2024年高考第二次模拟考试
高三数学
全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，则（ ）
A． B． C.,或 D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，
【详解】由题意得，，又
则 ，故选：B.
2.已知复数（，且），且为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为为纯虚数，所以，即（舍）或，
所以，所以，
所以.
故选：D
3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.
【详解】由向量，，
若与共线，则，所以，
，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：C
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，由，可得，
当时，由，得；
所以“”不是“”的充分条件.
因为，所以，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A.60 B.114 C.278 D.336
【答案】D
【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.
录用3人，有 种情况；录用4 人，有 种情况；录用 5 人，有种情况.所以共有336种.
6.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】的圆心坐标为，半径为,要使上总存在，两点使得为等边三角形，则上存在一点，使得,当与相切时，最大，故，由此可求解.
【详解】的标准方程为，
圆心坐标为，半径为.
因为，所以.
所以.
要使上总存在，两点使得为等边三角形，
则上存在一点，使得,
当与相切时，最大，此时，
故，即，
整理得，解得.
故选:B.
7.已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是1，即A到BC的距离为1，则∠ACB＝90°，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．
【详解】三棱锥中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为，
∵的最大值是，∴，解得，
即PQ的最小值为，的最小值是1，即A到BC的距离为1，
直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，
所以重合，则∠ACB＝90°，
则△ABC的外接圆圆心M为AB的中点，
又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点，
外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积．
故选：B．
8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
【答案】D
【分析】由椭圆标准方程求得后再求得，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．
【详解】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；
设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6 B．若点，则的最小值是4
C． D．若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【分析】A，根据结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当三点共线时；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.
【详解】对A，设，
因为这些倾斜角不为0，
则设直线的方程为，联立抛物线得，
则，
所以，
则（当且仅当时等号成立），A正确；
对B，如图抛物线准线，要使其最小，
即三点共线时取得最小值，
即，B正确；
对C，由，C错误；
对D，
，解得,D正确
故选：ABD.
10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C. 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；
B选项，若的离心率为，
解得，所以实轴长，故B错误；
C选项，若，则，
整理得，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．存在点，使得，且平面
C．与平面所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】BC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，根据得到与平行；B选项，先求出，得到平面的法向量，根据数量积为0得到，得到平面；C选项，先求出与平面所成角的正弦值，进而求出余弦值；D选项，求出平面的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.
【详解】A选项，以作坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，由于，故与平行，A错误；
B选项，设，因为，所以，
即，解得，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
因为，故，平面，
故存在点，使得，且平面，B正确；
C选项，平面的法向量为，
故与平面所成角的正弦值为，
则与平面所成角的余弦值为，C正确；
D选项，设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
则点到平面的距离为，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
【答案】240
【解析】
【详解】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，所以二项式为，
则二项式展开式的通项，
令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，所以填240
13.若函数 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数 是__________.
【答案】0
【解析】
【详解】注意到，.
若函数上存在两条切线垂直，则存在、，使得
.
故答案为0
14. 若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得求出，当轴时，则，可求的值；当直线方程为时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时的最小值，即可得结论．
【详解】解：如图，其中抛物线的焦点坐标为，
抛物线的准线方程为：，圆的半径
又抛物线的定义可得：，又，
当轴时，则，所以；
当不垂直于轴时，设的方程为：，代入抛物线方程得：，
所以。
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
综上，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据可得是以公比为的等比数列，进而可求解，
（2）根据数列的通项性质可对分奇偶，进而可得，，分组求和即可求解.
【小问1详解】
对于任意的都有,
当时，，两式相减得，即，
进而得， ...................................................4分
当时，，故，
所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，
所以 .............................................6分
【小问2详解】
当为奇数时，，且，当为偶数时，，且，
因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，
因此当为偶数时，的前n项中的最大值为，
最小值为，此时， .............................................10分
当时，，
因此的前20项和
.............................................13分
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）13； （3）更优
【解析】
【分析】(1)由条件确定随机变量可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
(2)根据分布列结合条件求n的最小值；
(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.
【小问1详解】
设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则0.2，，
X的取值范围是，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为
X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
............................................. 6分
【小问2详解】由（1）可知，
，
故. .............................................9分
【小问3详解】
由（2）可知.
在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优。 ................................. 13分
17．（15分）如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.
(1)求证:;
(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
17.【解析】(1)在平面中作于,
因为平面平面,
且平面平面,
所以平面,从而. .............................................4分
在三棱柱中,平面平面ABC,
所以.
又因为,所以平面,因此. .............................................7分
(2)由(1)可知,两两垂直,如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设,
则. .............................................9分
设平面PBC的一个法向量为,
因为,
所以即
则有
令,得.10分
而平面的一个法向量可以是,
则,解得,
即为棱的三等分点,. .............................................15分
18．（17分）已知函数．
(1)若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．
【答案】(1)2；(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知求出a的值.
（2）求出函数及其导数，确定有两个极值点的条件，再由变形并构造函数，利用导数推理论证即得.
