第二单元因数与倍数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册数学人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二单元因数与倍数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册数学人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-28 16:12:58 | ||
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文档简介
第二单元因数与倍数(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点单元培优讲义
(人教版)
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
4．合数与质数的初步认识
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
5．3的倍数特征
【知识点归纳】
3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。
【方法总结】
1、3的倍数既有奇数，也有偶数；
每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。
6．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
（1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。
（2）偶数与奇数：
①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。
②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。
（3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
（5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。
【方法总结】
每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。
2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。
一．选择题（共8小题）
1．在1～100的自然数中，有a个合数，那么有（ ）个质数。
A．100﹣a B．101﹣a C．100÷2 D．99﹣a
2．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（ ）
A．5，6，7 B．16，17，18 C．20，21，22 D．30，31，32
3．下列选项中，表示个数是个数的2倍的是（ ）
A．
B．
C．
4．下列数中不是质数的是（ ）
A．3 B．23 C．31 D．49
5．如果a是合数，那么a的因数（ ）
A．只有1个 B．共有2个 C．至少有3个
6．在15□中，方框里填上数字（ ），这个数同时是2，3、5的倍数。
A．0 B．2 C．1 D．4
7．把23写成两个合数的和，下面正确的一组是 （ ）
A．15+8 B．13+10 C．2+21 D．22+1
8．要使三位数“2□3”是3的倍数，“□”里的数的填法有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共7小题）
9．在5，6，9，27这四个数中， 是 的倍数， 是 的因数， 与其他数不同，理由是 。
10．是2、3、5的倍数的最小三位数是 ；是2、3倍数的最大三位数 。
11．一个数57□，□里填 是2和3的倍数，□里填 是2、5和3的倍数。
12．12是一个很有意思的数，钟面上有12个数，有十二生肖、十二时辰、十二地支等，一打也是12个。12一共有 个因数，其中质数有 个。
13．藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约 年。
14．在1、2、4、7、12、24、56中， 是56的因数，其中 是质数。
15．在横线里填上合适的质数（素数）。
30＝ × ×
19＝ + +
三．判断题（共8小题）
16．因为3×0.5＝1.5，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数。
17．一个自然数的因数都小于这个数的倍数． ．
18．从三位数☆2△是3的倍数可知△2☆也是3的倍数。
19．两个质数的积一定是合数．
20．32是8的4倍，也是4的8倍。
21．正方形的边长可能是质数，它的周长一定是合数。
22．一个数（0除外）的倍数总比它的约数大。
23．18的全部因数有1、2、3、6、9
四．计算题（共2小题）
24．写出下面各数的因数．
25 12 49 36．
25．使下面算式能整除：（815+□）÷3 （65×□）÷15（□是一位数）
五．应用题（共6小题）
26．饮料厂要把460瓶饮料打包，下面哪种方式正好能打包完？
27．光明小学三年级组织了一次交通安全知识检测，一班共50人全部参加，其中90分以上的超过了40人，已知一班超过90分以上的人数同时是2、3、4的倍数，请问一班90分以上的同学有多少人？
28．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。
29．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？
30．新源超市新进一批不同包装的牛奶，每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数。
（1）这批牛奶最低价格是多少？
（2）如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵多少元？
31．便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
第二单元因数与倍数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册(人教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其它的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：1既不是质数也不是合数；
100﹣1﹣a＝99﹣a
在1～100的自然数中，有a个合数，那么有（99﹣a）个质数。
故选：D。
【点评】本题考查的主要内容是质数、合数的应用问题。
2．【答案】C
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。
根据合数的意义：一个数，除了1和它本身两个因数，还有其它因数，这样的数叫做合数，据此逐项分析，进行解答即可。
【解答】解：A．在5，6，7中，7是质数，不符合题意。
B．在16，17，18中，17是质数，不符合题意。
C．在20，21，22中，都是合数，符合题意。
D．在30，31，32中，31是质数，不符合题意。
