3探索三角形全等的条件
第1课时 SSS
【基础作业】
1.如图, AF=CD,AB=ED,EF=BC,那么△ABC≌△DEF的理由是 (用字母表示).
2.如图,AD=BC,BD=AC.试说明:∠ADB=∠BCA.
【能力作业】
3.如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O, AB=DC,AC=BD.
(1)△ABC≌△DCB成立吗 请说明理由.
(2)△OBC的形状是 (直接写出结论).
4.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图,在筝形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O.
(1)①△ABC≌△ADC;②OB=OD,AC⊥BD成立吗 请说明理由.
(2)如果AC=6,BD=4,求筝形ABCD的面积.
5.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M,∠NBC=∠MBC,∠NCB=∠MCB.试说明:BN=NC.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.试说明:∠C=∠A.
7.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E,F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论:
(1)∠D=∠B;(2)AE∥CF.
【素养作业】
8.如图,AB交CD于点O,AD,CB的延长线交于点E, 且OA=OC,EA=EC,你能说明∠A=∠C吗 点O在∠AEC的平分线上吗
参考答案
基础达标
1.SSS
2.解:在△ADB和△BCA中,
所以△ADB≌△BCA(SSS),
所以∠ADB=∠BCA.
能力巩固
3.解:(1)成立.理由:在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(SSS).
(2)等腰三角形.
4.解:(1)成立.理由:①在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC;
②因为△ABC≌△ADC,所以∠BAO=∠DAO.
因为AB=AD,所以OB=OD,AC⊥BD.
(2)筝形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=×AC×BO+×AC×DO
=×AC×BD=×6×4
=12.
5.解:如图,在△ABC和△DCB中,因为AB=DC,AC=DB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB,所以∠MBC=∠MCB.所以∠NBC=∠NCB,即BN=NC.
6.解:如图,连接BD,在△ABD与△CBD中,因为AB=CB,AD=CD,BD=DB(公共边),所以△ABD≌△CBD(SSS),所以∠C=∠A.
7.解:(1)因为AD=CB,AE=CF,DE=BF,
所以△ADE≌△CBF(SSS),
所以∠D =∠B.
(2)因为△ADE≌△CBF,
所以∠AED =∠CFB,
所以∠AEO =∠CFO,
所以AE∥CF.
素养拓展
8.解:连接OE(图略),由“SSS”知△AOE≌△COE,
则∠A=∠C,且∠AEO=∠CEO,
所以点O在∠AEC的平分线上.
23探索三角形全等的条件
第3课时 SAS
【基础作业】
1.如图,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据SAS判定△ABC≌△DEF,还需的条件是 ( )
A.∠A=∠D
B.∠B=∠E
C.∠C=∠F
D.以上三个均可以
2.下面各条件中,能使△ABC≌△DEF的条件的是 ( )
A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF
B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
3.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=AC,以线段AD为边作△ADE,使得AE=AB,∠BAE=∠CAD.试说明:DE=CB.
【能力作业】
如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不正确的是 ( )
A.∠BAD=∠CAE
B.△ABD≌△ACE
C.AB=BC
D.BD=CE
5.如图,已知AF=BE,∠A=∠B,AC=BD,经分析 ,此时有∠F= .
6.如图,AB、CD相交于点O,且AO=OB,观察图形,图中已具备的另一相等的条件是 ,联想到SAS,只需补充条件 ,则有 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.试说明:AD⊥BC.
8.(条件、结论双开放)如图,在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE,BE.给出下列五个关系式:①AD∥BC;②DE=CE;③∠EAD=∠EAB;④∠EBA=∠EBC;⑤AD+BC=AB.将其中的三个关系式作为已知条件,另外两个作为结论,构成一个正确的题目.
【素养作业】
9.如图,AB=12米,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动,每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△CPA与△PQB全等
参考答案
基础达标
1.B
2.D
3.解:因为∠BAE=∠CAD,
所以∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,
即∠DAE=∠CAB.
在△ADE和△ACB中,
所以△ADE≌△ACB(SAS),
所以DE=CB.
能力巩固
4.C
5.△ADF≌△BCE ∠E
6.∠AOC=∠BOD OC=OD △AOC≌△BOD
7.解:如图,在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SAS),
所以∠3=∠4.