【详解】（1）依题意，设切点，求导得，
则，解得，又，，则，
所以实数a的值为2. ............................................. 6分
（2）依题意，的定义域为，
求导得，
则有两个不等的正根，且是的变号零点，
令，求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数有两个零点，得，解得， .............................................9分
此时，令，求导得，
当时，，
当时，，函数在上递增，在上递减，
则，即，，
因此当时，函数必有两个零点，且是变号零点，由，得，
由，得，令，则，
于是，解得，， ............................................. 13分
因此要证，只需证，
即，只证，
令，， .............................................15分
求导得，
因此函数在上单调递增，，
所以. .............................................17分
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点Q,P的距离之比是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点A,且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为的直线与椭圆相交于,D(点B在轴上方),点S,T是椭圆上异于B,D的两点，SF平分平分
（1）求的取值范围；
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为,求直线的方程.
19.【答案】(1)(2)(1)(2)
【解析】(1)方法(1)特殊值法,令,且,解得.
,椭圆的方程为, ............................................. 5分
方法(2)设,由题意(常数),整理得：
,故,又,解得:.
,椭圆的方程为. ............................................. 5分
(2)(1),又,
(或由角平分线定理得),令,则,设,
则有,又直线的斜率,则
代人得:,即,
. ............................... 11分
(2)由(1)知,,由阿波罗尼斯圆定义知,
S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,设该圆圆心为,半径为,与直线的另一个交点为,则有,即,解得:.
又,故13分
又,
,
解得:直线的方程为.2024年高考第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.设集合，则（ ）
A． B． C．,或 D．
2.已知复数（，且），且为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C． D．
3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4. “”是“”（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A．60 B．114 C．278 D．336
6.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6 B．若点，则的最小值是4
C． D．若，则直线的斜率为
10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A． 若的两条渐近线相互垂直，则 B． 若的离心率为，则的实轴长为
C． 若，则 D． 当变化时，周长的最小值为
11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．与是异面直线 B．存在点，使得，且平面
C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
13.若函数 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数 是__________.
14. 若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
17．（15分）如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.
(1)求证:;
(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
18．（17分）已知函数．
(1)若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点Q,P的距离之比是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点A,且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为的直线与椭圆相交于,D(点B在轴上方),点S,T是椭圆上异于B,D的两点，SF平分平分
（1）求的取值范围；
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为,求直线的方程.2024年高考第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，则（ ）
A． B． C．,或 D．
2.已知复数（，且），且为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C． D．
3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4. “”是“”（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A．60 B．114 C．278 D．336
6.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6 B．若点，则的最小值是4
C． D．若，则直线的斜率为
10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A． 若的两条渐近线相互垂直，则
B． 若的离心率为，则的实轴长为
C． 若，则
D． 当变化时，周长的最小值为
11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．存在点，使得，且平面
C．与平面所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
13.若函数 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数是__________.
14. 若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
17．（15分）如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.
(1)求证:;
(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
18．（17分）已知函数．
(1)若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点Q,P的距离之比是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点A,且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为的直线与椭圆相交于,D(点B在轴上方),点S,T是椭圆上异于B,D的两点，SF平分平分
（1）求的取值范围；
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为,求直线的方程.2024年高考第二次模拟考试
高三数学
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B D B B D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．240 13． 0 14．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【解析】
【小问1详解】
对于任意的都有,
当时，，两式相减得，即，
进而得， .............................................4分
当时，，故，
所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，
所以 .............................................6分
【小问2详解】
当为奇数时，，且，当为偶数时，，且，
因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，
因此当为偶数时，的前n项中的最大值为，
最小值为，此时， .............................................10分
当时，，
因此的前20项和
.............................................13分
16．（15分）【解析】
【小问1详解】
设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则0.2，，
X的取值范围是，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为
X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
............................................. 6分
【小问2详解】由（1）可知，
，
故. .............................................9分
【小问3详解】
由（2）可知.
在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优。 ................... 13分
17．（15分）【解析】(1)在平面中作于,
因为平面平面,
且平面平面,
所以平面,从而. .............................................4分
在三棱柱中,平面平面ABC,
所以.
又因为,所以平面,因此. .............................................7分
(2)由(1)可知,两两垂直,如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设,
则. .............................................9分
设平面PBC的一个法向量为,
因为,
所以即
则有
令,得.10分
而平面的一个法向量可以是,
则,解得,
即为棱的三等分点,. .............................................15分
18．（17分）【解析】（1）依题意，设切点，求导得，
则，解得，又，，则，
所以实数a的值为2. ............................................. 6分
（2）依题意，的定义域为，
求导得，
则有两个不等的正根，且是的变号零点，
令，求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数有两个零点，得，解得， ...........................9分
此时，令，求导得，
当时，，
当时，，函数在上递增，在上递减，
则，即，，
因此当时，函数必有两个零点，且是变号零点，由，得，
由，得，令，则，
于是，解得，， ............................................. 13分
因此要证，只需证，
即，只证，
令，， .............................................15分
求导得，
因此函数在上单调递增，，
所以. .............................................17分
19．（17分）【解析】(1)方法(1)特殊值法,令,且,解得.
,椭圆的方程为, ............................................. 5分
方法(2)设,由题意(常数),整理得：
,故,又,解得:.
,椭圆的方程为. ............................................. 5分
(2)(1),又,
(或由角平分线定理得),令,则,设,
则有,又直线的斜率,则
代人得:,即,
. ............................... 11分
(2)由(1)知,,由阿波罗尼斯圆定义知,
S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,设该圆圆心为,半径为,与直线的另一个交点为,则有,即,解得:.
又,故13分
又,
,
解得:
直线的方程为.
............................... 17分