所以三个连续自然数都是合数的是20，21，22。
故选：C。
【点评】能够正确地区分出来质数和合数是解答此题的关键。
3．【答案】B
【分析】求一个数是一个数的几倍，用乘法，据此解答。
【解答】解：A.表示个数是个数的3倍，不符合题意。
B.表示个数是个数的2倍，符合题意。
C.表示个数是个数的4倍，不符合题意。
故选：B。
【点评】本题考查找一个数倍数的方法。
4．【答案】D
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：3；23；31是质数；
49不是质数。
故选：D。
【点评】本题考查的主要内容是质数和合数的应用问题。
5．【答案】C
【分析】根据质数和合数的含义解决本题，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；合数至少有3个因数．
【解答】解：如果a是合数，那么a的因数至少有3个；
故选：C．
【点评】解答此题关键是理解质数和合数的含义，质数只有1和它本身两个因数，而合数至少有三个因数．
6．【答案】A
【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，首先确定个位上只能填0，再根据3的倍数特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，同时是2，3，5的倍数的特征是：个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【解答】解：在15□中，方框里填上数字0，这个数同时是2，3、5的倍数。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征。
7．【答案】A
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：23＝15+8
15和8都是合数。
故选：A。
【点评】本题考查的主要内容是质数和合数的认识问题。
8．【答案】C
【分析】一个数各位数的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此解答。
【解答】解：要使三位数“2□3”是3的倍数，2+□+3要是3的倍数，□里可以填1，4，7共3种填法。
故选：C。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】27，9，9，27，5，5是质数（答案不唯一）。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，只有1和它本身两个因数的数是质数，据此解答。
【解答】解：因为27÷9＝3，因此在5，6，9，27这四个数中，27是9的倍数，9是27的因数，5与其他数不同，理由是5是质数。（答案不唯一）
故答案为：27，9，9，27，5，5是质数（答案不唯一）。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
10．【答案】120；996。
【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：同时是2、3、5的倍数，只要个位上数字是0，十位上和百位上的数字之和满足是3的倍数；
既是2的倍数，又是3的倍数的数个位上必须是偶数且各个数位上的数字之和是3的倍数。
【解答】解：是2、3、5的倍数的最小三位数是120；
是2、3倍数的最大三位数996。
故答案为：120；996。
【点评】熟练掌握2、3和5的倍数特征是解答本题的关键。
11．【答案】0或6，0。
【分析】个位上的数字是0，2，4，6，8的数就是2的倍数，一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，所以填0或6；
既能被2和5整除，又既能被3整除，必须具备：个位上的数是0，各个数位上的数的和能够被3整除，所以填0。
【解答】解：5+7+0＝12
12÷3＝4
5+7+6＝18
18÷3＝6
570÷5＝114
一个数57□，□里填 0或6是2和3的倍数，□里填 0是2、5和3的倍数。
故答案为：0或6，0。
【点评】掌握2、3、5倍数的特征是解题关键。
12．【答案】6；2。
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：12的因数有1、2、3、4、6、12；
质数有2、3。
12一共有6个因数，其中质数有2个。
故答案为：6；2。
【点评】本题考查的主要内容是质数、合数的应用问题。
13．【答案】8。
【分析】质数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，没有其它因数的数这样的数叫质数；最小的质数是2；
合数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身以外还有其它因数，这样的数叫合数；最小的合数是4；据此解答。
【解答】解：最小质数是2，最小合数是4。
2×4＝8（年）
藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约8年。
故答案为：8。
【点评】本题考查的主要内容是合数与质数的认识问题。
14．【答案】1、2、4、7、56；2、7。
【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。1既不是质数也不是合数。
【解答】解：在1、2、4、7、12、24、56中，1、2、4、7、56是56的因数，其中2、7是质数。
故答案为：1、2、4、7、56；2、7。
【点评】本题考查了因数和倍数的意义。
15．【答案】2，3，5；3，5，11（答案不唯一）。
【分析】将30分解质因数即可；20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此找出三个数和是19的即可。
【解答】解：30＝2×3×5
19＝3+5+11（答案不唯一）
故答案为：2，3，5；3，5，11（答案不唯一）。
【点评】本题主要考查质数及合数分解质因数，解题的关键是理解质数合数的意义。
三．判断题（共8小题）
16．【答案】×
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；倍数、因数是针对整数来说的；由此判断即可。
【解答】解：因为3×0.5＝1.5，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数，说法错误，因为倍数、因数是针对整数来说的，研究的范围是非0自然数。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意倍数、因数是针对整数来说的。
17．【答案】见试题解答内容
【分析】一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；据此判断即可．
【解答】解：因为一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，如12的最大因数是12，最小倍数是12，它的最大因数和最小倍数相等；
