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16.2.1 《二次根式的乘除》导学案（2）
学习目标﹒导思
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；
2.了解二次根式的性质4 ；
3.会用二次根式的性质将简单二次根式化简.
学习重难点
重点：理解二次根式的性质4.
难点：灵活运用性质4进行有关计算.
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质4 ，同伴合作能利用二次根式的性质4解答有关问题。
学习过程
一、课前预习﹒导学
（1） 二次根式的定义：_____________________________________________________.
（2）二次根式的性质1：_____________________________________________________
________________________________________________________.
（3）二次根式的性质2：______________________________________________________
__________________________________________________________.
（4） 二次根式的性质3：_____________________________________________________
________________________________________________________.
【答案】（1）一般地，式子叫做二次根式.
（2）性质1：（）2= （≥0）；
（3）性质2：
（4）性质3： ＝·﹙a≥0，b≥0﹚
二、课内学习、合作探究：
探究1：
计算下列各式，观察有何规律？
（1） ＝______________，＝_________________；
（2）＝________________，＝___________________.
比较左右两边的等式，你发现了什么？
（1）＿＿＿＿＝＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＝＿＿＿＿.
你能用字母表示你发现的规律吗？
【答案】（1），
（2），
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
【归纳】性质4：
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿相除，作为＿＿＿的被开方数。
【答案】被开方数，二次根式
探究2：
因为当 a≥0 ，b＞0 时，
() ＝＝ ，又 () ＝ ，
的算术平方根只有一个，所以： ＝ .
由等式的对称性，性质4 也可写成：
＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
【归纳】二次根式的除法：
（1） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿相除，作为＿＿＿的被开方数。
（2） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
商的算术平方根等于＿＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿＿的商。
【答案】（1）被开方数，二次根式
（2）被除数的算术平方根，除数的算数平方根
【做一做】
例1：计算
(1)÷ (2)÷
解：（1）÷===
===2
（2）÷====4
【注意】满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式。
（1） 被开方数的因数是_________________，因式是____________________；
（2） 被开方数中不含_____________________________________的因数或因式。
【答案】（1）整数，整式；
（2）能开的尽
【做一做】
计算：
计算÷的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】 C ÷===.故选C.
【练一练】
计算：
；
【答案】(1)
【详解】解：（1）原式．
【归纳】化简二次根式时时应注意：
⑴ 有时需将被开方数＿＿＿＿＿；
⑵ 当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母＿＿＿＿＿。
【答案】（1）先分解因数或分解因式；
（2）有理化
【练一练】
下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】 C A.=,因此选项A不符合题意;
B.==2,因此选项B不符合题意;
C.是最简二次根式,因此选项C符合题意;
D.=2,因此选项D不符合题意.故选C.
【做一做】：
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2.化简： ．
【答案】
【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简．
本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键．
【详解】由知，，
∴，
∴．
故答案为：．
探究2：比较与的大小。
【方法指导】
比较两个二次根式的大小，通常有下列几种方法：
⑴ 将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小，被开方数大的数大。
⑵ 求差法。两数相减，差大于 0 时被减数大，反之，则小。
⑶ 求商法。两数相除，商大于 1 时，被除数打，反之，则小.
方法一： 方法二： 方法三：
【答案】方法一：因为：2=；3=
所以：<
方法二：-<0,所以：<
方法三：÷<1,所以：<
达标练习
1.下列计算中,正确的是( )
A.5= B.÷=(a>0,b>0)
C.×3= D.×=6
【答案】 B 5= ,故A计算错误;∵a>0,b>0,∴÷==,故B计算正确;×3=3=,故C计算错误;×=×16=24,故D计算错误.故选B.
2.下列二次根式:,,,,是最简二次根式的是 .
【答案】
【解析】 符合最简二次根式的定义,是最简二次根式;
=,=2,=2|x|,不是最简二次根式.
故答案为.
