB，
∴ △ADM∽△ABD.∴ ＝.∴ ＝.∴ AM＝.
典例1图答案
典例1图
跟踪训练
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是线段AB上的一个动点，则CP长的最小值为 　 　 .
第1题

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
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21
22
23
24
模型2：“两动一定”型（两个动点＋一个定点）
典例2 （2023·池州贵池模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，动点M，N分别在边AB，BC上，则CM＋MN的最小值是（　D　）
典例2图
D
A. 2
B. 2
C. 6
D. 3
[思路点拨] 作点C关于AB的对称点E，连接EB，EM，EN，过点E作EF⊥BC于点F.先根据轴对称将CM＋MN转化为EM＋MN，再根据两点之间线段最短和垂线段最短，可知EM＋MN≥EN≥EF，故CM＋MN的最小值为EF的长，结合三角函数求出EF的长即可.
跟踪训练
2. （2023·合肥模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2＋2，BD平分∠ABC.若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP＋PQ的最小值是（　B　）
A. 2＋2
B. ＋3
C. 2＋2
D. ＋4
第2题
B
类型2　利用“两点之间，线段最短”求最值
模型1：“一线两定”型（一个动点＋两个定点）
（1） 异侧线段和的最小值问题
典例3 （2023·黄山模拟）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是AD上的动点，则EF＋CF的最小值为 　2　　 .
典例3图
[思路点拨] 连接CE，交AD于点F'.根据两点之间线段最短，当动点F与点F'重合时，EF＋CF的值最小，即为CE的长.利用勾股定理即可求解.
2　
跟踪训练
3. （2023·阜阳太和一模）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，则下列结论中，错误的是（　D　）
A. 若S1＝S3，则点P在AB的垂直平分线上
B. S2＋S4＝S1＋S3
C. 若AB＝4，BC＝3，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值为10
D. 若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，则PA＝2.5
第3题
D
（2） 同侧线段和最小值问题（将军饮马）
典例4 （2023·滁州定远一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，连接PA，PE，则PA＋PE的最小值是 　 　 .　
典例4图
[思路点拨] 连接CP，CE，易证△ABP≌△CBP，得AP＝CP，当E，P，C三点共线时，CP＋PE取得最小值，为CE的长，利用勾股定理即可求解.