所以一个自然数的因数都小于这个数的倍数的说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了因数和倍数意义，注意一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身．
18．【答案】√
【分析】根据3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
【解答】解：从三位数☆2△是3的倍数，说明☆+2+△的和是3的倍数，所以△2☆也是3的倍数，题干正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查的主要内容是3的倍数的应用问题。
19．【答案】√
【分析】一个数除了1和它本身还有其它因数，这样的数就是合数．
【解答】解：2和3是两个质数，这两个质数相乘得到的积是6，故是合数。
故答案为：√．
【点评】本题的主要考查了学生对合数意义的掌握情况．
20．【答案】√
【分析】根据除法的意义判断即可。
【解答】解：32÷4＝8，32÷8＝4，所以32是8的4倍，也是4的8倍，说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答本题的关键是知道求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。
21．【答案】√
【分析】正方形的周长＝边长×4，边长是质数，则周长一定是4的倍数，也就是合数。
【解答】解：一个正方形的边长是质数，它的周长一定是合数，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了质数与合数的定义，要熟练掌握。
22．【答案】×
【分析】我们知道一个非0自然数的最大因数是本身，最小倍数也是本身；如5的最大因数是5，最小倍数也是5；据此解答。
【解答】解：一个数（0除外）的倍数总比它的约数大，说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．注意一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据找一个因数的方法的方法，进行列举解答即可．
【解答】解：18的全部因数有：1、2、3、6、9、18；
所以18的全部因数有1、2、3、6、9的说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查的是找一个数的因数的方法，应成对成对的找，然后按照从小到大的顺序排列，做到不重复、不遗漏．
四．计算题（共2小题）
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可．
【解答】解：25的因数：1、5、25；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
49的因数：1、7、49；
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】①一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，8+1+5+1＝15，8+1+5+4＝18，8+1+5+7＝21，□内可以是1、4、7；
②65＝5×13，15＝5×3，□内的数不许是3的倍数，可以是3、6、9．
【解答】解：①8+1+5+1＝15，
8+1+5+4＝18，
8+1+5+7＝21，
□内可以是1、4、7；
②65＝5×13，
15＝5×3，
□内可以是3、6、9．
故答案为：1、4、7，3、6、9．
【点评】此题主要考查找一个数的倍数的方法．
五．应用题（共6小题）
26．【答案】5瓶装正好能打包完。
【分析】只要包装瓶数是460的因数即可正好包装完，也就是看460是否是3、5、8的倍数。
【解答】解：3的倍数特征是如果这个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，4+6+0＝10，10不是3的倍数，所以460不是3的倍数，因此3瓶装不能打包完；
5的倍数特征是如果这个数个位是0、5，那么这个数就是5的倍数，460各位是5，所以460是5的倍数，因此5瓶装能打包完；
因为460÷8＝57......4，所以8瓶装不能打包完。
答：5瓶装正好能打包完。
【点评】此题的解题关键是利用3、5的倍数的数的特征，找到正确的答案。
27．【答案】48人。
【分析】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【解答】解：同时是2、3、4的倍数的有48；
50＞48＞40
答：一班90分以上的同学有48人。
【点评】本题考查的主要内容是2、3的倍数应用问题。
28．【答案】有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。
【分析】有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，就是找48的因数，且满足每袋至少装4个，至少装4袋，据此解答。
【解答】解：有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。
【点评】本题考查找一个数因数方法的应用。
29．【答案】李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【分析】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。
【解答】解：16×4＝64（本）
16×5＝80（本）
16×6＝96（本）
答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【点评】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。
30．【答案】（1）30元；（2）90。
【分析】每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数，所以这个牛奶的价格同时要满足2、3、5的倍数特征，同时是2、3、5的倍数特征那么这个数个位是0且每一个数位上数字之和是3的倍数。
（1）牛奶的价格应是2、3、5的倍数且最小；
（2）最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数且低于100元。
【解答】解：（1）牛奶的价格同时是2、3、5的倍数，所以个位是0，十位的数字加0是3的倍数，所以十位最小是3，那么这个价格就是30元。
答：这批牛奶最低价格是30元。
（2）最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数，所以个位是0，十位的数字加0是3的倍数，这个数比100小，所以十位的数尽可能的大，十位为9时，9+0＝9是3的倍数，所以低于100元的最贵的牛奶是90元。
答：如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵90元。
【点评】本题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征并能灵活的运用。
31．【答案】如果每2瓶装一提，不能正好装完，如果每5瓶装一箱，能正好装完，因为365不是2的倍数、365是5的倍数。
