1.1 等腰三角形第4课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

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北师大版 数学 八年级下册
第4课时
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
学习目标
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)
复习回顾
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
用反证法证题的一般步骤:
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
一、创设情境，引入新知
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形又满足什么条件时是等边三角形呢？
你能证明你的结论吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：等边三角形的判定
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
A
B
C
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
A
B
C
二、自主合作，探究新知
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理1：
二、自主合作，探究新知
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
A
B
C
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
A
C
B
60°
二、自主合作，探究新知
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
第二种情况：有一个底角是60°.
【验证】
例1：如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
二、自主合作，探究新知
典型例题
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
二、自主合作，探究新知
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
A
C
B
D
E
知识要点
二、自主合作，探究新知
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
做一做：用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
二、自主合作，探究新知
探究二：含30°角的直角三角形的性质
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
30°
30°
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
二、自主合作，探究新知
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
A
30°
B
C
30°
30°
猜想验证
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC=AB.
二、自主合作，探究新知
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°，
∴∠ACD=90°，∠B=60°，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS） ，
∴ AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，
30°
A
B
C
D
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
∴BC=BD=AB．
二、自主合作，探究新知
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC=AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
知识要点
推论：BC:AC:AB=1::2.
二、自主合作，探究新知
例2：如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠B=∠ACB=15°， CD是腰AB上的高，求CD的长.
典型例题
解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，
∴CD=AC=a．（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC的长为 (　　)
A.6 B.6 C.6 D.12
1.下列说法不正确的是 (　　)A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角为60°的三角形是等边三角形 D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
三、即学即练，应用知识
C
A
4.如图所示,一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为　　　　m.
3.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①所示,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是　　　cm.
三、即学即练，应用知识
18
12
5.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
三、即学即练，应用知识
证明:
∵ AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，求AB的长度.
三、即学即练，应用知识
解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm，即AB的长度是12 cm.
四、课堂小结
1.等边三角形的判定:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
2.特殊的直角三角形的性质:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3.数学方法：分类的思想．
2.如图所示，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
1.如图所示,已知△ABC,D是BC上的一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
五、当堂达标检测
C
C
5.如图所示,将一个含45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的长方形纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得∠1=30°,则三角尺的最长边的长为 .
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，则BD的长度为　　　　.
五、当堂达标检测
3.在等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为 .
120°
cm
五、当堂达标检测
6.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
证明：由a2+c2=2ab+2bc-2b2，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴ a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴ (a－b)2＋(b－c)2＝0，∴ a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴ a＝b＝c，∴ △ABC是等边三角形．
五、当堂达标检测
7.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
D
A
C
B
30°
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC=，∠B=60°．
∴∠BCD=30°，
∴BD=
∴BD=.
教材习题1.4.　　　　
六、布置作业