第7章 锐角三角函数（小结与思考）（单元复习课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共49张PPT)
第7章　锐角三角函数
小结与思考
学习目标
1. 整理本章所学知识，构建本章知识框架；
2. 进一步理解三角函数的概念，明确直角三角形各元素间的关系，进一步学会利用数形结合的思想方法分析问题和解决问题.
知识框架
第7章 锐角三角函数
锐角三角函数
定义
正切：tanA＝＝
正弦：sinA＝＝
余弦：cosA＝＝
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
计算
由定义求锐角三角函数值
由角的度数求锐角三角函数值
由锐角三角函数值求角的度数
一般锐角用计算器
特殊锐角用特殊角的三角函数值
用计算器求一般锐角
根据特殊角的三角函数值求特殊角
互余两角的关系
sinA＝cosB＝cos(90°-∠A)
cosA＝sinB＝sin(90°-∠A)
tanA · tanB ＝1
解直角三角形
知识框架
第7章 锐角三角函数
解直角三角形
定义
由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
依据
三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)
锐角之间的关系: ∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
边、角之间的关系:sinA＝，cosA＝，tanA＝
基本类型
已知一锐角、一边：一锐角、一直角边或一斜边
已知两边：一直角边，一斜边或者两条直角边
简单应用
与仰角、俯角有关的实际问题
与方向角有关的实际问题
与坡角有关的实际问题
与生活有关的其他实际问题
知识回顾
特殊角的锐角三角函数值：
三角函数值 sin θ cos θ tan θ
30°
45°
60°
1
知识回顾
已 知 类 型 已知条件 解 法 步 骤
一边和一锐角 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 斜边和一锐角 (如c，∠A) ①∠B＝90°－∠A；
②由sinA＝，得a＝c·sinA；
③由cosA＝，得b＝c·cosA
一边和一锐角 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 一直角边和一锐角(如a,∠A) ①∠B＝90°－∠A；
②由tanA＝，得b＝；
③由sinA＝，得c＝
解直角三角形的基本类型和解法
知识回顾
已 知 类 型 已知条件 解 法 步 骤
两边 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 斜边和一直角边(如c，a) ①b＝；
②由sinA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
两直角边 (a，b) ①c＝；
②由tanA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
解直角三角形时，选择关系式的原则：
(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
(2)设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．
知识回顾
解直角三角形的简单应用
概念 定义 图形
仰角 俯角
坡度(坡 比)、坡角
方向角
仰角
俯角
视线
水平线
o
视线
铅垂线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角.
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为俯角.
α
l
h
A
B
C
坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫坡角，i=tanα=.
方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北(或正南)方向作为起始方向依顺时针(或逆时针)方向到目标方向线之间的锐角．
东
北
O
45°
E
M
25°
60°
N
考点分析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝. 求AB的长和sinB的值.
B
A
C
6
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
tanA＝＝，
∴AC＝12，
∴AB＝＝＝6
∴sinB＝＝＝.
考点一　锐角三角函数的定义
巩固练习
1. 已知等腰三角形的三边长之比为1：1：，则它的顶角为(　　)
A. 150°　 B. 120° 　 C. 60° 　 D. 30°
B
2. 在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＋cosA＝1，则∠B的度数是(　　)
A. 60°　 B. 45°　　 C. 30°　　 D. 不能确定
C
巩固练习
3.(2022·扬州)在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边. 若b2=ac，则sin A的值为　　　　.
4.(2023·江苏)如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则______．
B
D
A
C
5. (2022·连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝_______.
A
B
C
巩固练习
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.易得四边形ABED是矩形，BE=AD=1.
∵∠A=∠ABC=90°，
∴AD∥BC.
∴∠ADB=∠CBD.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
∴∠CDB=∠CBD.
∴CB=CD=3.
∵AD=BE=1，∴CE=BC-BE=3-1=2.
在Rt△CDE中，DE=.
∴BD=.
∴sin∠ABD=.
巩固练习
6. (2022·常州)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC. 若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD的值为________ .　
E
B
C
A
D
　
巩固练习
7. 已知∠A为锐角，且cosA=，求sinA、tanA.
B
A
C
解：如图，∵∠C＝90°，cosA＝＝，
∴设AC＝5k，AB＝13k，由勾股定理，
得BC＝＝＝12k.
由锐角三角函数定义得，
sinA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
拓展：
tanA＝
巩固练习
8. 证明：锐角三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半.
B
C
A
D
解：已知：如图，锐角三角形ABC.
求证：S△ABC=.
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵sinB＝，
∴AD=AB sinB，
∴S△ABC==AB sinB.
考点分析
考点二　特殊角的三角函数值
变式 在△ABC中，两个内角满足|sinA－|＋＝0，则△ABC的形状是______________.
锐角三角形
例2 在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是 ( )
C
A. 45° B. 75° C. 105° D. 120°
巩固练习
1. (2023·天津) sin 45°+的值等于(　　)
A.1 B. C. D.2
B
2. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
D
巩固练习
3. (2023·山东）计算： ．
1
4. 已知2cosθ=1，则θ=　　　°.
60
5. 已知α是锐角，tanα＝2cos30°，则α＝______°.
60
解：∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10，
∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10.
∵∠C＝90°，AB＝20，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°.
∴∠ABD＝15°.
巩固练习
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠ABD的度数.
A
D
C
B
45°
巩固练习
7.把一根长5cm的铁丝折成顶角为120°的等腰三角形，求此三角形的各边长(精确到0.1cm).
A
C
B
D
解：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，
设AB=AC= x，
过点A作AD⊥BC，垂足为D.