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【解答】解：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。
因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
2023-2024学年五年级下册数学重难点单元培优讲义
(人教版)
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
4．合数与质数的初步认识
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
5．3的倍数特征
【知识点归纳】
3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。
【方法总结】
1、3的倍数既有奇数，也有偶数；
每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。
6．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
（1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。
（2）偶数与奇数：
①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。
②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。
（3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
（5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。
【方法总结】
每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。
2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。
一．选择题（共8小题）
1．在1～100的自然数中，有a个合数，那么有（ ）个质数。
A．100﹣a B．101﹣a C．100÷2 D．99﹣a
2．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（ ）
A．5，6，7 B．16，17，18 C．20，21，22 D．30，31，32
3．下列选项中，表示个数是个数的2倍的是（ ）
A．
B．
C．
4．下列数中不是质数的是（ ）
A．3 B．23 C．31 D．49
5．如果a是合数，那么a的因数（ ）
A．只有1个 B．共有2个 C．至少有3个
6．在15□中，方框里填上数字（ ），这个数同时是2，3、5的倍数。
A．0 B．2 C．1 D．4
7．把23写成两个合数的和，下面正确的一组是 （ ）
A．15+8 B．13+10 C．2+21 D．22+1
8．要使三位数“2□3”是3的倍数，“□”里的数的填法有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共7小题）
9．在5，6，9，27这四个数中， 是 的倍数， 是 的因数， 与其他数不同，理由是 。
10．是2、3、5的倍数的最小三位数是 ；是2、3倍数的最大三位数 。
11．一个数57□，□里填 是2和3的倍数，□里填 是2、5和3的倍数。
12．12是一个很有意思的数，钟面上有12个数，有十二生肖、十二时辰、十二地支等，一打也是12个。12一共有 个因数，其中质数有 个。
13．藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约 年。
14．在1、2、4、7、12、24、56中， 是56的因数，其中 是质数。
15．在横线里填上合适的质数（素数）。
30＝ × ×
19＝ + +
三．判断题（共8小题）
16．因为3×0.5＝1.5，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数。
17．一个自然数的因数都小于这个数的倍数． ．
18．从三位数☆2△是3的倍数可知△2☆也是3的倍数。
19．两个质数的积一定是合数．
20．32是8的4倍，也是4的8倍。
21．正方形的边长可能是质数，它的周长一定是合数。
22．一个数（0除外）的倍数总比它的约数大。
23．18的全部因数有1、2、3、6、9
四．计算题（共2小题）
24．写出下面各数的因数．
25 12 49 36．
25．使下面算式能整除：（815+□）÷3 （65×□）÷15（□是一位数）
五．应用题（共6小题）
26．饮料厂要把460瓶饮料打包，下面哪种方式正好能打包完？
27．光明小学三年级组织了一次交通安全知识检测，一班共50人全部参加，其中90分以上的超过了40人，已知一班超过90分以上的人数同时是2、3、4的倍数，请问一班90分以上的同学有多少人？
28．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。
29．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？
30．新源超市新进一批不同包装的牛奶，每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数。
（1）这批牛奶最低价格是多少？
（2）如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵多少元？
31．便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
第二单元因数与倍数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册(人教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其它的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：1既不是质数也不是合数；
100﹣1﹣a＝99﹣a
在1～100的自然数中，有a个合数，那么有（99﹣a）个质数。
故选：D。
【点评】本题考查的主要内容是质数、合数的应用问题。
2．【答案】C
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。
根据合数的意义：一个数，除了1和它本身两个因数，还有其它因数，这样的数叫做合数，据此逐项分析，进行解答即可。
【解答】解：A．在5，6，7中，7是质数，不符合题意。
B．在16，17，18中，17是质数，不符合题意。
C．在20，21，22中，都是合数，符合题意。
D．在30，31，32中，31是质数，不符合题意。
所以三个连续自然数都是合数的是20，21，22。
故选：C。
【点评】能够正确地区分出来质数和合数是解答此题的关键。
3．【答案】B
【分析】求一个数是一个数的几倍，用乘法，据此解答。
【解答】解：A.表示个数是个数的3倍，不符合题意。
B.表示个数是个数的2倍，符合题意。
C.表示个数是个数的4倍，不符合题意。
故选：B。
【点评】本题考查找一个数倍数的方法。
4．【答案】D
