2024年1月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若数列满足，其前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲 乙 丙 丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
7．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
10．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．
D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为
11．已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．的周期为6 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合且，则实数a的取值范围是 ．
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求函数的单调性和极值.
16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
17．（15分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.
(1)求证：；
(2)若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.
18．（17分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与抛物线相切于点，且交轴正半轴于点.已知上的动点到点的距离与到直线的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点.
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
（1）若，进行操作后得到，设前项和为
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．
（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．2024年1月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
【答案】D
【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．
2．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.故选：C.
3．若数列满足，其前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列满足，则数列为等差数列，
设数列的公差为，则，可得，
所以，，
所以，，故选B.
4．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【解析】对于A选项，因为，过直线作平面，使得，
因为，，，则，
因为，，则，故，A对；
对于B选项，若，，则，又因为，故，B对；
对于C选项，若，，则，C对；
对于D选项，若，，，则、平行或相交，D错.
故选D.
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲 乙 丙 丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲 乙 丙 丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：.
故选：B.
6．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【解析】设，，，，，，抛物线焦点坐标，准线方程：，
，点是重心，
则，.
而，，
，
故选：D．
7．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.
由已知结合双曲线的定义可得，
所以，，，，且为锐角.
又，，
所以，.
又，
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
所以，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
10．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．
D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【解析】由题意可得，所以的虚部为，A错误，
，故，B错误，
，C正确，
表示点到的距离不大于1的点构成的图形，故为以为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为，D正确，
故选：CD
11．已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数 C．的周期为6 D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
，，
，令，
则①，
②，
①+②可得，
，，
，因此，故C正确；
令，，
令，，，
则，故，，
故为偶函数，所以B不正确；
因为，故关于对称，
且，，令，，
则，令，，，
则，，
，一个周期的和为0，
则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】集合且，则.
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为.
14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
【答案】/
【解析】由与都是集合的元素，
不妨设，
因为，所以，
由已知，所以，则，
又，所以，即，
所以，
所以，，
则，即，
因为，所以，则，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．
(1)求；
【解】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
0 1 2 3
所以.
17．（15分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.
(1)求证：；
(2)若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.
【解】（1）在四棱柱中，
底面和侧面都是矩形，则侧面都是矩形，
有，，
，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2），.
取分别为的中点，连接，，
因为，平面，
所以平面，
因为，所以,
所以以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，则.
则，
设，即，可得，
，，
设平面的一个法向量，
则有，
令，则，得，
又平面的一个法向量，
因为二面角的大小为，
则有，
整理得，，解得，或（舍），
所以，则，有的值为2.
18．（17分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与抛物线相切于点，且交轴正半轴于点.已知上的动点到点的距离与到直线的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点.
【解】（1）设，由题意知准线，
由抛物线的定义可知点到点的距离等于点到准线的距离，
所以点到点的距离与到直线的距离之和为，
由题意知当时，距离之和最小，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，
联立方程，得，
由得，解得，又与轴交于正半轴，所以
由解得，所以点，
所以直线，
所以直线，所以，
因为斜率存在且不为零，所以设，
联立，消去，得，
则，所以且.
，
又直线，令，得，所以，
因为，所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
因为，
所以直线为，所以恒过定点.
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
（1）若，进行操作后得到，设前项和为
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．
（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
【解】（1）①由知：当时，故．
则．
②解：假设存在，由单调递增，不妨设
化简得，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在．
（2）易知，
所以保留，则．
又，将删去，
得到，则
也即．
记，下面证明：．
由，
知：
，
同理可得：，
合并以上四式，便证明了对任意的，都有．
因此，原命题得证．
