3简单的轴对称图形
第2课时 垂直平分线的性质
【基础作业】
如图,P是△ABC内的一点,若PB=PC,则 ( )
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
2.如图,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,点D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
3.在△ABC中,AB=AC,BC=5,作AB的垂直平分线交另一腰AC于点D,连接BD,若△BCD周长是17,则腰长是 .
4.如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC=125°,则∠ABC= .
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB边上的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,连接BD,试说明:BD平分∠CBA.
【能力作业】
如图,在△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于 ( )
A.50° B.45° C.30° D.20°
如图,D是线段AB、BC垂直平分线的交点,若∠ABC=150°,则∠ADC的大小是 ( )
A.60° B.70° C.75° D.80°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,F分别为AB,AC的中点,DE⊥AB,GF⊥AC,E,G在BC上,BC=15 cm,求EG的长度.
9.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三人娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到
售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置.
【素养作业】
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
(1)若∠A=40°,求∠NMB的度数.
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,求∠NMB的度数.
(3)由(1)(2)你发现了什么规律 并说明理由.
参考答案
基础达标
1.D
2.B
3.12
4.70°
5.解:因为DE是AB边上的垂直平分线,∠A=30°,
所以AD=BD,
所以∠ABD=∠A=30°.
因为∠C=90°,
所以∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°,
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°,
所以∠ABD=∠CBD,
所以BD平分∠CBA.
能力巩固
6.D
7.A
8.解:如图,连接AE、AG,则AE=BE,AG=CG.因为AB=AC,∠BAC=120°,所以∠B=∠C=30°,所以∠AEG=∠AGE=60°,所以△AEG为等边三角形,所以AE=EG=AG=BE=CE,所以EG=BC=5 cm.
9.解:如图,连接AB、AC,分别作线段AB、AC的垂直平分线,两垂直平分线相交于点P,则点P即为售票中心.
素养拓展
10.解:因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠1=∠2.
因为FE是AD的垂直平分线,
所以FA=FD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
所以∠FAD=∠FDA(等边对等角).
因为∠BAF=∠FAD+∠1,∠ACF=∠FDA+∠2,
所以∠BAF=∠ACF.
11.解:(1)因为AB=AC,∠A=40°,
所以∠B=∠ACB==70°.
又因为MN⊥AB,
所以∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°.
(2)过程同(1),可求得∠NMB=35°.
(3)规律:∠NMB=∠A.
理由:因为在△ABC中,AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB==90°-∠A.
因为AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,
所以MN⊥AB,所以∠NMB=90°-∠ABC=∠A.
23简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
【基础作业】
1.下列图形中,是轴对称图形的有 ( )
①直角三角形;②线段;③等边三角形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥圆;⑦直角.
A.4个 B.3个
C.5个 D.6个
如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BC=10,则CD等于 ( )
A.10 B.6 C.5 D.3
3.等腰三角形的顶角为20°,则它的两个底角等于 ;等腰三角形的一角为20°,则它的其他两角为 ;等腰三角形的一角为120°,则它的其他两角为 .
4.已知等腰△ABC的周长等于24 cm,且底边减去一腰长的差为3 cm,那么这个三角形的底边长为 cm.
5.如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,E是BC延长线上的一点,DB=DE.求∠E的度数.
【能力作业】
6.在等腰△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,AB=8,则△DEB的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数为 ( )
A.30°
B.36°
C.45°
D.54°
8.有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将三角形对折,得到的三角形还是等腰直角三角形(如图).依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的( )
A. B.
C. D.
9.已知等腰△ABC的底边BC=8 cm,且|AC-BC|=2 cm,那么腰AC的长为 ( )
A.10 cm或6 cm
B.10 cm
C.6 cm
D.8 cm或6 cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E.
(1)若∠BAC=50°,求∠E的度数.
(2)若F是DE上的一点,且AD=AF,BF与DE相等吗 请判断并说明理由.
【素养作业】
11.(定义新概念)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .
12.如图,在等边△ABC中,AB=12 cm,现有M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边按顺时针方向运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次回到B点时,M,N同时停止运动,设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,M,N两点重合 两点重合在什么位置
(2)当点M,N在BC边上(含点B,点C)运动时,是否存在使AM=AN的位置 若存在,请求出此时点M,N运动的时间;若不存在,请说明理由.
参考答案
基础达标
1.D
2.C
3.80°,80° 80°、80°或20°、140° 30°,30°
4.10
5.解:因为△ABC是等边三角形,
所以AB=BC,∠ABC=60°.
因为BD⊥AC,
所以∠DBC=∠ABD=30°.
因为DB=DE,
所以∠E=∠DBC=30°.
能力巩固
6.C
7.C
8.B
9.A
10.解:(1)因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB.
