山东省临沂市临沂第十八中学2023-2024学年高一下学期2月收心考试数学试题（PDF版含答案）

临沂第十八中学高一下学期收心考试
数学试题 2024 年 2 月
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）

B x y ln x2 16 的 ,0 f x
π

1．已知集合 A x x 0 ，集合 ，则 A B A. f x 图象关于点( ) 3 对称 B. 为奇函数 6
A. 0,4 B. 4,3 C. 0,3 D. 2,3
C. f x π π在区间 π, 上单调递增 D. f x 的图象关于直线 x 对称 2 6
2 ． cos( 15 )的值是 ( )
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多
A. 6 2 B. 6 2 C. 6 2 D. 6 2 项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
2 2 4 4
9 3 ．已知 sin( )cos cos( )sin ，则 cos( )的值可能为 ( )
5 4
3．若 ( , )，sin 2 1 ，则 sin cos = ( )
4 2 16 A 7 2 B 2 2． ． C． D 7 2．
10 10 10 10
3 3 15 15
A、 B、 C、 D、
4 4 4 4 10．已知 a 0,b 0，且 a b 4，则下列不等式恒成立的是（ ）
sin 1 cos2 A. a2 b2 8
1 1
B. 1 C. 2a 2b 8 D. a 1 b 3 4
4．若角 的终边落在直线 x y 0上，则 ( ) a b
1 sin2 cos
A.0 B.-2 C.2 D.-2或 2 11．已知函数 f x
1
的定义域为R，且 f 0，若 f x y f x f y 4xy，则 ( )
2
1 1
5．设 a
1
log ，b 1
2 3
1 ，c
1 ，则 ( ) 1 1
2 3

3 2 A. f 0 B. f 2 2 2
A. c b a B. b a c C. a b c D. bf x 1 1
ABC sin A 2cos BsinC C. 函数 是偶函数 D. 函数
f x 是减函数
6．在 中，如果 .那么这个三角形是 ( ) 2 2
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．）
7．已知 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,则 tan( )的值是 ( ) 12．已知集合 A 2,0, 2, 4 ,B x x 3 m ，若 A B A，则m的最小值为__________．5 4 4 4
13 3 13 1
A. B. C. D. 13．函数 y cos x cos(x ) 的最大值是__________．
18 22 12 6 3
f x sin x 0,0 π 14．已知函数 f x log3 x 2 e
1 x
与 g x a 2
x 4x 2
( ) 的零点分别为
m和n，若存在m，n
8．已知函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的
2
使得 m n 1，则实数 a的取值范围是__________．
数学试题第 1页 （共 4页） ◎ 数学试题第 2页 （共 4页）
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四、解答题（本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 已知 f x 4 ．
2 4x
15．（13分）化简求值：
1
（1） cos80 cos20 sin100 sin20 ； （1）利用上述结论，证明： f x 的图象关于点 ,1 成中心对称图形. 2
（2）cos160 cos25 sin20 sin25 ；
（2）判断并证明 f x 的单调性.
（3） cos75 sin75 cos75 sin75 ．
（3）解关于 x的不等式 f 1 ax x2 f x 2．
16．（15分）已知 , 都是锐角，
（1）若 sin
4
, cos 5 ，求 sin 的值；
5 13 19．（17分）某重点高中数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，
（2）若 tan 1 10 , sin ，求 tan 2 的值．
7 10 2还无法准确地描述出函数的图象，例如函数 y x 和 y x ，虽然它们在 [0 ,1] 上都是上升的，但是
却有着显著的不同. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：
f(x) x x f (x ) f (x )设连续函数 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数 x1 , x 2 ，都有 f ( 1 2 ) 1 2 ，2 2
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )f x cos4 x 2sin x cos x sin4 x m 则称 f(x)为[a,b]上的凹函数；若 ，则 f(x)为凸函数. 对于函数的凹凸性，17．（15分）已知函数 ． 2 2
通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen 不等式）：若 f(x)是区间[a,b]上的凹函数，
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
则对任意的 x1 , x , x , x [a , b ]，有不等式 f (
x1 x2 xn ) f (x ) f (x ) f (x )2 3 n 1 2 n 恒成立n n
（2）当 x
π
0,

