参考答案：
1．D
【解析】转化条件为，换元后由对勾函数的性质即可得解.
【详解】由题意，，
令，则，当且仅当时，等号成立，
又函数在上单调递减，
所以当时，函数取最小值，
所以的最小值为.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为，再结合对勾函数的性质即可得解.
2．B
【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【详解】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
3．D
【分析】令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．
【详解】解： ,，
故设，，，
，
当且仅当，即，时取等号
故选．
【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．
4．C
【分析】讨论两种情况，分别计算得到答案.
【详解】当时： 成立；
当时： 解得：.
综上所述：
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.
5．A
【详解】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0，
故M>－5.
选A
6．D
【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
7．C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
8．A
【分析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.
【详解】由题意可得：
，
即可绘出函数图像，如下所示：
故对称轴为，A正确；
由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；
要使，则，
由图象可得或、或，
故或或，C错误；
当时，函数取最小值，最小值，D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.
9．ABCD
【分析】时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，根据函数图像依次判断每个选项得到答案.
【详解】当时，，故，
当时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，如图所示：
，正确；
函数在上单调递增，正确；
函数过定点，根据图像知：直线与轴的交点在之间，故，正确；
根据图像知，不妨设，则，，，
故=，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了函数的周期，分段函数，函数的零点问题，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
10．BC
【分析】由图象的平移变换可得的解析式，利用诱导公式可判断A；解方程可判断B；利用余弦函数的对称轴可判断C；分离可得，利用余弦函数的性质求得最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】将图象向右平移个单位可得，
对于A：因为，故选项A不正确；
对于B：令，可得，
所以，令，可得，
所以共个，所以函数在区间上有10个零点，故选项B正确；
对于C：令可得，所以直线是函数图象的一条对称轴，故选项C正确；
对于D：若对任意的恒成立，
则，
因为，所以，
，，所以，故选项D不正确；
故选：BC.
11．ACD
【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.
【详解】画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
12．ABC
【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减.
所以，所以选项B正确
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
13．{x|-1
【分析】求得函数定义域解得集合，利用指数函数单调性求得不等式解集从而求得集合，再求集合的补集和交集即可.
【详解】因为A={x|y=}={x|x≥0}，
所以 RA={x|x<0}.
又B=={x|-1所以( RA)∩B={x|-1故答案为：{x|-1【点睛】本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域的求解，以及利用指数函数单调性解不等式，属综合基础题.
14．
【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，在上递减，符合题意.
当时，在上递增，不符合题意.
所以的值为，则，
依题意为正数，
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
15．10
【分析】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，则，解之可得答案.
【详解】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，
则，即，
所以，又，所以，
故答案为：.
16．
【分析】由题意连接，可得，过点B作的垂线，垂足为N, 设，分别在和中求出线段，从而表示出，再由正弦函数的性质求出最大值.
【详解】
如图，连接，
因为，所以，
又因为矩形ABCD，，所以，
从而可得，所以，
，且，为等边三角形，，
又因为矩形ABCD，，，
过点B作的垂线，垂足为N, 设，
，，，
在中，，，
，
，
当，即时，矩形面积最大，且最大值为
故答案为：
17．（1）（2）
【分析】（1）根据的值，进行计算，最后取它们的公共部分，可得结果.
（2）根据等价转换思想，从集合的角度考虑，可得结果.
【详解】（1）由，
当时，，
即为真命题时，
实数的取值范围是.
又为真命题时，
实数的取值范围是，
所以，当均为真命题时，
有解得，
所以实数的取值范围是.
（2）是的充分不必要条件，
即且.
设或，
或，
则
所以且，即.
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题重在于考查根据充分、必要条件求值，这种问题可转换为集合的问题，分析清楚，仔细计算即可，属中档题.
18．(1)f(x)＝x2－2x＋3.(2)a＝7或a＝－7.
【分析】(1)对任意实数都有成立，可得的对称轴为x＝1，即可得出a.
(2)由题意可得的对称轴为，分别讨论，，，综合结论，即可得到a的值.
【详解】(1)∵f(1＋t)＝f(1－t)，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1，
∴，解得a＝－2.