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：3；23；31是质数；
49不是质数。
故选：D。
【点评】本题考查的主要内容是质数和合数的应用问题。
5．【答案】C
【分析】根据质数和合数的含义解决本题，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；合数至少有3个因数．
【解答】解：如果a是合数，那么a的因数至少有3个；
故选：C．
【点评】解答此题关键是理解质数和合数的含义，质数只有1和它本身两个因数，而合数至少有三个因数．
6．【答案】A
【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，首先确定个位上只能填0，再根据3的倍数特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，同时是2，3，5的倍数的特征是：个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【解答】解：在15□中，方框里填上数字0，这个数同时是2，3、5的倍数。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征。
7．【答案】A
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：23＝15+8
15和8都是合数。
故选：A。
【点评】本题考查的主要内容是质数和合数的认识问题。
8．【答案】C
【分析】一个数各位数的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此解答。
【解答】解：要使三位数“2□3”是3的倍数，2+□+3要是3的倍数，□里可以填1，4，7共3种填法。
故选：C。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】27，9，9，27，5，5是质数（答案不唯一）。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，只有1和它本身两个因数的数是质数，据此解答。
【解答】解：因为27÷9＝3，因此在5，6，9，27这四个数中，27是9的倍数，9是27的因数，5与其他数不同，理由是5是质数。（答案不唯一）
故答案为：27，9，9，27，5，5是质数（答案不唯一）。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
10．【答案】120；996。
【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：同时是2、3、5的倍数，只要个位上数字是0，十位上和百位上的数字之和满足是3的倍数；
既是2的倍数，又是3的倍数的数个位上必须是偶数且各个数位上的数字之和是3的倍数。
【解答】解：是2、3、5的倍数的最小三位数是120；
是2、3倍数的最大三位数996。
故答案为：120；996。
【点评】熟练掌握2、3和5的倍数特征是解答本题的关键。
11．【答案】0或6，0。
【分析】个位上的数字是0，2，4，6，8的数就是2的倍数，一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，所以填0或6；
既能被2和5整除，又既能被3整除，必须具备：个位上的数是0，各个数位上的数的和能够被3整除，所以填0。
【解答】解：5+7+0＝12
12÷3＝4
5+7+6＝18
18÷3＝6
570÷5＝114
一个数57□，□里填 0或6是2和3的倍数，□里填 0是2、5和3的倍数。
故答案为：0或6，0。
【点评】掌握2、3、5倍数的特征是解题关键。
12．【答案】6；2。
【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【解答】解：12的因数有1、2、3、4、6、12；
质数有2、3。
12一共有6个因数，其中质数有2个。
故答案为：6；2。
【点评】本题考查的主要内容是质数、合数的应用问题。
13．【答案】8。
【分析】质数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，没有其它因数的数这样的数叫质数；最小的质数是2；
合数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身以外还有其它因数，这样的数叫合数；最小的合数是4；据此解答。
【解答】解：最小质数是2，最小合数是4。
2×4＝8（年）
藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，它的最长寿命（单位：年）约是最小质数与最小合数的积，藏羚羊的最长寿命约8年。
故答案为：8。
【点评】本题考查的主要内容是合数与质数的认识问题。
14．【答案】1、2、4、7、56；2、7。
【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。1既不是质数也不是合数。
【解答】解：在1、2、4、7、12、24、56中，1、2、4、7、56是56的因数，其中2、7是质数。
故答案为：1、2、4、7、56；2、7。
【点评】本题考查了因数和倍数的意义。
15．【答案】2，3，5；3，5，11（答案不唯一）。
【分析】将30分解质因数即可；20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此找出三个数和是19的即可。
【解答】解：30＝2×3×5
19＝3+5+11（答案不唯一）
故答案为：2，3，5；3，5，11（答案不唯一）。
【点评】本题主要考查质数及合数分解质因数，解题的关键是理解质数合数的意义。
三．判断题（共8小题）
16．【答案】×
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；倍数、因数是针对整数来说的；由此判断即可。
【解答】解：因为3×0.5＝1.5，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数，说法错误，因为倍数、因数是针对整数来说的，研究的范围是非0自然数。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意倍数、因数是针对整数来说的。
17．【答案】见试题解答内容
【分析】一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；据此判断即可．
【解答】解：因为一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，如12的最大因数是12，最小倍数是12，它的最大因数和最小倍数相等；
所以一个自然数的因数都小于这个数的倍数的说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了因数和倍数意义，注意一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身．
18．【答案】√
【分析】根据3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
