1认识三角形
第3课时 三角形中的重要线段
【基础作业】
1.下列四个图中,正确画出△ABC中BC边上高的是 ( )
A B
C D
2.如图,AD是△ABC的∠A的平分线,若∠B=45°,∠C=75°,则∠ADB= .
3.如果AD是△ABC的角平分线,∠BAC=90°,那么∠CAD= .
【能力作业】
4.如图,BE,CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110°,则∠A等于 ( )
A.50°
B.40°
C.70°
D.35°
5.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是 .
6.如图,△ABC的周长是21 cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长长6 cm,求AB,BC的长.
【素养作业】
7.如图1,在△ABC中,AD是角平分线,AE⊥BC于点E.
(1)若∠C=80°,∠B=50°,求∠DAE的度数.
(2)若∠C>∠B,试说明∠DAE=(∠C-∠B).
(3)如图2,若将点A在AD上移交到A'处,A'E⊥BC于点E.此时∠DAE变成∠DA'E,(2)中的结论还正确吗 为什么
参考答案
基础达标
1.C
2.105°
3.45°
能力巩固
4.B
5.135°
6.解:因为BD是中线,
所以AD=CD=AC.
因为△ABD的周长比△BCD的周长长6 cm,
所以(AB+AD+BD)-(BD+CD+BC)=AB-BC
=6 cm①.
因为△ABC的周长是21 cm,AB=AC,
所以2AB+BC=21 cm②,
由①②得AB=9 cm,BC=3 cm.
素养拓展
7.解:(1)在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°.
因为AD是角平分线,所以∠DAC=∠BAC=25°.
在△ADC中,∠ADC=180°-∠C-∠DAC=75°,
在△ADE中,∠DAE=180°-∠ADC-∠AED=15°.
(2)∠DAE=180°-∠ADC-∠AED=180°-∠ADC-90°=90°-∠ADC=90°-(180°-∠C-∠DAC)=90°-180°-∠C-∠BAC=90°-180°-∠C-(180°-∠B-∠C)=(∠C-∠B).
(3)(2)中的结论仍正确.
∠A'DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+(180°-∠B-∠C)=90°+∠B-∠C.
在△DA'E中,∠DA'E=180°-∠A'ED-∠A'DE=180°-90°-90°+∠B-∠C=(∠C-∠B).
21认识三角形
第1课时 三角形的内角
【基础作业】
1.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角,∠A=70°,∠C=30°,∠B= .
2.直角三角形一个锐角为70°,另一个锐角为 °.
3.在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,则△ABC是 三角形.
4.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠C= .
5.如图,图中以BC为边的三角形有 个.
【能力作业】
6.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 ( )
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
7.在△ABC中,∠B-∠A-∠C=30°,则∠B= .
8.在△ABC中,∠B=∠C=∠A,则∠A= ,∠B= ,∠C= .
9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= .
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠B=30°,求∠ACD的度数.
11.如图,在△ABC中,∠1=27°,∠2=85°,∠3=38°,求∠4的度数.
12.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,试求∠ABD的度数.
【素养作业】
13.如图,在△ABC中,A1,A2,A3,…,An为AC边上不同的n个点,连接BA1,
发现图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形.
(1)完成下表:
连接点个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数
(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点
(3)若一直连接到An,则图中共有多少个三角形
14.如图,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
参考答案
基础达标
1.80°
2.20
3.直角
4.90°
5.4
能力巩固
6.D
7.105°
8.90° 45° 45°
9.280°
10.解:在△ABC中,因为∠ACB=90°,∠B=30°,所以∠A=90°-∠B=60°.因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=30°.
11.解:根据图形得出∠DEB+∠2+∠3=180°.而∠2=85°,∠3=38°,所以∠DEB=180°-∠2-∠3=180°-85°-38°=57°.又因为∠AED+∠DEB=180°,所以∠AED=180°-∠DEB=180°-57°=123°.而∠AED+∠1+∠4=180°,∠1=27°,即∠4=180°-∠AED-∠1=180°-123°-27°=30°.故∠4的度数为30°.
12.解:设∠A、∠ABC、∠ACB的度数分别为3x、4x、5x.则3x+4x+5x=180°,解得x=15°,所以∠A=45°,∠ACB=75°.又因为∠A+∠ABD=90°,
所以∠ABD=90°-45°=45°.
素养拓展
13.解:(1)
连接点个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
(2)8个点.
(3)1+2+3+…+(n+1)
=[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]
=(n+1)(n+2).
14.解:如图,连接BC.因为∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°,∠EFD=∠BFC,
所以∠E+∠D=∠1+∠2,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2
=∠ABC+∠A+∠ACB
=180°.
21认识三角形
第2课时 三角形的三边关系
【基础作业】
1.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是 ( )
A.15cm B.16cm
C.17cm D.16cm或17cm
2.以下列各组线段为边,能组成三角形的是 ( )
A.2 cm,3 cm,5 cm
B.3 cm,3 cm,6 cm
C.5 cm,8 cm,2 cm
D.4 cm,5 cm,6 cm
3.若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.8
4.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c= .
5.两根木棒的长分别是3 cm和5 cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,如果第三根木棒的长为偶数,那么第三根木棒的长有 种情况.
【能力作业】
6.已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
7.现有长度分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的五条线段,从其中选三条线段为边可以构成 个不同的三角形.
8.如果三角形的两边长分别是2和4,且第三边是奇数,那么第三边的长为 .若第三边为偶数,则三角形的周长为 .
9.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,问图中共有多少个三角形 请把它们一一写出来.
10.一个三角形的两边b=2,c=7.
(1)当三角形的各边均为整数时,能构造几个三角形
(2)若此三角形是等腰三角形,则其周长是多少
11.已知a,b,c是三角形的三边长.
(1)化简:|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
(2)在(1)的条件下,若a=5,b=4,c=3,求这个式子的值.
【素养作业】
12.有四个汽车停车场,位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点,现在要建立一个汽车维修站,你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P,使点P到A,B,C,D四点的距离之和最小吗
13.如图,四边形ABCD是任意四边形,AC与BD交于点O.试说明AC+BD>(AB+BC+CD+DA).
参考答案
基础达标
1.D
2.D
3.C
4.7
5.2
能力巩固
6.C
7.3
8.3或5 10
9.解:图中共有7个三角形,它们分别是△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△AEC、△ADC、△AFG.
10.解:(1)设第三边长为a,则5
由于三角形的各边均为整数,则a=6或7或8,因此能构造三个三角形.
(2)当a=7时,有a=7=c,所以周长为7+7+2=16.
11.解:(1)因为a、b、c是三角形的三边长,
所以a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0,
所以原式=-a+b+c-b+a+c-c+a+b
=a+b+c.
(2)当a=5,b=4,c=3时,
原式=5+4+3=12.
素养拓展
12.
解:可以.如图,连接AC、BD,其交点即点P的位置.根据三角形任意两边之和大于第三边,可知到四个汽车停车场距离之和PA+PB+PC+PD最小.
13.解:在△OAB中,OA+OB>AB,
在△OAD中,OA+OD>AD,
在△ODC中,OD+OC>CD,
在△OBC中,OB+OC>BC,
则OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA,
即2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA,
即AC+BD>(AB+BC+CD+DA).
2