7.2.2复数乘、除运算分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业20　复数乘、除运算
基础强化
1.已知复数z＝(1＋i)2，则z的虚部是(　　)
A．2 B．－2 C．－2i D．2i
2．复数z＝的模为(　　)
A． B．1 C． D．
3．复数z＝(9－7i)i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知i是虚数单位，则＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
5．(多选)下列运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1－i) B．i2(1＋i)2 C．i3 D．
6．(多选)下面是关于复数z＝的四个命题，其中真命题为(　　)
A．z2＝2i
B．|z|＝2
C．z的虚部为－1
D．z的共轭复数为1＋i
7．复数＝________．
8．复数(1＋3i)(1＋2i3)的实部为________．
9．已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－1－i.
(1)求z2；
(2)求.
10．设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝4－3i.
(1)若z1·z2是实数，求a的值；
(2)若是纯虚数，求z1＋z2.
能力提升
11.i是虚数单位，已知a＋bi(a，b∈R)与互为共轭复数，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
12．复数z＝＋，则的虚部是(　　)
A．2 B．2i
C．i D．－2
13．若复数z＝在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，1)
14．(多选)已知复数z1，z2，则下列有关复数运算正确的是(　　)
A．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
B．|z1－z2|＝|z1|－|z2|
C．|z1·z2|＝|z1|·|z2|
D．＝
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.i表示虚数单位，则i＋i2＋…＋i2 023＝____．
16．已知虚数z满足|z|＝.
(1)求证：z＋在复平面内对应的点在直线y＝x上．
(2)若z是方程2x2＋4x＋k＝0(k∈R)的一个根，求k与z.
课时作业20　复数乘、除运算
1．解析：z＝(1＋i)2＝2i，∴z的虚部为2.故选A.
答案：A
2．解析：因为z＝＝＝＋i，因此，|z|＝ ＝.故选A.
答案：A
3．解析：由题意得z＝7＋9i，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
答案：A
4．解析：＝＝＝i2－i＝－1－i.故选A.
答案：A
5．解析：对于A：i(1－i)＝1＋i，不是纯虚数；对于B：i2(1＋i)2＝－2i，是纯虚数；对于C：i3＝－i，是纯虚数；对于D：＝＝＝－i，是纯虚数．故选BCD.
答案：BCD
6．解析：z＝＝＝－1－i，所以z2＝(－1－i)2＝2i，故A正确；|z|＝，故B错误；z的虚部为－1，故C正确；z的共轭复数为－1＋i，故D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：＝＝－i－2.
答案：－2－i
8．解析：(1＋3i)(1＋2i3)＝(1＋3i)(1－2i)＝7＋i.故实部为7.
答案：7
9．解析：(1)方法一　设z2＝a＋bi(a，b∈R)，z1z2＝－2a－b＋(a－2b)i，
所以则故z2＝；
方法二　z2＝＝＝.
(2)由(1)知＝＝.
10．解析：(1)z1·z2＝(2＋ai)(4－3i)＝3a＋8＋(4a－6)i，
因为z1·z2是实数，所以4a－6＝0，解得a＝.
(2)＝＝＝＋i，
因为是纯虚数，所以解得a＝，
所以z1＋z2＝(2＋i)＋(4－3i)＝6－i.
11．解析：＝＝－2i，∵a＋bi(a，b∈R)与互为共轭复数，∴a＝0，b＝2，∴a＋b＝2.故选D.
答案：D
12．解析：(1＋i)3＝(1＋i)2(1＋i)＝(－2＋2i)(1＋i)＝－2(1－i)(1＋i)＝－8，(2＋2i)2＝8i，故z＝－＋＝－＋＝1＋2i，所以＝1－2i，虚部为－2.故选D.
答案：D
13．解析：z＝＝＝，因为复数z＝在复平面内对应的点位于第四象限，所以解得a<－1或a>1.所以，实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选C.
答案：C
14．解析：当z1＝1＋i，z2＝1－i时，显然z1＋z2＝2，z1－z2＝2i，显然有|z1|＝|z2|＝，|z1±z2|＝2，因此选项AB都不正确；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，
|z1·z2|＝＝，
|z1|·|z2|＝·＝，因此选项C正确；
＝＝＝，
||＝ ＝ ＝ ，
所以||＝，因此选项D正确．故选CD.
答案：CD
15．解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以i＋i2＋i3＋i4＝0，一般地i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，(n∈N)，所以i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，(n∈N)，又2 023＝505×4＋3，所以i＋i2＋…＋i2 023＝505×0＋i＋i2＋i3＝－1.
答案：－1
16．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，由|z|＝，则z＝5，
所以z＋＝z＋i＝a＋bi＋(a－bi)i＝(a＋b)＋(a＋b)i，
所以z＋在复平面内对应的点为(a＋b，a＋b)，在直线y＝x上．
(2)同(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，因为z是方程2x2＋4x＋k＝0(k∈R)的一个根，
所以2(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋k＝0，
即2a2－2b2＋4a＋k＋(4ab＋4b)i＝0，
所以2a2－2b2＋4a＋k＝0且4ab＋4b＝0，得a＝－1，
因为a2＋b2＝5，所以b＝±2，
把a＝－1，b＝±2代入2a2－2b2＋4a＋k＝0得k＝10，
所以k＝10，z＝－1±2i.
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