6完全平方公式
第2课时 完全平方公式的运用
【基础作业】
1.利用完全平方公式计算79.82,下列变形最恰当的是 ( )
A.(99+0.8)2 B.(80-0.2)2
C.(100-20.2)2 D.(70+9.8)2
2.为了用乘法公式计算(2x-3y-4z)(2x-3y+4z),甲、乙、丙、丁四位同学分别对它们进行了变形,其中变形正确的是( )
A.[2x-(3y+4z)][ 2x-(3y-4z)]
B.[(2x-3y)-4z][(2x-3y)+4z]
C.[(2x-4z)-3y][(2x+4z)-3y]
D.[(2x-4z)+3y][(2x-4z)-3y]
3.已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab等于 ( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【能力作业】
4.当a=1,b=-2时,求a+b2-a-b2+2a(a-b)的值.
5.图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为 .
(2)观察图2,请你写出 (a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .
(3)根据(2)中的结论,若x+y=5,xy=,求(x-y)2的值.
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.
如图3,你发现的等式是 .
【素养作业】
6.图甲是一个长为2a,宽为2b的正方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按乙图形形状拼成一个正方形.
(1)求图乙中的阴影部分的正方形的边长.
(2)请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积.
(3)观察图乙,你能写出下列三个式子之间的等量关系吗
式子:(a+b)2,(a-b)2,ab.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若m+n=8,mn=12,求m-n的值.
7.阅读下列计算过程:99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=1002=104.
(1)仿照上面的计算过程按步填空:
999×999+1999=
= = = ;
9999×9999+19999=
== = .
(2)猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少 要求写出计算过程.
8.若x满足(9-x)(x-4)=4,求(x-4)2+(x-9)2的值.
9.请仿照上面的方法求解下面问题:
(1)若x满足(x-2024)2+(x-2023)2=41,求(x-2024)(x-2023)的值.
(2)如图,已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形EMFD的面积是35,分别以MF,DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
参考答案
基础达标
1.B
2.B
3.C
能力巩固
4.解:原式=a2+ab+b2-a2-ab+b2+2a2-2ab=a2+ab+b2-a2+ab-b2+2a2-2ab=2a2.当a=1,b=-2时,原式=2×12=2.
5.解:(1)(b-a)2.
(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
(3)当x+y=5,xy=时,
(x-y)2=(x+y)2-4xy
=52-4×
=16.
(4)(a+b)(3a+b)=3a2+4ab+b2.
素养拓展
6.解:(1)观察图形可得到图乙中阴影部分正方形的边长为a-b.
(2)从正方形的面积等于边长平方的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a-b)2;从阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a+b)2-4ab.
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab或(a+b)2=(a-b)2+4ab或4ab=(a+b)2-(a-b)2.
(4)根据(a-b)2=(a+b)2-4ab,可得
(m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×12=16,
所以m-n=4或-4.
7.(1)9992+2×999+1 (999+1)2 10002 106
99992+2×9999+1 (9999+1)2 10 0002 108
(2)解:9 999 999 999×9 999 999 999+19 999 999 999
=9 999 999 9992+2×9 999 999 999+1
=(9 999 999 999+1)2=10 000 000 0002
=1020.
8.解:(1)设x-2024=a,x-2023=b,
则a2+b2=41,a-b=(x-2024)-(x-2023)=-1,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab,
所以(x-2024)(x-2023)=ab=[a2+b2-(a-b)2]=×[41-(-1)2]=20.
(2)根据题意可得,S长方形MFDE=ED·FD=(x-1)(x-3)=35.
设x-1=a,x-3=b,
则ab=35,a-b=(x-1)-(x-3)=2,
所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4×35=144.
因为a,b都为正数,
所以a+b=12,a+b=-12(舍去),
S阴影=S正方形MFRN-S正方形GFDH
=(x-1)2-(x-3)2
=a2-b2
=(a+b)(a-b)
=12×2
=24.
所以阴影部分的面积为24.
参考答案
基础达标
1.B
2.B
3.C
能力巩固
4.解:原式=a2+ab+b2-a2-ab+b2+2a2-2ab=a2+ab+b2-a2+ab-b2+2a2-2ab=2a2.当a=1,b=-2时,原式=2×12=2.
5.解:(1)(b-a)2.
(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
(3)当x+y=5,xy=时,
(x-y)2=(x+y)2-4xy
=52-4×
=16.
(4)(a+b)(3a+b)=3a2+4ab+b2.
素养拓展
6.解:(1)观察图形可得到图乙中阴影部分正方形的边长为a-b.
(2)从正方形的面积等于边长平方的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a-b)2;从阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a+b)2-4ab.
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab或(a+b)2=(a-b)2+4ab或4ab=(a+b)2-(a-b)2.
(4)根据(a-b)2=(a+b)2-4ab,可得
(m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×12=16,
所以m-n=4或-4.