时，已知 f x 的最大值为 1，求使 f x 0成立时自变量 x的集合． 2 (当且仅当 x1 x 2 x3 x n 时等号成立). 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究
的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元极值问题，关键是构造函数。小组成员选择
x
了反比例型函数 f(x)= 和对数函数 g(x)= logax，研究函数的凹凸性.1 x
18．（17分）我们知道：设函数 y f x 的定义域为 D，那么“函数 y f x 的图象关于原点成中心
（1）设 x1, x2 ,..., x
x1 x2 xn
n 0，n 2，且x1 x2 ... xn 1，求 W= ... 的最小值．1 x1 1 x2 1 xn
对称图形”的充要条件是“ x D， f x f x ”．有同学发现可以将其推广为：设函数
（2 设 r1, r2 ,..., r
1 1 1 n xi
n为大于或等于1的实数，证明 ... （．提示：可设 r e ）r1 1 r2 1 r n n
1 r r ...r 1 i
y f x 1 2 n的定义域为 D，那么“函数 y f x 的图象关于点(m,n)成中心对称图形”的充要条件是
f 2m x f x 2n （3）若 a>1，且当 x 0,1 时，不等式 g(mx
2+x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．
“ x D， ”.
数学试题第 3页 （共 4页） ◎ 数学试题第 4页 （共 4页）
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a b
临沂第十八中学高一下学期收心考试 对于 C：因为 2a 2b 2 2a 2b 2 2 2 2 2 2 8 ，当且仅当 a b 2时取等号，故 C正确；
2
数学答案 2024 年 2 月 对于 D：因为 a 1 b 3 a b 4 2 a 1 b 3 8 2 a 1 b 3 16，2
1. A 2. D 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. D 所以 a 1 b 3 4，当且仅当 a 1 b 3，即 a 3,b 1时取等号，故 D正确；
9. BD 10．AC 11．ABD
故选：ACD.
2 2, 9 1 1 1 1 12．5 13． 3 14． 11.【详解】令 x 、 y 0，则有 f f f 0 f2 2 2 2
1 f 0 0，
2

f 1
1 π π π 又
0，故1 f 0 0，即 f 0 1
2
，

8.【详解】由题可知 f 0 sin ，又因0 ，所以 ，则 f x sin 2 x

，2 2 6 6 x 1 y 1 f 1 1 1 1 1 1令 、 ，则有 f f 4 ，
2 2 2 2 2 2 2 2
f 2π 4π sin
π
1 4π π 2kπ 3π k Z 3 k 1 k Z f 0 f 1 f 1 1 f 0 1 f 1 f 1 ，则 ， ，所以 ， ， 即 0
3 3 6 3 6 2 2

2 2
，由 ，可得 2 ， 2
f 1 1
2π π 2π 3 又 π
0，故 f 0，故 A正确；
2 2
由于T ，所以0 ，所以 1，则 f x sin 2x
2 3 2 6 . y 1 f x 1 f x f 1 1令 ，则有 4x 2 2 2 ， 2
π 2π π π 1 1
对 A ： f sin sin 1，故 A错误； 即 f x 2x，故函数 f x 是奇函数，
3 3 6 2 2 2
f 有 x 1
1
2 x 1 2x 2，即 f
x 1

2x 2π ， 2 2
对 B： f x sin

2
π π π
x sin

6 6 6
2x cos 2x 为偶函数，故 B错误；
2 f x 1 即函数 2 是减函数，
π x π 11π对 C： ，则 2x π 5π ，函数 f x 不具有单调性，故 C错误； 1
2 6 6 6 令 x 1，有 f

2
2 1 2，

π π π π π 故 B正确、C错误、D正确.
对 D：当 x 时， f sin 1，则 x 是函数 f x 的一条对称轴，故 D正确.6 6 3 6 6 14. 1 x【详解】对于函数 f x log3 x 2 e ，
故选：D.
明显函数 y log3 x 2 在定义域上单调递增， y e1 x 在定义域上单调递减，
10.【详解】对于 A：因为 a2 b2 a b 2 2ab 16 2ab， 4 a b 2 ab ，
所以函数 f x log3 x 2 e1 x在定义域上单调递增，
所以 ab 4，当且仅当 a b 2时取等号，
2 2 又 f 1 log 1 2 e1 1 0，所以m 1，所以 a b 16 2ab 16 8 8 3，当且仅当 a b 2时取等号，故 A正确；
1 1 a b 4 4 所以 n 1 1，即 n 0,2 ，
对于 B：因为 1，当且仅当a b 2时取等号，故 B错误；
a b ab ab 4
答案第 1页，共 3页
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g x a 2x 4x 2 0,2 tan sin 1 tan2 2tan 3即函数 在 上存在零点. cos 3 ， 1 tan 2 ， 4
a 2x x 2令 4x 2 0，得 a 2 x ， tan 2
tan tan2
1
2 1 tan tan2 ．
t 2x令 , t 1,4 ， 17.【详解】（1）由题意知
2 f x cos
4 x 2sin x cos x sin4 x m cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin 2x m
对于函数 g t t ，由对勾函数的性质可得其在 1, 2 上单调递减，在 2,4 上单调递增，
t
π
g 1 1 2 3, g 2 2 2 2 2, g 4 4 2 9 cos 2x sin 2x m m sin 2x cos 2x m 2 sin 2x