跟踪训练
4. （2023·马鞍山模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上运动.当PA＋PD取得最小值时，△APD的边AP上的高为（　B　）
A.
B.
C.
D.
第4题
B
模型2：“一点两线”型（两个动点＋一个定点）
典例5 如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接OP，PM，PN，MN.若OP＝5，则△PMN的周长的最小值为 　5　 .　
典例5图
[思路点拨] 分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，此时△PMN的周长取得最小值.结合轴对称即可求出△PMN的周长的最小值.
5
跟踪训练
5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F，使△DEF的周长最小，此时∠EDF的度数为 　112°　 .
第5题
112°
类型3　圆中的最值问题（含“隐”圆）
模型1：点和圆的最值问题
典例6 （2023·安庆岳西模拟）如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆O上的一个动点，连接AE，EF，求AE＋EF的最小值.
[思路点拨] 延长AD到点G，使得AD＝DG，连接OG，交CD于点M，交半圆于点N，则AE＋EF的最小值即为GN的长，根据GN＝OG－ON并结合勾股定理即可求解.
解：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接OG交CD于点M，交半圆O于点N，则AE＋EF的最小值即为GN的长.由题意，得AD＝DG＝BC＝4，ON＝OC＝BC＝2.过点O作OH⊥AD于点H，则∠OHG＝90°.
又∵ ∠ADC＝∠DCB＝90°.∴ 四边形OCDH是矩形.∴ OH＝CD＝4，DH＝OC＝2.∴ OG＝＝2.∴ AE＋EF的最小值为OG－ON＝2－2.
典例6图答案
跟踪训练
6. （2022·泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的☉O在Rt△ABC内平移（☉O可以与该三角形的边相切），则点A到☉O上的点的距离的最大值为 　2＋1　 .
第6题
2＋1
模型2：线和圆的最值问题
典例7 如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为，P为边AB上一动点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ长的最小值为（　D　）
典例7图
D
A.
B.
C. 2
D. 3
[思路点拨] 连接CQ，CP，过点C作CH⊥AB于点H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理可知PQ＝.当CP⊥AB，即点P与点H重合时，CP的长最小，此时PQ的长取得最小值.
跟踪训练
7. 如图，在平面直角坐标系中，☉P经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6）.若D是☉P上的一动点，则当点D到弦OB的距离最大时，sin∠BOD的值是（　D　）
A.
B. 3
C.
D.
第7题
D
模型3：定点定长构造辅助圆求最值
典例8 如图，在等边三角形ABC和等边三角形ADE中，N，M分别为BC，DE的中点，连接MN，AB＝6，AD＝4.在△ADE绕点A旋转的过程中，MN长的最大值为 　5　 .
典例8图
5
[思路点拨] 连接AN，AM，以点A为圆心、AM长为半径作圆，延长NA，与圆交于点M'，点M在以点A为圆心、AM长为半径的圆上运动，则MN长的最大值为M'N的长，根据勾股定理分别算出AM，AN的长，则MN长的最大值为M'N＝AN＋AM'＝AN＋AM.
跟踪训练
8. 如图，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），C为平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，则OM长的最大值为 　1＋2　 .
第8题
1＋
2
模型4：定弦定角构造辅助圆求最值
典例9 （2023·安庆迎江三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH长的最小值为（　D　）
典例9图
D
A. 2
B. 4
C. 2－2
D. 2－2
[思路点拨] 取BC的中点G，以点G为圆心、CG长为半径作☉G，连接AG.由直角三角形的性质，可得☉G过点H，由勾股定理，可得AG＝2，由AH≥AG－HG，可得当H为线段AG与☉G的交点时，AH的长取得最小值.　
跟踪训练
9. （2023·合肥庐阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点P为△ABC的内心，连接AP，BP，O为AB的中点，将BO绕点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（　A　）
A. 5－5
B.
C. 3－3
D. 5－
第9题
A
模型5：利用四点共圆求最值
典例10 （2023·滁州全椒模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延长BA至点D，连接CD，使得∠ADC＝45°，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF长的最小值为（　C　）
典例10图
C
A. （＋）
B. （＋）
C. （3＋）
D. （3＋）
[思路点拨] 连接DP，取DP的中点M，连接ME，MF，得P，F，D，E四点在以点M为圆心的圆上，∠EMF＝2∠ADC＝90°，当DP⊥BC时，DP的长取得最小值，MF的长也取得最小值，同时EF的长也取得最小值.由此计算即可求解.
跟踪训练
10. 如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，求AD长的最大值.
解：∵ ∠ABC＝∠ADC＝45°，∴ A，C，D，B四点共圆.如图，作☉O经过A，C，D，B四点，连接AO并延长，交☉O于点D'.当点D运动到点D'处时，AD的长取得最大值.∵ ∠ADC＝45°，∴ ∠AOC＝2∠ADC＝90°.∵ OA＝OC，∴ △AOC是等腰直角三角形.∵ AC＝6，∴ AO＝6×＝3.∴ AD'＝2AO＝6，即AD长的最大值为6.
第10题答案
强化练习
练习1　线段最值问题
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC长的最小值是（　C　）
A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA＋PC的最小值是（　B　）
A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
第2题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
3. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，P，Q分别是边BC，AC上的动点，则AP＋PQ的最小值是（　B　）
A. 4 B. C. 5 D.
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
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10
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12
13
14
4. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，E为边AC上的动点，F为边AB上的动点，则FE＋EB的最小值是（　B　）
A. B. C. D.
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC＋QD的最小值为（　D　）
A. 22
B. 24
C. 25
D. 26
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点.当△MCN的周长最小时，∠MCN的度数是（　D　）
A. 50° B. 70° C. 90° D. 100°
第6题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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12
13
14
7. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上且BE＝1，P，Q分别是边BC，CD上的动点（均不与顶点重合）.当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（　B　）
A. B.
C. D.
第7题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为边BC上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为 　15　 .
第8题
15
1
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3
4
5
6
7
8
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10
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12
13
14
9. 如图，动点P在矩形ABCD内运动，AB＝7，BC＝5，且满足＝10.5，则PA＋PB的最小值是 　 　 .
第9题

