6.4.4余弦定理、正弦定理应用举例分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业15　余弦定理、正弦定理应用举例
　
基础强化
1.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)
A．10(1＋)米 B．10(1＋)米
C．5(＋)米 D．2(＋)米
2．某人遥控一机器人，让机器人从点A出发向正北方向走了2 km到达点B后，向右转105°，然后朝新方向走了x km后到达点C，结果发现机器人在点A的东北方向，则x为(　　)
A． B．2
C． D．2
3.
如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为(　　)
A．5千米 B．5千米
C．4千米 D．4千米
4．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处，然后起脚射门，则A，C两点的距离为(　　)
A．8米 B．8米
C．32米 D．8米
5.
(多选)为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量(测量工具：量角器、卷尺)，如图所示．下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有(　　)
A．c与α B．c与b
C．b，c与β D．b，α与γ
6．(多选)某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他沿南偏西60°方向走3 km到达C处，这时他离出发点 km，那么x的值可以是(　　)
A．　　B．2　　C．　　D．2
7．海上有A、B、C三个小岛，其中B岛在A岛的正东方向10海里处，C岛在A岛北偏东30°方向上，且在B岛北偏西60°方向上，则B、C两岛间的距离为________海里．
8．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西60°、距塔20海里的M处，上午11时到达这座灯塔的东偏南30°方向的N处，则该船航行的速度为________海里/时．
9．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．求D地与A地之间的距离．
10.
如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时在C处追上，求渔船甲的航行速度和sin α的值．
能力提升
11.轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为135°，两船的航行速度分别为25海里/时、20海里/时，则当天下午1时两船之间的距离为(　　)
A．10海里 B．10海里
C．100海里 D．10海里
12.
当孩子“嗖”地滑下来时，能享受到成功的喜悦．滑滑梯为儿童体育活动器械的一种，若测得∠OAB＝60°，∠ABO＝45°，∠PAO＝30°，OB＝30，AO⊥OP，则滑滑梯的高度OP＝(　　)
A．18 B．18
C．20 D．20
13．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进50 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．25 m　 B．50 m C．60 m　 D．75 m
14．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.
如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为20 m，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步行1 min后在B点观察塔顶，仰角为30°，若∠ADB＝150°，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为________ m/s.
16．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50 m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°.
(1)求AC两点间的距离；
(2)求大楼的高度．
课时作业15　余弦定理、正弦定理应用举例
1．解析：根据题意作图如下：
由题意知AB＝10米，仰角∠DAE＝60°，俯角∠CAE＝45°，在等腰直角三角形CAE中，AE＝EC＝AB＝10米，在直角三角形DAE中，∠DAE＝60°，
所以DE＝AE tan ∠DAE＝AE tan ∠60°＝10(米)，所以塔高CD＝10＋10＝10(1＋)(米).故选B.
答案：B
2．解析：由题意可知∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，由正弦定理可得＝，即x＝2.故选D.
答案：D
3．解析：根据题意可知AB＝10千米，C＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝＝5(千米).故选B.
答案：B
4．解析：
如图，根据题意可知AB＝16米，BC＝24米，∠ABC＝120°.根据余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°＝162＋242－2×16×24×(－)，解得AC＝8(米).故选D.
答案：D
5．解析：因为A，C在河的同一侧，所以可以测量b，α与γ.故选ABC.
答案：ABC
6．解析：如图，由条件可知，|AB|＝x km，∠ABC＝30°，|BC|＝3 km，|AC|＝ km，根据余弦定理可知3＝x2＋9－2·3x·，即x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.故选AB.
答案：AB
7．解析：由题设可得如图所示的示意图：
则∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，∠CBA＝30°，且AB＝10海里．故BC＝10×sin ∠CAB＝10×＝5(海里).
答案：5
8．解析：如图，在△MNP中，由正弦定理可得，
MN＝＝20(海里)，则这艘船的航行速度v＝＝20(海里/时).
答案：20
9．解析：由题意得AB＝BC＝2 000 km，∠ABC＝60°，所以AC＝2 000 km，因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，所以AD＝＝1 000(km)，所以AD＝CD＝1 000 km，∠CAD＝45°，D地在A地的南偏东45°，D地距A地1 000 km.
10．解析：由已知得，AB＝12千米，AC＝20千米，∠BAC＝120°，
根据余弦定理可得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×(－)＝784，
则BC＝28千米，渔船甲的速度v＝＝14(千米/时)
在△ABC中，∠BCA＝α，
由正弦定理得＝，∴＝，∴sin α＝.
11．解析：设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知CA＝50海里，CB＝40海里，∠ACB＝135°，则AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos ∠ACB＝502＋(40)2－2×50×40×(－)＝9 700，故AB＝10海里．故选B.
答案：B
12．解析：在△ABO中，由正弦定理得＝，即＝，解得OA＝20，因为AO⊥OP，∠PAO＝30°，所以OP＝OA·tan 30°＝20×＝20.故选C.
答案：C
13．解析：如图，
AB为水柱，高度设为h m，D在B的正西方向，C在D的北偏东30°方向．且CD＝50 m，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°.在△ABD中，AB＝h m，∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，所以BD＝h m，在△ABC中，AB＝h m，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，所以BC＝h m．在△CDB中，∠CDB＝60°，由余弦定理得cos 60°＝＝，∴h＝－50(舍)或h＝25.故选A.
答案：A
14．解析：
由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12 n mile，AC＝8 n mile，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得
CD＝，
即CD＝ ＝8(n mile)，故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°处，故D错误．故选AC.
答案：AC
15．解析：在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，CD＝20 m，则AD＝20 m；在Rt△BDC中，∠CBD＝30°，CD＝20 m，则BD＝20 m；在△ABD中，由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝202＋(20)2－2×20×20×(－)＝2 800，可得AB＝20(m)，所以步行速度为＝ (m/s).
答案：
16．解析：(1)因为∠BAC＝180°－105°－45°＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以AC＝50 m，
即AC两点的距离为50 m.
(2)在△DCA中，因为∠DAC＝90°，＝tan α，
所以AD＝AC tan 75°＝50tan 75°，
又tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋，
所以AD＝50(2＋)＝(100＋50) m，
即大楼的高度为(100＋50) m．
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