6.4.3正弦定理分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业14　正弦定理
　
基础强化
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝1，B＝30°，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．在△ABC中，B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　)
A．3 B．5
C． D．
3．已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sin A∶sin B＝1∶，a＝，则b的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
4．在△ABC中，若b sin A＝a sin C，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．(多选)在△ABC中，下列式子与的值相等的有(　　)
A．
B．
C．
D．(R为△ABC的外接圆半径)
6．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是(　　)
A．b＝7，c＝3，C＝
B．b＝5，c＝6，C＝
C．a＝6，b＝3，B＝
D．a＝20，b＝15，B＝
7．在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若C＝45°，b＝4，sin B＝，则c＝________．
8．在△ABC中，若b sin B＝c sin C，则△ABC的形状是________．
9．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．
能力提升
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝b sin A，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．3∶4∶5 B．5∶4∶3 C．2∶∶1 D．1∶∶2
13．在△ABC中，若B＝，b＝2，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
14．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是(　　)
A．a＝2，b＝4，A＝
B．a＝2，b＝4，cos A＝
C．a＝2，b＝4，C＝
D．a＝2，b＝4，B＝
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C所对的边，若b＝2，A＝，且△ABC有唯一解，则a的取值范围为________．
16．在△ABC中，(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，试判断△ABC的形状．
课时作业14　正弦定理
1．解析：由正弦定理可得＝，故sin A＝1，而A∈(0，π)，故A＝90°.故选C.
答案：C
2．解析：因为B＝，C＝，所以A＝，则B对的边最大，由＝，可得b＝＝＝5.故选B.
答案：B
3．解析：由正弦定理＝可得sin A∶sin B＝a∶b，所以a∶b＝1∶，因为a＝，所以b＝2.故选C.
答案：C
4．解析：根据正弦定理由b sin A＝a sin C ba＝ac b＝c，所以该三角形是等腰三角形．故选C.
答案：C
5．解析：对A，取a＝3，b＝5，c＝4，显然≠，故A错误；对B，取a＝3，b＝5，c＝4，＝≠，故B错误；对C，D，∵＝＝＝2R，∴＝＝，故C，D正确．故选CD.
答案：CD
6．解析：A选项无解，显然错误；B中，因为b sin C＝，C为锐角，所以b sin C答案：BC
7．解析：由正弦定理可得，＝，∴c＝＝＝5.
答案：5
8．解析：由题知b sin B＝c sin C b2＝c2 b＝c，则△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
9．解析：由正弦定理可知＝，
∴a＝·sin A＝×＝10，
因为A＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)
＝sin (30°＋45°)
＝(＋)，
＝，
所以b＝
＝
＝5(＋).
10．解析：在△ABC中，由正弦定理可得＝，
即＝，解得sin B＝，
又因为B∈(0°，180°)，
所以B＝60°或120°，
当B＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，
a＝＝2.
当B＝120°，A＝180°－30°－120°＝30°，
所以△ABC为等腰三角形，所以a＝c＝.
11．解析：由题意，a＝b sin A，∴sin A＝sin B sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝＝.故选A.
答案：A
12．解析：因为A∶B∶C＝1∶2∶3，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理＝＝，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.故选D.
答案：D
13．解析：由题设＝＝＝4，所以＝＝4.故选D.
答案：D
14．解析：A选项，b sin A＝4×sin ＝2，b sin A0，A为锐角，sin A＝＝，b sin A＝4×＝，b sin A答案：AB
15．解析：由正弦定理＝，可得a＝＝，当B＝时，a＝1，此时△ABC唯一；当sin B∈(，1)时，B有两个值，△ABC不唯一；当sin B∈(0，]时，a≥2，即a≥b，A≥B，△ABC唯一．综上可得，实数a的取值范围是{1}∪[2，＋∞).
答案：{1}∪[2，＋∞)
16．解析：由(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，
得a2[sin (A＋B)－sin (A－B)]
＝b2[sin (A＋B)＋sin (A－B)]，
所以a2·cos A sin B＝b2sin A cos B.
由正弦定理得sin2A cosA sin B＝sin2B sinA cos B.
因为0＜A＜π，0＜B＜π
所以sin A＞0，sin B＞0，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
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