又因为∠3+∠4=180°,即2∠3=180°,
所以∠3=90°,即AD⊥BC.
8.解:(1)已知:⑤,③,④,
试说明:①,②.
如图,在AB上截取一点F,使AF=AD.
在△ADE和△AFE中,
所以△ADE≌△AFE,
所以ED=EF,∠AFE=∠D.
因为AD+BC=AB,所以BF=BC.
在△BEF和△BEC中,
所以△BEF≌△BEC,所以∠BFE=∠C,EF=EC,
所以ED=EC.
因为∠BFE+∠AFE=180°,
所以∠C+∠D=180°,所以AD∥BC.
素养拓展
9.解:①当△CPA≌△PQB时,BP=AC=4(米),
则BQ=AP=AB-BP=12-4=8(米),
点P运动的时间是4÷1=4(分钟),
点Q运动的时间是8÷2=4(分钟),
则当t=4分钟时,两个三角形全等.
②当△CPA≌△QPB时,BQ=AC=4(米),
AP=BP=AB=6(米),
则点P运动的时间是6÷1=6(分钟),
点Q运动的时间是4÷2=2(分钟),
故不能成立.
综上所述,运动4分钟后,△CPA与△PQB全等.
23探索三角形全等的条件
第2课时ASA与AAS
【基础作业】
1.若按给定的三个条件画一个三角形,图形唯一,则所给条件不可能是 ( )
A.两边一夹角 B.两角一夹边
C.三边 D.三角
2.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B';②BC=B'C';③AC=A'C';④∠A=∠A';⑤∠B=∠B'.则上述条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是 ( )
A.①②③ B.①②⑤
C.②④⑤ D.①③⑤
3.对于下列各组条件,不能判定△ABC≌△A'B'C'的一组是 ( )
A.∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'
B.∠A=∠A',AB=A'B',AC=A'C'
C.∠A=∠A',AB=A'B',BC=B'C'
D.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
4.如图,点E,F在线段BC上,AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF,试说明:AE=DF.
【能力作业】
5.(条件开放)如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 (添加一个条件即可).
6.如图,已知∠A=∠D,AB=CD,可得△ABO≌ ,理由是 .
7.如图,点D,E分别在AB,AC上,且AD=AE,∠BDC=∠CEB,则BD=CE成立吗 请说明理由.
8.如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,试说明:△ABC≌△EAD.
【素养作业】
9.如图,在△ABC与△ABD中,AD与BC相交于O点,∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其他线,不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并给出理由.你添加的条件是 .
10.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于点D,试说明:△ACD≌△CBE.
参考答案
基础达标
1.D
2.D
3.C
4.解:因为AB∥CD,
所以∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中,
所以△ABE≌△DCF(AAS),
所以AE=DF.
能力巩固
5.答案不唯一,如∠B=∠C等
6.△DCO AAS
7.解:成立.理由:因为∠ADC+∠BDC=180°,∠BEC+∠AEB=180°,
又因为∠BDC=∠CEB,
所以∠ADC=∠AEB.
在△ADC和△AEB中,
所以△ADC≌△AEB(ASA),即AB=AC.所以AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
8.解:由∠ECB=70°得∠ACB=110°.
又因为∠D=110°,
所以∠ACB=∠D.
因为AB∥DE,
所以∠CAB=∠E,
所以在△ABC和△EAD中,
所以△ABC≌△EAD(AAS).
素养拓展
9.解:添加条件列举:∠C=∠D;∠CAO=∠DBC等.理由:如果添加条件是∠C=∠D时,因为∠2=∠1,AB=BA,所以△ABC≌△BAD(AAS),即AC=BD;
如果添加条件是∠CAO=∠DBC时,
因为∠1=∠2,所以∠CAO+∠1=∠DBC+∠2,
所以∠CAB=∠DBA.又因为AB=BA,∠2=∠1,
所以△ABC≌△BAD(ASA),即AC=BD.
10.解:因为BE⊥CE,AD⊥CE,
所以∠CEB=∠ADC=90°.
因为∠BCE+∠ACD=∠ACB=90°,
∠CAD+∠ACD=180°-90°=90°.
所以∠BCE=∠CAD.
在△ACD和△CBE中,
所以△ACD≌△CBE(AAS).
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