【解答】解：从三位数☆2△是3的倍数，说明☆+2+△的和是3的倍数，所以△2☆也是3的倍数，题干正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查的主要内容是3的倍数的应用问题。
19．【答案】√
【分析】一个数除了1和它本身还有其它因数，这样的数就是合数．
【解答】解：2和3是两个质数，这两个质数相乘得到的积是6，故是合数。
故答案为：√．
【点评】本题的主要考查了学生对合数意义的掌握情况．
20．【答案】√
【分析】根据除法的意义判断即可。
【解答】解：32÷4＝8，32÷8＝4，所以32是8的4倍，也是4的8倍，说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答本题的关键是知道求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。
21．【答案】√
【分析】正方形的周长＝边长×4，边长是质数，则周长一定是4的倍数，也就是合数。
【解答】解：一个正方形的边长是质数，它的周长一定是合数，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了质数与合数的定义，要熟练掌握。
22．【答案】×
【分析】我们知道一个非0自然数的最大因数是本身，最小倍数也是本身；如5的最大因数是5，最小倍数也是5；据此解答。
【解答】解：一个数（0除外）的倍数总比它的约数大，说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．注意一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据找一个因数的方法的方法，进行列举解答即可．
【解答】解：18的全部因数有：1、2、3、6、9、18；
所以18的全部因数有1、2、3、6、9的说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查的是找一个数的因数的方法，应成对成对的找，然后按照从小到大的顺序排列，做到不重复、不遗漏．
四．计算题（共2小题）
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可．
【解答】解：25的因数：1、5、25；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
49的因数：1、7、49；
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】①一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，8+1+5+1＝15，8+1+5+4＝18，8+1+5+7＝21，□内可以是1、4、7；
②65＝5×13，15＝5×3，□内的数不许是3的倍数，可以是3、6、9．
【解答】解：①8+1+5+1＝15，
8+1+5+4＝18，
8+1+5+7＝21，
□内可以是1、4、7；
②65＝5×13，
15＝5×3，
□内可以是3、6、9．
故答案为：1、4、7，3、6、9．
【点评】此题主要考查找一个数的倍数的方法．
五．应用题（共6小题）
26．【答案】5瓶装正好能打包完。
【分析】只要包装瓶数是460的因数即可正好包装完，也就是看460是否是3、5、8的倍数。
【解答】解：3的倍数特征是如果这个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，4+6+0＝10，10不是3的倍数，所以460不是3的倍数，因此3瓶装不能打包完；
5的倍数特征是如果这个数个位是0、5，那么这个数就是5的倍数，460各位是5，所以460是5的倍数，因此5瓶装能打包完；
因为460÷8＝57......4，所以8瓶装不能打包完。
答：5瓶装正好能打包完。
【点评】此题的解题关键是利用3、5的倍数的数的特征，找到正确的答案。
27．【答案】48人。
【分析】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【解答】解：同时是2、3、4的倍数的有48；
50＞48＞40
答：一班90分以上的同学有48人。
【点评】本题考查的主要内容是2、3的倍数应用问题。
28．【答案】有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。
【分析】有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，就是找48的因数，且满足每袋至少装4个，至少装4袋，据此解答。
【解答】解：有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。
【点评】本题考查找一个数因数方法的应用。
29．【答案】李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【分析】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。
【解答】解：16×4＝64（本）
16×5＝80（本）
16×6＝96（本）
答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【点评】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。
30．【答案】（1）30元；（2）90。
【分析】每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数，所以这个牛奶的价格同时要满足2、3、5的倍数特征，同时是2、3、5的倍数特征那么这个数个位是0且每一个数位上数字之和是3的倍数。
（1）牛奶的价格应是2、3、5的倍数且最小；
（2）最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数且低于100元。
【解答】解：（1）牛奶的价格同时是2、3、5的倍数，所以个位是0，十位的数字加0是3的倍数，所以十位最小是3，那么这个价格就是30元。
答：这批牛奶最低价格是30元。
（2）最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数，所以个位是0，十位的数字加0是3的倍数，这个数比100小，所以十位的数尽可能的大，十位为9时，9+0＝9是3的倍数，所以低于100元的最贵的牛奶是90元。
答：如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵90元。
【点评】本题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征并能灵活的运用。
31．【答案】如果每2瓶装一提，不能正好装完，如果每5瓶装一箱，能正好装完，因为365不是2的倍数、365是5的倍数。
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【解答】解：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。
因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。