∴函数的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
(2)由题意得函数f(x)＝x2＋ax＋3图象的对称轴为.
①当，即a≤－2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f（1）＝1＋a＋3＝a＋4＝－3，
解得a＝－7，符合题意；
②当，即－2由题意得解得a2＝24，
∴或，又－2③当，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝1－a＋3＝4－a＝－3，
解得a＝7，符合题意．
综上可知a＝7或a＝－7.
【点睛】本题考查二次函数的性质及在闭区间上的最值问题，需分别讨论对称轴在区间的左侧、中间、右侧三种情况，体现了分类讨论的数学思想，属中档题.
19．(1)；作图见解析
(2)或或.
【详解】（1）设，则
又为奇函数，所以
综上：，函数的简图如下图所示：
（2）由图象可得或或，解得或或.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）函数化简为，再利用换元，转化为基本不等式求函数的值域；（2）转化为，再通过换元转化为有正根，分，和三种情况讨论，求的取值范围.
【详解】（1）根据题意，当时，，设t＝2x，则，
∴，；
（2），即
令，所以（*）有正根，设（*）的两根为t1，t2
当a＜0时，即可，即1+8a≥0，解得；
当a＝0时，t＝1符合；
当a＞0时，，显然符合题意，
故实数a的取值范围．
【点睛】本题考查与指数函数有关的二次函数，一般都需通过换元，转化为二次函数分析问题，需注意换元时，中间变量的取值范围.
21．（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知函数的周期，且，再结合函数图像的平移变换后图像关于原点对称，可得，结合，运算可得函数解析式；
（2）由（1）可得，令，当在上有两个不同的解，则，又，即可得实数的范围.
【详解】（1）由题意可知函数的周期，且，所以，故.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为，因为函数的图象关于原点对称，所以，即.
又，所以，故.
（2）由（1）得函数，其周期为，
又，所以.令，因为，所以，
若在上有两个不同的解，则，
所以当时，方程在上恰有两个不同的解，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及函数图像的平移变换，重点考查了解三角方程，属中档题.
22．（1）（2）
【分析】(1)由是奇函数可得,化简计算即可.
(2)方程有实数解则有解.
由(1)有所以有解.且因为恒成立故算出的值且要满足即可.
【详解】(1)因为是奇函数,所以,即
,
所以,故.
(2)由题意得有解.即有解.
故,,即,又有即,又所以.故
故答案为.
【点睛】(1)若是奇函数则
(2)判断方程有解直接令其相等进行运算即可.注意有对数的函数中真数要大于0.
答案第1页，共2页2024 学年度高一开学诊断性数学考试卷 8．已知函数 f x sin x cos x sin x cos x ，下列结论正确的是（ ）
考试时间：120 分钟
A．函数图像关于 x 对称
4
第 I 卷（选择题）
B ．函数在 , 上单调递增一、单选题 4 4
x y 1 1 C．若 f x1 f x2 4，则 x1 x2 2k k Zx y 1 z x y 1．已知两正数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）． 2
x y
D．函数 f x 的最小值为 2
25
A． 2 B． 2 2 2 C． 4 D． 4 二、多选题
a b x
2 2x, x 0
2．若 a,b为非零向量，则“ a b ”是“a,b共线”的（ ） 9．已知函数
f x
f
，以下结论正确的是
x 2 , x 0
A．充要条件 B．充分不必要条件
A． f 3 f 2019 2
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2 9x2 y2
3．设正实数 x， y满足 x , y 2，不等式 m恒成立，则m的最大值为 ( ) B． f x 在区间 4,5 上是增函数
3 y 2 3x 2
A． 2 2 B． 4 2 C．8 D．16 1 1f x kx 1 3 k ,
4．已知集合 A {x | 2 x 5}， B {x |m 1 x 2m 1}
C．若方程 恰有 个实根，则
．若 B A ，则实数m的取值范围为 2 4
（ ） 6
D．若函数 y f x b在 , 4 上有6个零点 x i 1,2,3,4,5,6 ，则 x =6
A．m 3 B． 2 m 3 C．m 3 D．m 2 i ii 1
5．若 x≠－2且 y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
