6.2.4向量数量积的概念分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业5　向量数量积的概念
　
基础强化
1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　)
A．10 B．50
C．100 D．200
2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C． D．||
4．已知向量a，b的夹角为，a·b＝3，|b|＝2，则|a|＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．12
5．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
6．(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝－b
B．b＝－a
C．a与b的夹角为π
D．a·b＝1
7．已知|a|＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－1，则a与b的夹角为________．
9．已知|a|＝4，|b|＝5，分别求下列条件下a与b的数量积．
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°；
(4)a与b的夹角为150°.
10．如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
能力提升
11.(多选)下列说法正确的是(　　)
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是(，π]
C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
12．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
13．向量a，b为非零向量，则“向量b在向量a上投影的数量大于0”是“向量a与b夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
14．如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　)
A．· B．·
C．· D．·
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.在梯形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，AD∥BC，BC＝6，且·＝－，则AD的长度为________．
16．如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C、D分别在OA、OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用、表示向量；
(2)求·的取值范围．
课时作业5　向量数量积的概念
1．解析：a·b＝|a|·|b|cos 60°＝10.故选A.
答案：A
2．解析：由·＝0知，⊥.由＝知BC∥AD.∴四边形ABCD是矩形．故选C.
答案：C
3．解析：
由＝2，可知，AB∥DC且AB＝2DC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE＝AB，所以向量在向量上的投影向量为.故选C.
答案：C
4．解析：依题意，a·b＝|a|·|b|·cos ＝|a|×2×＝|a|＝3.故选B.
答案：B
5．解析：a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确．故选CD.
答案：CD
6．解析：因为a＝－e，b＝e，所以b＝－×(－)e＝－a，故A错误，B正确，C正确；所以a·b＝(－e)·(e)＝－1，故D错误．故选BC.
答案：BC
7．解析：b在a上的投影向量为·＝·a＝－2a，所以a·b＝－8.
答案：－8
8．解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵a·b＝－1，∴|a||b|cos θ＝－1，∴1×1×cos θ＝－1，∴cos θ＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.所以a与b的夹角为π.
答案：π
9．解析：(1)当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，
则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝±20.
(2)当a⊥b时，a·b＝0.
(3)a·b＝|a||b|cos 60°＝4×5×＝10.
(4)a·b＝|a||b|cos 150°＝4×5×(－)＝－10.
10．解析：(1)△ABC是等边三角形，则∠B＝60°，则向量与向量的夹角为180°－60°＝120°.
(2)若E为BC的中点，则由等边三角形的性质可得AE⊥BC，即有向量与的夹角为90°.
11．解析：对于A，设a与b的夹角为θ，则＝|a|·cos θ，又表示b方向的单位向量，故a在b上的投影向量可表示为·，正确；对于B，由a·b＜0得cos θ＜0，又θ∈[0，π]，故θ∈(，π]，正确；对于C，与的夹角是120°，错误；对于D，a·b＝0时，a，b有可能为零向量，错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D.
答案：D
13．解析：设向量a与b的夹角为θ，则向量b在向量a上的投影数量＝|b|cos θ，若θ为锐角，则|b|cos θ＞0，若|b|cos θ＞0，∵0≤θ≤π，∴0≤θ＜，θ＝0不符合锐角的定义，所以，“向量b在向量a上投影的数量大于0”是“θ为锐角”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
14．解析：由于⊥，故其数量积是0；与的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.故选A.
答案：A
15．解析：梯形ABCD中，因为∠B＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°，即向量与向量的夹角为120°，又AB＝3，所以·＝||×||×cos 120°＝||×3×(－)＝－，所以||＝1.
答案：1
16．解析：(1)由已知可得＝，＝－，易得OAMB是菱形，则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可，当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝1×1×cos 60°＝，所以·的取值范围为[，].
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