6.2.5向量数量积的运算分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业6　向量数量积的运算
基础强化　
1.已知|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．3 B．1
C．2 D．0
2．已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，则(＋)·＝(　　)
A．－2 B．0 C． D．2
3．若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．12 B．6 C．4 D．2
4．已知a，b均为单位向量且夹角为60°，则下列向量与a垂直的是(　　)
A．a－2b B．2a－b
C．a＋2b D．2a＋b
5．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
6．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b＝0 a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
7．已知向量a、b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________．
9．已知向量|a|＝2，|b|＝3，向量a、b的夹角为.
(1)求(a＋b)·(2a－b)的值；
(2)求|3a－2b|﹒
10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
能力提升
11.设a、b是两个非零向量，且＝，则a与b夹角的大小为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
12．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则|a－2b|＝(　　)
A． B．13
C． D．21
13．已知向量a－b与向量b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)
A．－a B．b
C．－b D．a
14．(多选)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|b－2a|＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|a－b|＝
B．|a＋b|＝2
C．向量a与b的夹角为60°
D．a⊥b
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
16．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且|a＋2b|＝.
(1)求向量a，b的夹角θ；
(2)若(a＋λb)⊥(2a－b)，求实数λ的值．
课时作业6　向量数量积的运算
1．解析：由已知可得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选A.
答案：A
2．解析：(＋)·＝·＋·＝0＋1×2＝2.故选D.
答案：D
3．解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－4|a|cos 60°－6×16＝－72，解得|a|＝－4(舍)，或|a|＝6，所以|a|＝6.故选B.
答案：B
4．解析：由题意得|a|＝|b|＝1，且a·b＝|a||b|cos θ＝，对于a－2b，有a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2×＝0，同理得a·(2a－b)＝，a·(a＋2b)＝2，a·(2a＋b)＝，只有a－2b与a垂直．故选A.
答案：A
5．解析：由题意，A项，(－3)·2a＝－6a，A正确．B项，2(a＋b)－(2b－a)＝2a＋2b－2b＋a＝3a，B正确．C项，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，C错误．D项，2(3a－b)＝6a－2b，D正确．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：对于A选项，0·a＝0，A选项错误；对于B选项，(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B选项错误；对于C选项，a·b＝0 a⊥b，C选项正确；对于D选项，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，D选项正确．故选AB.
答案：AB
7．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为向量a、b为单位向量，所以b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝0－3×12＝－3.
答案：－3
8．解析：因为a·(b－a)＝2，|a|＝1，所以a·b＝3，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
答案：
9．解析：(1)a·b＝|a|·|b|·cos ＝2×3×＝3，
(a＋b)·(2a－b)＝2|a|2＋a·b－|b|2＝2×22＋3－32＝2.
(2)|3a－2b|＝
＝
＝＝6.
10．解析：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
11．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴(a＋b)·(a＋b)＝(a－b)·(a－b)，∴可得a·b＝0，∵a、b是非零向量，∴a⊥b，即a与b夹角的大小为90°.故选B.
答案：B
12．解析：由a⊥(a－b)得：a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1，其中(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，故|a－2b|＝.故选A.
答案：A
13．解析：∵(a－b)·b＝1×1×＝，∴a·b－b2＝，则a·b＝，故向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉＝|a|··＝b.故选B.
答案：B
14．解析：因为|b－2a|＝，所以b2－4a·b＋4a2＝5；因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，故C错误，D正确；因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2，所以|a－b|＝，A正确；因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝，B错误．故选AD.
答案：AD
15．解析：因e1与e2是两个互相垂直的单位向量，则e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，又向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则(e1＋ke2)·(ke1＋e2)>0，且向量e1＋ke2与ke1＋e2不共线，由(e1＋ke2)·(ke1＋e2)>0得ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，解得k>0，当向量e1＋ke2与ke1＋e2共线时，k2＝1，解得k＝±1，因此向量e1＋ke2与ke1＋e2不共线，有k≠－1且k≠1，所以k的取值范围是k>0且k≠1，即k∈(0，1)∪(1，＋∞)．
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
16．解析：(1)由|a＋2b|＝平方得|a|2＋4|a|·|b|·cos θ＋4|b|2＝7，
∵|a|＝3，|b|＝1，∴9＋4×3×1×cos θ＋4＝7，解得cos θ＝－，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)由(1)知a·b＝|a||b|cos θ＝3×1×(－)＝－.
∵(a＋λb)⊥(2a－b)，∴(a＋λb)·(2a－b)＝0，
化简得2|a|2＋(2λ－1)a·b－λ|b|2＝0，
∴18－(2λ－1)－λ＝0，解得λ＝.
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