1.1 等腰三角形 第1课时 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
北师大版 数学 八年级下册
第1课时
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点)
3.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点）
一、创设情境，引入新知
我们曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理等.你还记得获得这些结论的过程吗？你能根据已有基本事实和定理证明这些结论吗？
本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，还研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性.
一、创设情境，引入新知
在“平行线的证明”这一章中，我们给出了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.同位角相等，两直线平行；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
我们从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.
运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.
二、自主合作，探究新知
探究一：全等三角形的判定和性质
想一想：我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
F
E
D
C
B
A
二、自主合作，探究新知
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识要点
二、自主合作，探究新知
探究二：等腰三角形的性质及其推论
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
这一定理可以简述为：等边对等角.
定理:等腰三角形的两个底角相等.
问题2：你能利用已有的公理和定理证明这个定理吗
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
A
B
C
二、自主合作，探究新知
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
D
证明：
作底边的中线AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
还有其他的证法吗？
二、自主合作，探究新知
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
A
B
C
D
二、自主合作，探究新知
知识要点
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
A
B
C
D
二、自主合作，探究新知
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
二、自主合作，探究新知
知识要点
证明后的结论,以后可以直接运用.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
几何语言：如图,在△ABC中,
A
B
C
D
1
2
例1：如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.
∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
例2：如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
二、自主合作，探究新知
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明．
G
典型例题
二、自主合作，探究新知
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
图①
图②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
1.如图所示,点B,F,C,E在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)A.∠A=∠D B.AC=DF
C.BF=EC D.AC∥FD
三、即学即练，应用知识
B
2.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 (　　)A.0.5 　 B.1 　 C.1.5 D.2
B
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是　　　　.
4.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角的度数为　　　　.
3.如图所示,△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为　　　　.
三、即学即练，应用知识
25°
20
65°
三、即学即练，应用知识
6.已知:如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC≌△EAD.
证明:∵∠ECB=70°,
∴∠ACB=110°.又∵∠D=110°,
∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,
∴∠CAB=∠E.在△ABC和△EAD中,
∵∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,AB=EA,
∴△ABC≌△EAD(AAS).
四、课堂小结
等腰三角形
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2.等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为 (　　)A.13 B.14 C.15 D.13或14
1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 (　　)A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm
五、当堂达标检测
A
D
3.如图所示，在等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是(　　)A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
B
5.如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD，CE是三角形的高，垂足分别为D，E，若∠CAD=20°，则∠BCE的度数为　　　　.
4.如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为　　　　.
五、当堂达标检测
32°
20°
五、当堂达标检测
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
解: (1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
(2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD.∵EF∥AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE.
教材习题1.1.　　　　
六、布置作业