1.1 等腰三角形 第3课时 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
北师大版 数学 八年级下册
第3课时
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
学习目标
1.学会证明等角对等边进行等腰三角形的判定;(重点)
2.体会反证法的含义并会用反证法进行证明.（难点）
复习回顾
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的条件和结论分别是什么？
条件：一个三角形是等腰三角形.
结论：相等的两边所对应的角相等.
一、创设情境，引入新知
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
你能证明你的结论吗？
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC．只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 你是怎样构造的？
A
B
C
二、自主合作，探究新知
探究一：等腰三角形的判定
分析：比如作BC的中线，或作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB=∠ADC，
∠B=∠C，
AD=AD，
D
证明：
过A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
二、自主合作，探究新知
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
符号语言：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
知识要点
例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
二、自主合作，探究新知
典型例题
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
二、自主合作，探究新知
探究二：反证法
想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
A
B
C
如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C, 这与已知条件∠B≠∠C矛盾.因此AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗
二、自主合作，探究新知
知识要点
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
二、自主合作，探究新知
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
典型例题
已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
方法归纳
二、自主合作，探究新知
用反证法证题的一般步骤:
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
三、即学即练，应用知识
1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
2.如图所示，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有(　　)
A．1个　B．2个　　C．3个　D．4个
A D
B C
O
C
D
3.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD=3 cm，则CD=　　　　cm.
三、即学即练，应用知识
4.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设 ．
3
三角形的三个外角中，有两个锐角
5.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东70°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东50°,则此时轮船与小岛P的距离BP为 .
7海里
6.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.
求证：△CEF是等腰三角形．
三、即学即练，应用知识
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠EAC.
又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴ CE＝CF，∴ △CEF是等腰三角形．
三、即学即练，应用知识
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以假设不成立.
因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
7.求证：△ABC中不能有两个钝角．
四、课堂小结
等角对等边
等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
2.在△ABC中,已知a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (　　)A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中的等腰三角形共有(　　)
A．2个　 B．3个　　C．4个　 D．5个
五、当堂达标检测
D
B
3.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形,那么∠ODP的度数为 .
五、当堂达标检测
30°或75°或120°
4.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是 .
BD=CA(答案不唯一)
五、当堂达标检测
5.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
解: (1)证明:在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO,∴△BOC是等腰三角形.
(2)△BOC是等腰三角形.理由如下:∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
五、当堂达标检测
6.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,且都大于60°,
则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,
∴ ∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形的内角和是180定理矛盾，
∴假设不成立，
∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
教材习题1.3.　　　　
六、布置作业