9.2 中心对称与中心对称图形（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共44张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.2 中心对称与中心对称图形
学习目标
1. 通过具体实例认识中心对称，探索并理解中心对称的性质，会画已知图形关于某点的中心对称图形；
2. 认识中心对称图形，理解中心对称和中心对称图形之间的区别和联系.
小明将如图①所示的4张牌中的3张旋转180°后得到图②，你知道哪一张没有动吗
①
②
问题情境
“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系？怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合？
观察与思考
B
A
D
C
操作与交流
1.用透明纸覆盖在下图上，描出四边形ABCD .
2.用大头针钉在点O处，把四边形ABCD绕点O旋转180°，你发现了什么？
O
A
B
C
D
四边形ABCD绕点O旋转180°后，能与四边形A B C D .
概念学习
A
B
C
D
B
A
D
C
O
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.
如图，四边形ABCD与四边形A B C D 关于________对称，_______叫做对称中心.
点O
点O
概念学习
A
B
C
D
B
A
D
C
O
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.
注意：1.中心对称是对两个图形而言，它表示两个图形之间的对称关系；
2.中心对称是一种特殊的旋转，旋转角必须是180°.
思考与探索
A
O
A′
1. 如图，点A与点A′关于点O对称.如果连接AA′，你能发现什么？
AA′经过点O.
OA绕点O旋转180°后，点A与点A′重合，从而可知OA=OA′.
A
B
C
D
B
A
D
C
O
思考与探索
2. 如图，分别连接AA′、BB′、CC′、DD′，你发现了什么？
AA′、BB′、CC′、DD′都经过点O.
OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′、OD=OD′ .
新知归纳
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质.
新知巩固
如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称.(1)点A、B、C的对应点分别是什么 (2)点C、A、E的位置关系怎样 (3)指出图中相等的线段和相等的角.
A
B
C
D
E
解：(1)点A、B、C的对应点分别是点A、D、E.
(2)点C、A、E在同一条直线上.
(3)相等的线段：AB=AD，AC=AE，BC=DE；
相等的角：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∠BAE=∠CAD.
1. 已知点A和O，你能画出点A关于点O的对称点吗？
操作与交流
假设点A的对称点为A′，连接AA′，你能得到什么结论？
A
O
A′
点A、点O、点A′在一条直线上，且点O为线段AA′的中点.
1. 已知点A和O，你能画出点A关于点O的对称点吗？
操作与交流
连接AO，延长AO到点A′，使OA′=OA，
A
O
A′
解：点A′即为所求作的点.
点A′就是点A关于点O对称的点.
操作与交流
2. 如图，画线段AB关于点O对称的线段.
A
O·
B
A
B
解：线段A′B′即为所求作的线段.
操作与交流
3. 如图，画△ABC关于点O对称的三角形.
A
B
C
O
A
B
C
解：△A′B′C′即为所求作的三角形.
新知归纳
作已知图形关于某一点对称的图形的步骤:
(1) 连接：把各个关键点与对称中心连接起来；
(2) 延长：把关键点与对称中心的连线延长；
(3) 截取：
在延长线上截取线段，使其长度等于相应关键点与对称中心的连线长；
(4) 画图：按照原图顺序依次连接各对应点，即得所求作的图形.
例1 如图，已知△ABC和一点O，画△A B C ，使它与△ABC关于点O成中心对称.
A
B
C
例题讲解
O
A
B
C
A
C
B
A
B
O
C
例题讲解
变式1 作出与△ABC关于点E成中心对称的图形.
E
A
B
C
A1
B1
C1
例题讲解
变式2 如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
A
B
C
解法1 根据观察，B、B′应是对应点，连结BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）
O
解法2 连接CC ′与BB ′，交点O即为所求（如图）
C
A
B
新知归纳
确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法:
(1)连接一组对应点，其中点就是对称中心.
(2)连接所有对应点(一般找两对对应点即可)相交于一点，该点就是对称中心.
方法1 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
思维拓展
你用什么方法识别两个图形是否关于某点中心对称？
A'
C
C'
A
B
B'
方法2 将其中一个图形绕某一点旋转180度，如果能够与另一个完全重合，那么它们关于这一点中心对称.
讨论与交流
观察下列图案说一说它们有什么共同特征？
在日常生活中，你还见到过具有这种特征的图案吗？试举例说明.
讨论与交流
讨论与交流
概念学习
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 这个点就是它的对称中心.
