6.4.5余弦定理、正弦定理综合应用分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业16　余弦定理、正弦定理综合应用
　
基础强化
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面积为2，则b＝(　　)
A．2 B．4
C．4 D．4
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝30°，b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．1 D．2
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
4．在△ABC中，若其面积为S，且·＝2S，则角A的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．(多选)在△ABC中，a＝4，b＝6，S△ABC＝6，则角C的度数为(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
6．(多选)已知△ABC中，BC＝1，AC＝，A＝30°，则△ABC的面积S的值可以为(　　)
A． B．1
C． D．
7．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于________．
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝c＝1，a2＝2(1－sin A)，则△ABC的面积等于________．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝，b＝1，C＝120°，求：
(1)角B；
(2)△ABC的面积S.
10．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.
(1)求AC的长；
(2)若CD＝5，求AD的长．
能力提升
11.在△ABC中，若△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
12．在△ABC中，若∠A＝30°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　)
A．2 B．2
C． D．
13．在△ABC中，BC＝5，D为BC上一点，且2BD＝3DC，若AB＝3AC＝AD，则AD的长度为(　　)
A． B．
C． D．3
14．(多选)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(c，a＋b)，n＝(a，c)，且m∥n，则下列选项正确的是(　　)
A．bB．的取值范围是(1，2)
C．C＝2A
D．tan C>
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b2－c2＝21，cos A＝，则a的值为________．
16．△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝c cos A.
(1)求A的值；
(2)若a＝5，求2b－c的取值范围．
课时作业16　余弦定理、正弦定理综合应用
1．解析：由题可知，ab sin C＝2 ×1·b·＝2 b＝4.故选C.
答案：C
2．解析：因为A＝30°，b2＋c2－a2＝4，所以2bc cos A＝bc＝4，所以bc＝4，所以△ABC的面积为bc sin A＝1.故选C.
答案：C
3．解析：由正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得bc sin A＝×4×2×＝2.故选B.
答案：B
4．解析：在△ABC中，因为·＝2S，所以||||·cos A＝bc cos A＝2×bc sin A，所以tan A＝，又0°答案：A
5．解析：△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×4×6sin C＝6，所以sin C＝，又C∈，故C＝45°或135°.故选AD.
答案：AD
6．解析：由题意知，在△ABC中，a＝BC＝1，b＝AC＝，A＝30°，由正弦定理，得＝ sin B＝，b>a，所以B>A＝30°，所以B＝60°或B＝120°，当B＝60°时，C＝90°，S△ABC＝ab sin C＝；当B＝120°时，C＝30°，S△ABC＝ab sin C＝.故选AC.
答案：AC
7．解析：由余弦定理得cos A＝＝>0，所以A为锐角，所以A＝，sin A＝，所以△ABC的面积为bc sin A＝×3×8×＝6.
答案：6
8．解析：由a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2－2cos A＝2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，tan A＝1，A∈(0，π)，所以A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝×＝.
答案：
9．解析：(1)由正弦定理＝，得sin B＝＝，
因为在△ABC中，b(2)因为A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－120°－30°＝30°.
所以S＝bc sin A＝.
10．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，
则AC＝＝＝3.
(2)因为∠ACB＝60°，所以∠ACD＝120°，
在△ACD中，由余弦定理得，
AD＝
＝ ＝7.
11．解析：由题意可知，在△ABC中，满足S＝(a2＋b2－c2)，即ab sin C＝(a2＋b2－c2)，又由cos C＝，所以ab sin C＝ab cos C，即sin C＝cos C，因为C∈(0，π)，所以当cos C＝0即C＝时显然不成立．所以tan C＝1，又由C∈(0，π)，所以C＝.故选A.
答案：A
12．解析：在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题知，S△ABC＝＝bc sin A，又∠A＝30°，b＝1，所以c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
解得a＝，所以由正弦定理得＝＝＝＝2.故选B.
答案：B
13．解析：在△ABC中，BC＝5，D为BC上一点，且2BD＝3DC，则BD＝3，
因为AB＝3AC＝AD，设AC＝m，则AD＝m，AB＝3m(m>0)，由余弦定理可得cos B＝＝，即＝，解得m＝，故AD＝m＝.故选B.
答案：B
14．解析：在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量m＝(c，a＋b)，n＝(a，c)，且m∥n，所以可得c2＝a(a＋b)＝a2＋ab，而c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以可得ab＝b2－2ab cos C，可得a＋2a cos C＝b>a，故A错误；由正弦定理可得sin A＝sin B－2sin A cos C＝sin (A＋C)－2sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C－2sin A cos C＝sin (C－A)，所以可得A＝C－A或A＋C－A＝π，可得C＝2A或C＝π(舍)，所以C正确；C＝2A<，所以A<，所以B＝π－A－C＝π－3A，可得0<π－3A<，可得，所以D正确．故选CD.
答案：CD
15．解析：∵cos A＝，A∈(0，π)，∴sin A＝＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×bc×＝bc＝3，∴bc＝10，又b2－c2＝21，∴b＝5，c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋4－20×＝13，∴a＝.
答案：
16．解析：(1)因为a sin C＝c cos A，
所以sin A sin C＝sin C cos A．
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为a＝5，所以＝＝＝10，
所以2b－c＝20sin B－10sin C＝20sin (＋C)－10sin C＝10cos C.
由(1)可知，C∈(0，π)，则10cos C∈(－5，10)，
故2b－c的取值范围是(－5，10).
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