又
，
，
1 42 4 2
2kπ π 2x π 2kπ 3π k Z kπ 3π 7π9 当 ， ，即 x kπ ， k Z， f x 单调递增，g t 所以 的值域为 2 2,
2 4 2 8 8
2
，
3π 7π
所以 f x 的单调递增区间为 kπ ,kπ k Z . 8 8
所以 a 2 2,
9
.
2
（2）当 x 0,
π
， 2x
π π 3π
2 π , ，则 sin 2x 1，
15.【详解】（1）cos80 cos20 sin100 sin20 cos80 cos20 sin80 sin 20 2 4 4 4 2 4
cos 80 20 cos60 1 . 2 所以 f x m 2 2 m 1 1max ，解得m 0，2
（2） cos160 cos25 sin20

sin25 cos20 cos25 sin20 sin25
πcos 20 cos 25 sin 20 sin 25 f x 2 sin 2x 所以 ，
4
cos 20 25 cos 45 2 .
2
由 f x 0，即 sin π π π π 2x 4 0，所以 2x 0，解得0 x ，
3 cos75 sin75 cos75 sin75 4 4 8（ ）
2 2 3 f x 0 x 0, π cos 75 sin 75 cos 2 75 cos150 cos30 . 所以使 成立时自变量 的集合为
2 8
.
4 3
16.【详解】（1） 已知 , 2都是锐角， sin , cos 1 sin ． 4
5 5 18.【详解】（1） f x x 的定义域为R ，2 4
cos 5 , sin 1 cos2 12 ，
13 13 x x
且 f 1 x 4 4 4 4 4 2 4 4 f x ,1 x x x x x x 2
sin sin sin cos cos sin
12 3 5 4 16
. 2 4 2 4 2 4 4 2 4 4 2 2 4
13 5 13 5 65
1
（2）已知 , 1

都是锐角， tan ,sin 10 , cos 1 sin 2 3 10 ， 根据条件可得 f x 的图象关于点 ,1
7 10 10 2
成中心对称图形；

（2）略
答案第 2页，共 3页
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（3）由（2）知 f x 在R 上单调递减，
（2）设r exii ,因为ri 1，所以xi 0（. i 1,2,...,n)
由 f 1 ax x2 f x 2 2得 f 1 ax x 2 f x f 1 x ， 1 1 1 n 1 1 1 n要证 ... ，只需证 ... ..............7分
r1 1 r2 1 rn 1 n r1r2...r 1 e
x1 1 ex2 1 exnn 1
x1 x2 ... xn
e n 1
所以由 f x 在R 上单调递减可得1 ax x2 1 x，
由琴生不等式，只需证h(x) 1 在[0, )上是凹函数：
ex 1
即 x2 a 1 x 0，即 x x a 1 0， 1 1
x , x 0,h( x1 x2 ) 1 , h(x
x x
设 1
) h(x2 ) e
1 1 e 2 1
1 2 x x .......................................................................9分
当 a 1 0，即 a 1时，不等式的解为 x 0或 x a 1， 2 1 22 2 2e 1
当 a 1 0，即 a 1时，不等式的解为 x a 1或 x 0， h( x1 x2 ) h(x1) h(x2 ) 1 1 2下证 ，即
2 2 ex1 1 ex
，
2 1 x1 x22
当 a 1 0，即 a 1时，不等式的解为 x 0， e 1
x1 x2 x1 x2
化简得(ex1 ex2 2e 2 )(e 2 1) 0 (A)........................................................................................................11分
综上所述：当 a 1时，不等式的解集为 ,0 a 1, ， A式显然成立，
x x h(x ) h(x ) 1 1 1 n
当 a 1 1 2时，不等式的解集为 , a 1 0, ， h( ) 1 2 成立，h(x)在[0, )上是凹函数，则 ... 得证...12分2 2 r n1 1 r2 1 rn 1 r1r2...rn 1
当 a 1时，不等式的解集为 ,0 0, . 2
（3）当 x 0,1 时，不等式 g(mx2+x)≤0恒成立，即 loga mx x 0，即0 mx2 x 1恒成立，
1 m 1 xx 可得 2 在 x 0,1 时恒成立． ....................................................................1419【. 详解】（1）记函数f( x) ，首先证明其凹凸性： x x
1 x
分
1 1

x , x f (x ) f (x ) x x 1 x 1 x 1
1 1
(0,1) 1 2 f ( 1 2) 1 2 因为 x 0,1 ，所以 1 ，则 ， , 1 ，所以m 1． ....................................................151 2 2 2 2 1 x x
x x
1 2
2 分
1 x1 1 x 2 2 [(1 x1) (1 x
2
2)] 4(1 x1)(1 x2) [(1 x1) (1 x )]
2
2 0 ............2 分2(1 x )(1 x ) 1 x 1 x 1 x 1 1
2
1 1 1 x
1 2 1 2 由 2 ，及 1，可得 2 0，所以m 0． ............................................................16x x 2 4 x x
f (x) x

在(0,1)上为凹函数. .................................. ........................................ ......................3分
1 x 分
x x x f (x ) f (x ) f (x )
由琴生不等式，得f ( 1 2 n ) 1 2 n , 故 1 m 0． .................................................................................................................................................17
n n
1
1 ( x1 x2 x即 ... n ) n1，.......... ........................................ ........................................ ..................5分n 1 x1 1 x2 1 x n 1
n
x x
所以W 1 2 ... xn n x x x n ，当 时，W ..................................... ......6分
1 x1 1 x2 1 x n 1
1 2 n min
n n 1
答案第 3页，共 3页
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