则∠BAD=∠CAD=60°，BC=2BD.
∵sin∠BAD＝，
∴BD=AB sin∠BAD=AB sin60°，
∴BC=2×AB× sin 60°=，
∵AB+AC+BC＝5，
∴2x+=5.
解得x≈1.34cm.
∴AB=AC≈1.34cm，BC≈2.32cm.
例3 若∠A是锐角，且sinA＝，则( )
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
考点三　三角函数的增减性
考点分析
解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°.
A
变式1 已知∠A为锐角，且cosA≤，那么( )
A． B．
C． D．
B
变式2 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, 当锐角A＞30°时, cosA的值的范围为( )
C
A．0＜cosA＜ B．＜cosA＜1
C．0＜cosA＜ D．＜cos A＜1
考点分析
巩固练习
1. 当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是( )
A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90°
C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°
C
2. 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是(　　)
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
B
巩固练习
3. 红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角( )
A．小于30° B．大于30°且小于45°
C．等于30° D．大于45°且小于60°
A
C
B
D
B
巩固练习
4. (2020·湖南娄底·中考真题)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
A
巩固练习
5. (2023·苏州中学校考一模)化简==_________________.
6.已知tanα＝1.237，cosβ＝0.9205，sinγ＝0.6436(α，β，γ均为锐角)，则α，β，γ的大小顺序为__________.(提示：利用函数值的大小与特殊角的函数值的大小关系比较)
β＜γ＜α
考点分析
考点四　解直角三角形
例4 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
A
B
C
D
30°
45°
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ADC中，
AD=AC cos30°=，
CD=AC sin30°==4，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD＝4，
∴AB=AD+DB=+4.
变式 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=1+，求AB及AC的长.
考点分析
C
B
A
D
45°
30°
解：过点A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB中，∠B=45°,
∴∠BAD=45°.
∴AD=BD，AB=AD.
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD，CD=AD.
设AD=x，则BC=BD+CD=(1+)x,
∴(1+)x=1+，∴x=1.
∴AB=，AC=2.
巩固练习
1. 如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为(　　)A. B.
C.1 D.2
B
巩固练习
2.(2023·江苏扬州)在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
C
B
A
D
60°
E
解：如图，作，，交
的延长线于点E
∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6.
C
4
巩固练习
3. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B、C、E在同一直线上，若BC=2，求AF的长. 请你运用所学的数学知识解决这个问题.
解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°,
∴AC==2，
则EF=AC=2.
∵∠E=45°，
∴FC=EF·sinE=，
∴AF=AC-FC=2-.
巩固练习
4. (2023·江苏连云港)如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
解:在菱形中，．
∵，∴．
在中，∵为中点，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
B
C
D
A
E
O
巩固练习
5. 求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（精确到0.1）.
A
C
B
●
O
H
解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°.
过点O作OH⊥BC，垂足为H.
在Rt△BOH中，
∵∠BHO=90°，∠BOH=∠BOC=60°，OB=20，
∴BH=OB sin60°，OH=OB cos60°.
∴△ABC的边长BC=2BH=2×20×sin60°≈34.6.
S△ABC=3××BC×OH=×40×sin60°×20cos60°=519.6.
巩固练习
6. 在△ABC中，AB=12，AC=13，cosB=，求BC的长.
A
C
B
A
C
B
①
②
D
D
解：∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=ABcosB=12×=12，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD===5.
当△ABC为锐角三角形时，如图①，
BC=BD+CD=12+5=17.
当△ABC为钝角三角形时，如图②，
BC=BD-CD=12-5=7.
考点五　用锐角三角函数解决问题
考点分析
例5 (2022·江苏南京)如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）
北
东
B
37°
D
C
58°
A
考点分析
解：过点作的延长线于点
在中，，
∵，，
，
∴，
在中，
∵，，
∴
∴
∴处距离港口约．
H
北
东
B
37°
D
C
58°
A
巩固练习
1.(2023·江苏南通)如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为( )
A． B．
C． D．
B
巩固练习
2.(2023·广东深圳)爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：，) ( )
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
B
巩固练习
3. (2022·江苏南通) 如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为__________m（结果保留根号）．
解：过点D作交于点E，如图：
则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：，，
在中，，
∴，
∴.
巩固练习
4.(2022·无锡)如图，某游乐场的大型摩天轮的半径是20m，摩天轮的中心离地面的距离为20.5m，摩天轮旋转1周需要18min.小明乘坐摩天轮从底部点A处出发开始观光，已知点B处离地面的距离为10.5m，小明第一次到达点B处需要 　3　 min.
3　
巩固练习
5.(2023·江苏盐城)如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为_____m.（计算结果保留整数，参考数据：）
15　
巩固练习
6. (2023·江苏连云港) 渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）
（参考数据：）
巩固练习
E
解：过点作，垂足为．
在中，，
∴
．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
∵，
∴．
答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．
巩固练习
（注：结果精确到，参考数据：，，）
7. (2022·江苏连云港) 我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．
巩固练习
解：(1)在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
经检验是方程的解
答：阿育王塔的高度约为．
(1)求阿育王塔的高度；
巩固练习
(2)由题意知，
∴，
即，
∴．
经检验是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．
巩固练习
8.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
解：由于筒车每旋转一周用时120秒，
所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°－3°×95－30°＝45°.
巩固练习
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米)
解：如图，分别过点B，A作OM的垂线，垂足为C，D.
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝米.
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝米，
∴CD＝OD－OC＝－≈0.3(米).
答：该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
课堂小结
谈谈你本节课的收获是什么？