3.计算÷3×的结果是
【答案】 1
【解析】 原式=3÷3×=×==1.故答案为1.
4.化简或计算:
(1);
(2)÷×(-);
(3);
(4)÷;
【解析】 (1)原式====×=.
(2)原式=-=-=-2.
(3)原式==3×2=6.
(4)原式===.
5.先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先进行分式的混合运算，再代入即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式．
6.计算：
(1)
(2)（把它的解集在数轴上表示出来）
【答案】(1)
(2)，图见解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，绝对值，一元一次不等式求解，将不等式的解集表示到数轴上；
（1）先算二次根式的乘除，再去绝对值符号，最后算加减；
（2）解出不等式的解集，最后表示在数轴上．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
把解集表示在数轴上如下：
三、拓展练习
已知一个长方体的体积为，且长为，宽为．求它的高．
【答案】（cm）
【详解】解：长方体的高（cm）．
四、学习反思
学习本节之后，你有何收获？还有哪些困惑？
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16.2.1 《二次根式的乘除》导学案（2）
学习目标﹒导思
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；
2.了解二次根式的性质4 ；
3.会用二次根式的性质将简单二次根式化简.
学习重难点
重点：理解二次根式的性质4.
难点：灵活运用性质4进行有关计算.
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质4 ，同伴合作能利用二次根式的性质4解答有关问题。
学习过程
一、课前预习﹒导学
（1） 二次根式的定义：_____________________________________________________.
（2）二次根式的性质1：_____________________________________________________
________________________________________________________.
（3）二次根式的性质2：______________________________________________________
__________________________________________________________.
（4） 二次根式的性质3：_____________________________________________________
________________________________________________________.
二、课内学习、合作探究：
探究1：
计算下列各式，观察有何规律？
（1） ＝______________，＝_________________；
（2）＝________________，＝___________________.
比较左右两边的等式，你发现了什么？
（1）＿＿＿＿＝＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＝＿＿＿＿.
你能用字母表示你发现的规律吗？
【归纳】性质4：
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿相除，作为＿＿＿的被开方数。
探究2：
因为当 a≥0 ，b＞0 时，
() ＝＝ ，又 () ＝ ，
的算术平方根只有一个，所以： ＝ .
由等式的对称性，性质4 也可写成：
＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
【归纳】二次根式的除法：
（1） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿相除，作为＿＿＿的被开方数。
（2） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
商的算术平方根等于＿＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿＿的商。
【做一做】
例1：计算
(1)÷ (2)÷
【注意】满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式。
（1） 被开方数的因数是_________________，因式是____________________；
（2） 被开方数中不含_____________________________________的因数或因式。
【做一做】
计算：
计算÷的结果是( )
A. B. C. D.
【练一练】
计算：
；
【归纳】化简二次根式时时应注意：
⑴ 有时需将被开方数＿＿＿＿＿；
⑵ 当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母＿＿＿＿＿。
【练一练】
下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【做一做】：
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.化简： ．
探究2：比较与的大小。
【方法指导】
比较两个二次根式的大小，通常有下列几种方法：
⑴ 将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小，被开方数大的数大。
⑵ 求差法。两数相减，差大于 0 时被减数大，反之，则小。
⑶ 求商法。两数相除，商大于 1 时，被除数打，反之，则小.
方法一： 方法二： 方法三：
达标练习
1.下列计算中,正确的是( )
A.5= B.÷=(a>0,b>0)
C.×3= D.×=6
2.下列二次根式:,,,,是最简二次根式的是 .
3.计算÷3×的结果是
4.化简或计算:
(1);
(2)÷×(-);
(3);
(4)÷;
5.先化简，再求代数式的值，其中．
6.计算：
(1)
(2)（把它的解集在数轴上表示出来）
三、拓展练习
已知一个长方体的体积为，且长为，宽为．求它的高．
四、学习反思
学习本节之后，你有何收获？还有哪些困惑？
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