6.3.1平面向量基本定理分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业7　平面向量基本定理
　
基础强化
1.如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
2．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c B．b＋c
C．b－c D．b－c
3.已知矩形ABCD中，AE＝AB，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．－a＋b B．－a－b C．a＋b D．a－b
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝(　　)(用向量a，b表示)
A．(a－b) B．(b－a) C．(a－2b) D．2a－b
5．(多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是(　　)
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
6．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
7．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
8．如图，向量e1、e2、a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝________.
9．设e1、e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a、b可以作为一组基底．
(2)以a、b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
10．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
能力提升
11.如图，E是△ABC所在平面内一点，若＋4＝0，D是线段BE的中点，则(　　)
A.＝－ 　B．＝＋
C.＝＋ 　D．＝＋
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
13．在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若＝m＋n，则m－n的值为(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
14．(多选)已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，下列等式成立的是(　　)
A．＝＋
B．＋＋＝0
C．＝＋
D．＝＋
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，BM交AC于点N，若＝x＋y，则x＋y＝________．
16．如图，在△ABC中，AQ为边BC的中线，＝，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且＝λ，＝μ，其中λ>0，μ>0
(1)当∥，用，线性表示.
(2)证明：＋为定值．
课时作业7　平面向量基本定理
1．解析：＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2).故选A.
答案：A
2．解析：∵＝2，∴＝，而＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故＝b＋c.故选B.
答案：B
3．解析：因为AE＝AB，所以＝，所以＝－＝－(＋)＝－－＝－b－a.故选B.
答案：B
4．解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＝(b－a).故选B.
答案：B
5．解析：对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对B，b＝a，所以a，b共线，故不符合；对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合．故选ACD.
答案：ACD
6．解析：∵e1，e2是平面α内两个不共线的向量，∴e1，e2可以作为平面α的一组基底．对于A，由平面向量基本定理可知λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量，A正确；对于B，对于平面α内任意向量a，有且仅有一个实数对(λ，μ)，使得a＝λe1＋μe2，B错误；对于C，当λ1＝μ1＝λ2＝μ2＝0时，λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，满足两向量共线，此时使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)成立的λ有无数个，C错误；对于D，由λe1＋μe2＝0得λe1＝－μe2，又e1，e2不共线，∴λ＝－μ＝0，即λ＝μ＝0，D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：因为{a，b}是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.
答案：3
8．解析：如图，
＝3e2，＝e1，所以a＝＋＝e1＋3e2，因为a＝λe1＋μe2，所以λ＝1，μ＝3，即λ＋μ＝4.
答案：4
9．解析：(1)证明：设b＝ka，即e1＋3e2＝ke1－2ke2，
因为e1、e2是不共线的非零向量，所以，该方程组无解，
因此，a、b可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb，即3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(3n－2m)e2，
因为e1、e2是不共线的非零向量，则解得故c＝2a＋b.
10．解析：(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b，
＝＋＝＋＝－＝a－b.
(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝a＋b.
11．解析：因为D是线段BE的中点，所以＝(＋)，又因为＋4＝0，所以＝(＋)＝＋.故选C.
答案：C
12．解析：＝＋＝(＋)＋·＝(－＋)＋＝－.故选B.
答案：B
13．解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以m＝，n＝ m－n＝－.故选A.
答案：A
14．解析：如图所示，因为点M是△ABC的重心，D为BC的中点，
可得E，F是AC，AB的中点，由＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以A正确；由D为BC的中点，根据向量的平行四边形法则，可得＋＝2，又由M是△ABC的重心，根据重心的性质，可得|MA|＝2|MD|，所以＋2＝0，即＋＋＝0，所以B正确；根据三角形重心的性质，可得＝＝×(＋)＝(－2)＝－，所以C不正确；由重心的性质，可得＝＝×(＋)＝(＋2)＝＋，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：
由题意知△MCN∽△BAN，＝2，＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴x＝y＝，∴x＋y＝.
答案：
16．解析：(1)因为AQ为边BC的中线，所以＝＋，
因为∥，＝，所以＝，＝，
所以＝×＋×，
即＝＋.
(2)证明：由(1)可得＝＝＝.
因为＝λ，＝μ，
所以＝，＝，
＝＋，
由M，P，N三点共线，可得＋＝1，
即＋＝5(定值).
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