因为∠BAC=50°,
所以∠ABC=(180°-∠BAC)=65°.
因为BD平分∠ABC,
所以∠CBD=∠ABC=32.5°.
因为AE∥BC,
所以∠E=∠CBD=32.5°.
(2)BF=DE.
理由:因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠CBD.
因为AE∥BC,
所以∠AEF=∠CBD,
所以∠ABD=∠AEF.
因为AD=AF,
所以∠ADF=∠AFD.
因为∠ADB=180°-∠ADF,∠AFE=180°-∠AFD,
所以∠ADB=∠AFE.
在△ABD与△AEF中,
所以△ABD≌△AEF(AAS),
所以BD=EF,
所以BD+DF=EF+DF,
所以BF=DE.
素养拓展
11.或
12.解:(1)由题意可知,t×1+12=2t,
解得t=12,
所以当t=12时,M,N两点重合.
此时两点在点C处重合.
(2)当点M、N在BC边上(含点B,点C)运动时,存在AM=AN.
理由:由(1)知12 s时M、N两点重合,恰好在C处,
如图,假设△AMN是等腰三角形,
所以AN=AM,
所以∠AMN=∠ANM,
所以∠AMC=∠ANB.
因为△ACB是等边三角形,
所以∠C=∠B=60°.
在△ACM和△ABN中,
所以△ACM≌△ABN(AAS),
所以CM=BN.
设当点M、N在BC边上(含点B,点C)运动,且M、N运动的时间为y s时,△AMN是等腰三角形,
所以CM=y-12,NB=36-2y.
因为CM=NB,
所以y-12=36-2y,
解得y=16.
所以当点M、N在BC边上(含点B,点C)运动,且运动时间为12 s或16 s时,AM=AN.
23简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
【基础作业】
如图,在ABC中,AD是它的角平分线,AB=4,AC=3,那么△ABD与△ADC的面积比是 ( )
A.1∶1 B.3∶4
C.4∶3 D.不能确定
2.如图,已知∠C=90°,∠1=∠2,若BC=10,BD=6,则点D到边AB的距离为 .
3.如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠EDA的度数.
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
【能力作业】
如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是 ( )
A.24 B.30 C.36 D.42
5.如图,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,若∠DAB的平分线AE交CD于点E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则下列结论中错误的是 ( )
A.AE⊥BE B.CE=DE
C.AD+DE=BE D.AB=AD+BC
6.如图,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD,CB于点E,F,FG⊥AB,垂足为G,则CF FG,∠1+∠3= 度,∠3 ∠4,CE CF.
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 .
8.如图,已知∠AOB和∠AOB内一点P,你能在OA和OB边上各找一点Q和R,使得由P,Q,R三点组成的三角形周长最小吗
9.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.
试说明:∠PCB+∠BAP=180°.
【素养作业】
10.如图,F是BC延长线上一点,∠ABC的平分线BD与∠ACF的平分线CE交于点P.问点P到△ABC三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等吗 为什么
11.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系 请判断并说明理由.
参考答案
基础达标
1.C
2.4
3.解:(1)因为∠B=50°,∠C=70°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°.
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
因为DE⊥AB,
所以∠DEA=90°,
所以∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30°-90°=60°.
(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F.
因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
所以DF=DE=3.
又因为AB=10,AC=8,
所以S△ABC=×AB×DE+×AC×DF=×10×3+×8×3=27.
能力巩固
4.B
5.C
6.= 90 = =
7.6
8.解:能,作P点关于OB、OA的对称点P1、P2,连接P1P2,与OB交于R,与OA交于Q,此时P、Q、R三点组成的三角形周长最小.
9.解:如图,过点P作PE⊥BA于点E.
因为∠1=∠2,PF⊥BC于点F,
所以PE=PF,∠PEA=∠PFB=90°.
在Rt△PEA与Rt△PFC中,
所以Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),
所以∠PAE=∠PCB.
因为∠BAP+∠PAE=180°,
所以∠PCB+∠BAP=180°.
素养拓展
10.解:相等.理由:如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.
则垂线段PQ、PM、PN,即为点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离.
因为P是∠ABC的平分线BD上的一点,所以PM=PQ.
因为P是∠ACM的平分线CE上的一点,
所以PM=PN,
所以PQ=PM=PN,
所以P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
11.
解:PC=PD.
理由:如图,过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F,
所以∠CFP=∠DEP=90°.
因为OM是∠AOB的平分线,
所以PE=PF.
因为∠1+∠FPD=90°,∠AOB=90°,
所以∠FPE=90°,
所以∠2+∠FPD=90°,
所以∠1=∠2.
在△CFP和△DEP中,
所以△CFP≌△DEP(ASA),
所以PC=PD.
2