10．已知函数 f x cos 2x ，现将函数 f x π的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，
A．M>－5 B．M<－5 3
C．M≥－5 D．M≤－5 则下列说法正确的是（ ）
6．已知定义在 a π 1,2a 上的偶函数 f x ，且当 x 0, 2a 时， f x 单调递减，则关于 x的不等 A． g x sin 2x
6
式 f x 1 f 2x 3a 的解集是（ ） B．函数 g x 在区间 0,5π 上有 10个零点
2 1 5 1 2 2 5 5πA． (0, )3 B．
, C． ( , ] D． ( , ] C．直线 x 是函数 g x 图象的一条对称轴6 6 3 3 3 6 6
7．已知函数 f (x) log 20.5 x ax 3a π π 在 (2, )上单调递减，则实数 a的取值范围（ ） D．若函数 g x a f 对任意的 x 0, 恒成立，则 a 1 3 2
A． ( ,4] B．[4, ) C．[ 4,4] D． ( 4,4]
{#{QQABBYCEogAoAABAAQgCUwFaCkKQkBEACKoOBEAMsAABSRFABAA=}#}
2x 1, x 0 2
11 f x f 2．已知函数 ，则方程 x 2 f x
18．已知函数 f (x) x ax 3 .
a2 1 0的根的个数可能为（ ）
log2 x 1, x 0 (1)若函数 f (x)对任意实数 t R都有 f (1 t) f (1 t)成立，求 f (x)的解析式；
A．2 B．6 C．5 D．4 (2)当函数 f (x)在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数 a的值．
12．已知 a,b R 且 a b 1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
19．已知是定义在R 上的奇函数 f x ，当 x 0时， f x x2 2x
1 ab 1 17 1 1A． ab 4 B． C． a b 2 D． 2 2ab 4 a 2b
(1)求出函数 f x 的解析式并画出 f x 的简图（不必列表）
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
(2)若函数在区间 a,a 1 上单调，求实数 a的取值范围
1
13 x．已知集合 A={x|y= x }，B={x 2 4}，则( RA)∩B= .2 1
20．已知函数 f (x) a 2x 1 x 1.
14．已知幂函数 f x 2m2 4m 4 xm 2 在 0, 上单调递减，若正数 a，b满足 2a 3b m，
1
（1）当 a 时，求函数 f（x）在 x∈[﹣1，1]上的值域；
3 2 2
求 的最小值 .
a b （2）若函数 f（x）在实数集 R上存在零点，求实数 a的取值范围．
15．当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的
21．已知函数 f x A sin x A 0, 0, 的图象在 y轴右侧的第一个最高点和第
碳 14含量作为一个单位，大约每经过 5730年，一个单位的碳 14 衰减为原来的一半．这个时间 2
称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳 14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探
一个最低点的坐标分别为 x0 ,2 和 x0 , 2 .若将函数 f x
的图象向左平移 个单位长度后
测器就测不到碳 14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳 14，那么死亡生物组织内的碳 3
得到的图象关于原点对称.
14至少经过的“半衰期”个数 n n N 为 ．
（1）求函数 f x 的解析式；
π
16．如图，在扇形OPQ中，半径OP 1，圆心角 POQ ，矩形 ABCD内接于扇形 OPQ，其
3
（2）若函数 y f kx 1 k 0 2 的周期为 ，当 x 0, 时，方程 f kx 1 m恰有两个不
中点 B，C都在弧 PQ上，则矩形 ABCD的面积的最大值为 . 3 3
同的解，求实数m的取值范围.
22．设a 0， a 1， f (x) log a x x 2 m ，且函数 f (x)是奇函数.
（1）求m的值；
（2）若方程 f (x) log a(2x ak) 有实数解，求 k的取值范围.
四、解答题
17．设命题 p :实数 x满足 a x 3a，其中a 0，命题 q :实数 x满足 2 x 3 .
（1）若 a 1，且 p,q均为真命题，求实数 x的取值范围；
（2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
{#{QQABBYCEogAoAABAAQgCUwFaCkKQkBEACKoOBEAMsAABSRFABAA=}#}