7.(1)9992+2×999+1 (999+1)2 10002 106
99992+2×9999+1 (9999+1)2 10 0002 108
(2)解:9 999 999 999×9 999 999 999+19 999 999 999
=9 999 999 9992+2×9 999 999 999+1
=(9 999 999 999+1)2=10 000 000 0002
=1020.
8.解:(1)设x-2024=a,x-2023=b,
则a2+b2=41,a-b=(x-2024)-(x-2023)=-1,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab,
所以(x-2024)(x-2023)=ab=[a2+b2-(a-b)2]=×[41-(-1)2]=20.
(2)根据题意可得,S长方形MFDE=ED·FD=(x-1)(x-3)=35.
设x-1=a,x-3=b,
则ab=35,a-b=(x-1)-(x-3)=2,
所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4×35=144.
因为a,b都为正数,
所以a+b=12,a+b=-12(舍去),
S阴影=S正方形MFRN-S正方形GFDH
=(x-1)2-(x-3)2
=a2-b2
=(a+b)(a-b)
=12×2
=24.
所以阴影部分的面积为24.
26完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【基础作业】
1.计算(2x+1)2的结果为 ( )
A.2x2+2x+1 B.2x2+4x+1
C.2x2+1 D.4x2+4x+1
2.下列运算正确的是 ( )
A.(x-y)2=x2-y2
B.(a+3)2=a2+9
C.(a+b)(-a-b)=a2-b2
D.m-n2=m2-mn+n2
3.若x-2展开后等于x2+ax+,则a的值为 .
4.已知(x-3)2=x2+2mx+9,则m的值是 .
5.已知a+b=5,(a-b)2=13,则ab的值是 .
【能力作业】
6.已知xy=10,(x-2y)2=1,则(x+2y)2的值为 ( )
A.21 B.9
C.81 D.41
7.若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立,则a= .
8.如图,一个正方形的边长为b cm,边长增加5 cm后,它的面积增加 cm2.
9.计算:(1)x-y2;
(2)(a-2)2-a2;
(3)(a+2b-3c)2.
【素养作业】
10.用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案(如图).
(1)若长方形的长为a,宽为b,则小正方形面积为 .
(2)根据图案,利用面积关系,你能得到一个等式为 .
(3)若这个大正方形的边长为16,每个长方形的面积为63,求小正方形的边长.
11.(数学文化)观察下列算式,尝试解决问题:
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行都表示(a+b)n(此处n=0,1,2,3,4,5,…)的计算结果中的各项系数:
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
……
(1)请根据上题中的“杨辉三角系数集”,仔细观察下列各式中系数的规律,并填空:(a+b)1=a+b,各项系数之和为1+1=2=21;(a+b)2=a2+2ab+b2,各项系数之和为1+2+1=4=22;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,各项系数之和为1+3+3+1=8=23.
①请补全下面展开式的系数:(a-b)6=a6+ a5b+15a4b2+ a3b3+15a2b4-6ab5+b6;
②请写出(a+b)10各项系数之和: .
(2)设(x+1)17=a17x17+a16x16+…+a1x+a0,求a1+a2+a3+…+a16+a17的值.
(3)你能在(2)的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗 若能,请写出过程.
参考答案
基础达标
1.D
2.D
3.-1
4.-3
5.3
能力巩固
6.C
7.3
8.10b+25
9.解:(1)原式=x2-2·x ·y+y2=x2-2xy+y2.
(2)原式=a2-4a+4-a2=-4a+4.
(3)原式=[(a+2b)-3c]2=(a+2b)2-2·(a+2b)·(3c)+(3c)2=a2+4ab+4b2-6ac-12bc+9c2.
素养拓展
10.解:(1)(a-b)2(或a2-2ab+b2).
(2)(a-b)2=a2-2ab+b2.
(3)小正方形的面积为162-4×63=256-252=4,所以小正方形的边长为2.
11.解:(1)①(a-b)6=a6+(-6)a5b+15a4b2+(-20)·a3b3+15a2b4-6ab5+b6.
故答案为-6;-20.
②因为(a+b)1=a+b,各项系数之和为1+1=2=21,
(a+b)2=a2+2ab+b2,各项系数之和为1+2+1=4=22,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,各项系数之和为1+3+3+1=8=23,
…
(a+b)10的各项系数之和:210.
故答案为210.
(2)由(1)得(x+1)17的各项系数之和为217,
即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17=217,
所以a1+a2+a3+…+a16+a17=217-1.
(3)当x=1时,(1+1)17=217=a17×1+a16×1+…+a1×1+a0=a17+a16+…+a1+a0①,
当x=-1时,(-1+1)17=0=-a17+a16-…+a2-a1+a0②,
①+②得2(a0+a2+a4+a6+…+a14+a16)=217,
因为a0=1,
所以a2+a4+a6+…+a14+a16=216-1.
2