注意：中心对称图形是对一个图形而言，是一个图形所具有的性质.
小明将如图①所示的4张牌中的3张旋转180°后得到图②，你知道哪一张没有动吗
①
②
新知应用
我们已经知道，轴对称与轴对称图形既有联系又有区别类似的，中心对称与中心对称图形有怎样的联系和区别呢？
思考与讨论
名称 中心对称 中心对称图形
区 别
联 系 (1)是针对两个图形而言的；
(2)表示两个图形之间的对称关系；
(3)对称点在两个图形上.
(1)是针对一个图形而言的；
(2)表示某个图形所具有的特性；
(3)对称点在一个图形上.
如果把成中心对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个中心对称图形，如果用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，那么这两个图形成中心对称.
轴对称与中心对称又有什么区别呢？
思考与讨论
轴对称 中心对称
有一条对称轴---直线
有一个对称中心---点
图形沿对称轴对折(翻折180°)后重合
图形绕对称中心(旋转180°)后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
新知巩固
1.下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或对称轴.
①
⑤
②
③
④
解：图①、②、③、④、⑤是中心对称图形，图①、②、③是轴对称图形.
新知巩固
2.按下列要求分别画出四边形ABCD成中心对称的四边形.
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC的中点O为对称中心.
D
A
B
C
B
D
G
A
D
A
B
C
D
O
新知巩固
3.（1）线段是中心对称图形吗？如果是，说出它的对称中心；
解：（1）线段是中心对称图形，中点是它的对称中心；
（2）圆是中心对称图形吗？如果是，说出它的对称中心.
（2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
新知巩固
3.（3）如图，P是圆O外的一个定点，画圆O关于点P对称的圆O1.
O
P
O1
新知巩固
4．如图，等边三角形ABC的3个顶点都在圆O上，这个图形是中心对称图形吗？如果是，指出它的对称中心；如果不是，试把它补成一个中心对称图形.
O
新知巩固
5．在正方形的4个角上剪去4个相同的小正方形（如图），剩余部分是中心对称图形吗？如果是，画出它的对称中心.
O
过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心.
思维提升
6. 如图，直线l1⊥l2，垂足为O，点A1与点A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称．点A1 与点A2 有怎样的对称关系 你能说明理由吗
l1
l2
O
A1
A
A2
2
1
解：点A1与点A2关于点O成中心对称.
理由如下：
如图，由点A1与点A关于直线l1对称知：
OA1=OA，∠A1OA=2∠1.
同样可知：OA2=OA，∠A2OA=2∠2，
所以OA1=OA2，
∠A1OA+∠A2OA=2(∠1+∠2)=2×90°=180°，
即点A1、A2的连线经过点O，且OA1=OA2，
所以点A1与点A2关于点O成中心对称.
课堂小结
9.2 中心对称与中心对称图形
两个图形
一个图形
中心对称
作图
中心对称图形
当堂检测
1. 下列四个标志中是中心对称图形的是 (　 )
A
A B C D
当堂检测
2. 如图所示，在下列四组图形中，各图右边图形与左边图形成中心对称的是 ( )
A. ① B.②③ C. ①②③ D.①②③④
C
当堂检测
3.下列几组图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( )
A. 正方形、长方形、平行四边形
B. 正三角形、正方形、等腰梯形
C. 长方形、正方形、圆
D. 平行四边形、正方形、等边三角形
C
当堂检测
4.如图是中心对称图形，则对称中心是(　　)A.点C B.点D C.线段BC的中点 D.线段FC的中点
D
B
A
D
C
E
F
当堂检测
5．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O成中心对称，若AB＝6，∠BAC＝48°，△ABC的面积为12.
(1) CD＝________；　(2) ∠ACD＝________°；　(3) CD边上的高为________．
B
A
D
C
O
6
48
4
当堂检测
6.如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称.
D
A
B
C
P
A'
C'
B'
D'
当堂检测
7. 如图，在方格纸上作出与△ABC关于点O成中心对称的△DEF(点A的对称点为点D，点B的对称点为点E，点C的对称点为点F)．
O
A
B
C
D
E
F
当堂检测
8. 如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.
求证：DF=BE.
O
B
A
D
C
E
F
证明:∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，∴BO=DO，AO=CO，
点A、O、C和点B、O、D分别在同一条直线上.∵AF=CE，∴AO-AF=CO-CE，即FO=EO.在△FOD和△EOB中，
∵
∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴DF=BE.