8.3.3球的表面积和体积分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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课时作业26　球的表面积和体积
基础强化
1.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的(　　)
A．8倍 B．4倍
C．2倍 D．2倍
2．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　　)
A． B．
C． D．4π
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A． B． C．2倍 D．3倍
4．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为(　　)
A．6π B．12π
C．8π D．24π
6．(多选)正四棱锥P ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P ABCD的体积为(　　)
A． B．
C．2 D．
7．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的体积是________ cm3.
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
能力提升
11.已知正三棱柱ABC A1B1C1所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为(　　)
A．48π B．64π
C．84π D．144π
12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B． C． D．
13．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
14．(多选)长方体ABCD A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，b，c(3>b>c)，体积为6，外接球的表面积为14π，则下列说法正确的是(　　)
A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1
B．沿长方体的表面从A到C1的最短路径长度为2
C．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2
D．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为m，则m3＝36
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
16．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为r、R，求出该球的表面积．
课时作业26　球的表面积和体积
1．解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，则球体积扩大为原来的2倍．故选C.
答案：C
2．解析：根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝.故选B.
答案：B
3．解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.故选B.
答案：B
4．解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积＝2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1，故选A.
答案：A
5．解析：设正四棱柱的外接球半径为R，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以(2R)2＝22＋22＋42＝24，得R2＝6，所以该正四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝24π，故选D.
答案：D
6．解析：因为正四棱锥P ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略).
①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋ ＝，所以正四棱锥P ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－ ＝，所以正四棱锥P ABCD的体积为×3×＝.
答案：AB
7．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，解得R＝3.
答案：3
8．解析：设球的半径为r cm，则(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5.所以球的体积为π×r3＝π×125＝(cm3).
答案：
9．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．解析：
如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，BE1＝＝2，
所以2R＝2，则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
11．解析：
如图，D为棱BC的中点，G为正△ABC的中心，O为外接球的球心，根据直棱柱外接球的性质可知OG∥AA1，OG＝AA1＝3，外接球半径R＝OC，∵正△ABC的边长为6，则CG＝2，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面积S＝4πR2＝84π，故选C.
答案：C
12．解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝ ＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.
答案：B
13．解析：
作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，则l＝＝2R，所以＝＝＝.故选C.
答案：C
14．解析：对于A，因为长方体ABCD A1B1C1D1的外接球的表面积为14π，设长方体ABCD A1B1C1D1的外接球的半径为R，则4πR2＝14π，所以R＝，所以32＋b2＋c2＝(2R)2＝14　①，因为长方体ABCD A1B1C1D1的体积为6，所以3bc＝6　②，又3>b>c，由①②解得b＝2，c＝1，故A正确；对于B，沿长方体的表面从A到C1，可将长方体的两个相邻的面展开成矩形，最短路径是这个矩形的对角线，这样的矩形共有3种，对角线长度为＝或＝2或＝3，因为3＝<2＝<，故沿长方体的表面从A到C1的最短路径长度为3，故B错误；对于C，长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，设与其表面积相等的正方体的棱长为k，则6k2＝22，解得k＝，故C错误；对于D，棱长为m的正四面体的高为 ＝，则正四面体的体积为××m××＝6，则m3＝36，故D正确．故选AD.
答案：AD
15．解析：当球的半径最大时，球的体积最大．当球和三个侧面都相切时，在直三棱柱内，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4大于侧棱长．所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.
答案：
16．解析：
如图所示，作圆台及内切球的轴截面ABCD，O1、O2、O分别为上、下底面中心及球心，设球半径为x，则O1O2＝2x，过C作CE⊥AB于E，则CE＝2x，
BE＝R－r，BC＝R＋r，
∴在Rt△CBE中，由CB2＝BE2＋CE2，
得(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2，x2＝Rr，
∴球的表面积为4πx2＝4πRr.
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