8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

中小学教育资源及组卷应用平台
课时作业24　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础强化
1.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)
A．6 B．
C．3 D．2
2．如果正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′ ABD的体积是(　　)
A． B．
C． D．
3．若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为(　　)
A． B．
C． D．14
4．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是(　　)
A．4 B．8 C． D．4或
5．如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448＋32)cm2，则其体积为(　　)
A．(512＋128)cm3 B．(216＋128)cm3
C．(512＋64)cm3 D．(216＋64)cm3
6．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　)
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
7．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________．
8．设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________．
9．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积．
10.
已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
能力提升
11.边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了(　　)
A．36 B．72
C．108 D．240
12．如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B1、A1D1的中点M、N，顶点A和过点N，顶点D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
13．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为(　　)
A．3 B．4 C．8 D．12
14．(多选)已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，用一个平行于棱锥底面且距离底面长度为3的平面去截棱锥，所得棱台的体积为________．
16.
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积．
(2)求三棱锥A A1BD的高．
(3)4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑．你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明．
课时作业24　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1．解析：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6，∴V＝xyz＝.故选B.
答案：B
2．解析：VA′ ABD＝·S△ABD·AA′＝××a×a×a＝.故选D.
答案：D
3．解析：V台＝(S＋S′＋)h＝(1＋4＋)×2＝.故选C.
答案：C
4．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2＝4且2a2＋h2＝9，解得a＝2，h＝1，所以正四棱柱的体积为V＝a2h＝4.故选A.
答案：A
5．解析：设正方体的棱长为a cm，则5a2＋2a2＋a2×2＝448＋32，解得a＝8.该几何体的体积为a3＋a2·a＝512＋128(cm3).故选A.
答案：A
6．解析：
设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝ ＝，EF＝×＝，故PE＝ ＝3，故AB正确．而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：设长，宽，高分别为x，y，z，则2(xy＋xz＋yz)＝52，4(x＋y＋z)＝36，可得体对角线的长为＝＝＝.
答案：
8．解析：由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积S＝×12×sin 60°×6＝，即正六棱柱的体积V＝Sh＝×5＝.
答案：
9．解析：由题意可知该三棱柱为正三棱柱，
∵正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，
∴有如下两种情况：
①6是底面周长，4是三棱柱的高，
此时正三角形边长为2，
此底面积S1＝×2×2sin 60°＝×2×2×＝，
表面积S2＝24＋2；
②4是底面周长，6是三棱柱的高，
此时正三角形边长为，
此时底面积S3＝×sin 60°＝，
表面积S4＝24＋.
所以该三棱柱的表面积是24＋2或24＋.
10．解析：(1)几何体的体积为
V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为
h1＝＝5.
左、右侧面的底边上的高为
h2＝＝4.
故几何体的侧面面积为
S＝2×(×8×5＋×6×4)＝40＋24.
11．解析：由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1，边长为3的正方体表面积为6×3×3＝54，每个小正方体的表面积为6×1×1＝6，27个小正方体的表面积之和为6×27＝162，162－54＝108，所以表面积之和比原来增加了108，故选C.
答案：C
12．解析：如图将正方体还原可得如下图形：
则＝××1×1×2＝，VD ND1C1＝××1×2×2＝，＝23＝8，所以该几何体的体积V＝8－－＝7.故选C.
答案：C
13．解析：由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为 ＝，正三角形边上的一条高为 ＝，所以一个正三角形的面积为××＝，所以多面体的表面积为8×＝4.故选B.
答案：B
14．解析：设平行六面体的体积为V＝24，如左图，当取顶点A1，A，B，D时，则该四面体体积V1＝V＝×24＝4；如右图，当取顶点A，B1，C，D1时，则该四面体体积V2＝V－4V1＝24－4×4＝8.故选AC.
答案：AC
15．解析：
如图，由题意可得EF＝3，AF＝2，OF＝＝6.因为△OA1E∽△OAF，所以＝，解得A1E＝，则A1B1＝2，＝4，S正方形ABCD＝16，所以V棱台＝(S正方形ABCD＋＋)·EF＝28.
答案：28
16．解析：(1)设正方体的棱长为a，
则V＝a3－××a＝a3.
(2)＝＝××a＝a3，
易知△A1BD为等边三角形，且边长为a，其面积为S＝×a×a×sin 60°＝a2，
∴a3＝×a2h，解得h＝a.
即三棱锥A A1BD的高为a.
(3)由鳖臑定义可知，三棱锥D1 DBC是一个鳖臑．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)