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD相交于点O，E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM＋MN的最小值为 　 　 .
第10题

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
11. 如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸）.现测得A，B两点到河岸的距离分别是5m，4m，河宽MN为3m，且A，B两点之间的水平距离为12m，则AM＋MN＋NB的最小值是 　18　 m.
第11题
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 如图，二次函数y＝－x2＋x＋2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，则AM＋MN的最小值为 　4　 .
第12题
4
1
2
3
4
5
6
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14
13. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于点C，P为BC上一动点，过点P作PQ⊥AB于点Q.若∠ABC＝45°，CD＝3，BC＝7，则DP＋PQ的最小值为 　5　 .
第13题
5
1
2
3
4
5
6
7
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9
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13
14
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，D是边AC的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到线段DF，连接AF，EF.在点E的运动过程中，求线段AF长的最小值.
1
2
3
4
5
6
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10
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12
13
14
解：如图，过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FJ⊥DM于点J，交AB于点N.∵ 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴ AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2.∵ D是AC的中点，∴ AD＝DC.∵ 易得DM∥AB，∴ △CDM∽△CAB.∴ ＝＝＝.∴ DM＝AB＝，BM＝CM＝BC＝1.∵ 易知四边形BMJN是矩形，∴ JN＝BM＝1.
∵ ∠FDJ＋∠EDM＝90°，∠EDM＋∠DEM＝90°，∴ ∠FDJ＝∠DEM.∵ ∠FJD＝∠DME＝90°，FD＝DE，∴ △FJD≌△DME. ∴ FJ＝DM＝.∴ FN＝FJ＋JN＝1＋.∴ 点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为＋1）.根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF最短.∴ 线段AF长的最小值为＋1.
第14题答案
第14题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
练习2　圆中的最值问题（含“隐”圆）
1. 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　D　）
A. B. 1
C. －3 D. －2
D
1
2
3
4
5
6
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8
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10
11
12
13
2. 如图，☉O的圆心O与正方形的中心重合.若☉O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为（　D　）
A. B. 2
C. 4＋2 D. 4－2
第2题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC.若∠PBC＝∠PAB，则PC长的最小值是（　C　）
A. 6 B. －3
C. 2－4 D. 4－4
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
4. 如图，☉O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　A　）
A. 12 B. 12
C. 4 D. 8＋8
第4题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，正方形ABCD的边长为2，P是射线AD上的一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ长的最小值为（　C　）
A. B. 1
C. －1 D. 2－1
第5题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
6. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，C为平面内一动点，BC＝，连接AC，M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA＝1∶2.当线段OM的长取最大值时，点M的坐标是（　D　）
A. B.
C. D.
第6题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD长的最小值为（　A　）
A. 2－2 B. 2－4
C. 4 D. 2
第7题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 如图，点M的坐标为（3，4），点A的坐标为（－2，0），点A与点B关于原点对称，P是平面上一点，且满足PA⊥PB，则线段PM长的最小值为 　3　 .
第8题
3
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
9. 如图，☉M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于A，B两点.若点A与点B关于原点O对称，则AB长的最大值为 　24　 .
第9题
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则BC'长的最小值为 　3－3　 .
第10题
3－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长的最小值为 　－1　 .
第11题
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 如图，AB⊥BC，AB＝5，E，F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD长的最小值为 　 　 .
第12题

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是AC的中点，F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，求△BDF周长的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴ AB＝4.
∴ AC＝＝＝2.如图，以点E为圆心、AE长为半径作圆，连接BE，交☉E于点D'，当点D位于点D'的位置时，BD的长最小.∵ 将△AEF沿EF对折得到△DEF，且E是AC的中点，∴ AF＝DF，AE＝DE＝AC＝.∵ C△BDF＝DF＋FB＋BD＝AF＋FB＋BD＝AB＋BD＝4＋BD，∴ △BDF周长的最小值为4＋BD'.过点E作EM⊥AB于点M.在Rt△EMA中，∠A＝30°，AE＝，∴ EM＝AE＝，AM＝AE＝.∴ BM＝AB－AM＝4－＝.在Rt△BME中，由勾股定理，得BE＝＝＝.∴ BD'＝BE－ED'＝－.∴ △BDF周长的最小值为4＋－
第13题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13