6.3.5平面几何中的向量方法分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业11　平面几何中的向量方法
　
基础强化
1.在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在△ABC中，若·＝·，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝(　　)
A．2 B．1
C． D．4
5．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
6．(多选)在△ABC中，D为BC中点，且＝2，则(　　)
A．＝＋
B．＝＋
C．⊥(＋)
D．∥(＋)
7．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为________．
8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
9．如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE＝DF.用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
10.
如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝，D是BC边的中点，CE⊥AB，AD与CE交于点F.
求CE和AD的长度．
能力提升
11.△ABC中，若动点D满足2－2＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
12．已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC＝3BM，N为DC的中点，则·＝(　　)
A．－6 B．12
C．6 D．－12
13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为(　　)
A． B． C．或 D．或
14．(多选)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋3＋4＝0，则下列选项正确的有(　　)
A．＝＋
B．直线AO过BC边的中点
C．S△AOB∶S△BOC＝2∶1
D．若||＝||＝||＝1，则·＝－
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知正方形ABCD中，E是CD的中点，则向量与的夹角的余弦值为________．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点(AF＝AD，BG＝BC).设＝a，＝b.
(1)用a，b表示，.
(2)如果|b|＝|a|，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
课时作业11　平面几何中的向量方法
1．解析：由＝可得四边形ABCD为平行四边形，又因为·＝0，即⊥，所以∠B＝90°.所以四边形ABCD为矩形．故选C.
答案：C
2．解析：
建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，则＝(1，t)，＝(－1，t).由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.故选A.
答案：A
3．解析：
取AB中点D，连接CD，则＋＝2，因为·＝·，所以·－·＝0，所以·＋·＝·(＋)＝2·＝0，所以⊥，即AB⊥CD，所以△ABC的是等腰三角形．故选B.
答案：B
4．解析：∵＝＋(＋)，∴－＝(＋)，＝(＋)，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.故选B.
答案：B
5．解析：∵＝＝－，∴－＝(－)，∴＝.故选B.
答案：B
6．解析：因为＝2，则A，E，D三点共线，且||＝2||，
又因为AD为中线，所以点E为△ABC的重心，连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以∥(＋).故选BD.
答案：BD
7．解析：由已知，得＝(4－1，1－2)＝(3，－1)，＝(0－1，－1－2)＝(－1，－3)，∴·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，∴⊥，∠A＝90°，又||＝||＝，∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
8．解析：＝－＝(3，6)＝，又因为 ·＝(4，－2)·(3，6)＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以＝＝2，＝＝3，所以S＝·＝2×3＝30.
答案：30
9．解析：如图，
＝＋，＝＋，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以＝.
又BE＝DF，E，F在直线BD上，
所以＝，
从而＋＝＋，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
10．解析：∵CE是高，∴∠AEC＝，在Rt△AEC中，AC＝2，∠EAC＝，
所以CE＝AC sin ∠EAC＝2sin ＝.
∵AD是中线，∴＝(＋)，
∴2＝[(＋)]2＝(2＋2·＋2)＝×(32＋2×3×2cos ＋22)＝，
∴AD＝.
11．解析：取AB的中点E，则2－2＋2·＝(＋)·(－)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0，∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．故选A.
答案：A
12．解析：
由M在边BC上且BC＝3BM，N为DC的中点，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋，·＝(－)·(＋)＝2－·－2＝12－18＝－6.故选A.
答案：A
13．解析：因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，所以·＝－8.因为＝－＝－＝(＋)－＝－＋，所以||＝ ＝ ＝.故选B.
答案：B
14．解析：2＋3(＋)＋4(＋)＝9＋3＋4＝0，则＝＋，A正确；
若＝2，＝3，＝4，则＋＋＝0，
所以O是△DEF的重心，直线AO过EF中点，而EF与BC不平行，所以直线AO不过BC边的中点，B错误；又S△DOE＝S△EOF＝S△DOF，而S△DOE＝6S△AOB，S△EOF＝12S△BOC，所以S△AOB∶S△BOC＝2∶1，C正确；若||＝||＝||＝1，且162＝(2＋3)2＝42＋12·＋92，所以·＝，而·＝(2＋3)·(－)＝(22＋·－32)＝－，D正确．故选ACD.
答案：ACD
15．解析：
如图所示，以A为原点，，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系．不妨设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2).则＝(1，2)，＝(－2，2)，所以向量与的夹角的余弦值为cos 〈，〉＝＝＝.
答案：
16．解析：(1)＝－＝－＝b－a；
＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
(2)EF⊥EG.
证明如下：
由(1)知，＝b－a，＝b＋a，
∴·＝(b－a)·(b＋a)＝b2－a2＝×a2－a2＝0.
∴⊥，∴EF⊥EG.
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