实数第一课时课堂实录(吉林省白山市临江市)

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13.3.1实数 （第1课时） 课例
教师 临江市第三中学 管小周
本课的授课时间为2008年10月10日，授课班级学生知识水平较好，有强烈的求知欲。班级日常教学多用多媒体教学课件，所以对多媒体教学较熟悉。
1 教学内容
新课标试验教科书人教八年级（上）第十三章第三节第一课时，实数的认识分类及在数轴上表示实数。
2 教学目标
2.1 .1知识技能
了解无理数和实数的概念，体验实数的分类过程，知道实数与数轴上的点是一一对应的。
2.1.2 数学思考
经历从有理数扩充到实数及对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识及集合思想，通过在数轴上表示实数进一步发展数形结合意识。
2..1.3 解决问题
通过与有理数分类类比对实数进行分类，扩展学生的数系知识，培养学生的类比一是及集合思想；在探究活动中学会用数轴上的点表示实数，渗透数形结合思想培养学生的探究能力。
2.1.4 情感态度
通过数系的拓展，体会数学和人类生活的关；通过数学故事鼓励同学们追求真理，在合作学习中培养学生的团体合作交流一是和探索精神。
2.2 教学重难点
重点：实数的分类，用数轴上的点表示实数。
难点：数轴上的点与实数一一对应。
3 教学准备
教师：对媒体教学课件，三角板、圆规。
4 教学过程
4.1 创设情境，引入新课
教师：（用课件出示古希腊数学家毕达哥拉斯的画像）这是古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，他创立的毕达哥拉斯学派，这个学派对古希腊数学的发展作出了突出的贡献，著名的勾股定理就是这个学派的智慧的结晶；毕达哥拉斯曾说过这样的一句话：“世界上只有整数和分数，除此之外就再也没有什么别的数了！”，同学们你赞成这位数学家的说法吗？
学生：思考片刻后有的学生说对，有的说不对。
教师：对持反对意见的学生表示赞赏，鼓励他们挑战权威，但当时毕达哥拉斯的一个学生叫希伯索斯却因为反对他的这句观点而丢掉了性命，这到底是怎么回事？下面引入新课的学习！13.3.1实数。
4.2 诱发新知
投影问题1：你认识下面的数吗？
学生：（学生笑）当然认识！
教师：我想知道的是这里都有什么数呢？
学生1：正数、负数、零.
学生2：整数和分数.
教师：那他们可以统称为什么数呢？
学生：有理数.
教师：那谁能对学过的有理数进行分类呢？
学生1：（受前面的提示）有理数可分为：
投影问题2：把下列各有理数化成小数：
（1） （2）
按学生已分成的小组进行，每个小组成员化简一个数。
学生生立即进行计算，教师进行巡视，对有些同学进行指点。
2分钟后师生交流结果：
教师：请同学们观察上面这些数化成小数后有什么特征？
学生：有的是有限小数，有的是无限循环小数。
教师：由此可见：有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；我们知道整数和分数可以统称为有理数，所以也可以说有限小数和无限循环小数叫有理数。
4.3 引入新知
在毕达哥拉斯学派证明了勾股定理后，碰到了一个伤脑筋的问题：就是这个边长为1的正方形对角线L多长呢？
按照毕达哥拉斯的观点，L只能是一个比1大比2小的分数，但他们费了九牛二虎的之力，也没有找到这个数。他的一位勤奋好学的学生----希伯索斯断言：边长为1的正方形的对角线的长既不是一个整数，也不是一个分数，而是一个不被人们所认知的数。希伯索斯的发现，实际实际上推翻了毕达哥拉斯的论断“世界上只有整数和分数，除此之外再也没有别的什么数了！”，因此毕达哥拉斯大为恐慌，立即下令封锁“发现”并扬言，谁胆敢吧这一机密泄露出去就将处以极刑！
但希伯索斯坚信自己的发现是正确的，所以在暗地里和同伴们研究这个问题。结果一传十、十传百，后来这件事情传到了毕达哥拉斯的耳朵里，他下令追查此事。结果当然查到了此事的散步者是希伯索斯！希伯索斯胆大包天,竟然敢反对自己的老师，背叛自己的学派，一定要处死他!希伯索斯闻声而逃。但后来在地中海的一艘船上抓住了他，当场就残酷第将希伯索斯扔到海水里淹死了。
希伯索斯因为一种新的“数”而献出了他宝贵的生命，那这个数到底是什么样的数呢？
学生：在前面我们已经用夹逼法得出边长为1的正方形的对角线可以用表示，是一个无限不循环的小数.
教师：其实有很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
投影展示：用计算器计算出的此类数：
教师：以前你还见过哪些可以写成无限不循环小数的数呢？
学生：
教师：对，除了有些含有根号的数可以写生无限不循环小数外也是无限不循环小数，有人还专门比赛背诵的数值呢！
学生：对，它在3.1415926至3.1415927之间。
4.4 获得新知（一）
教师：（继续刚才的数学故事）后来，随着人们生活的需要和学术的进步，真理是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们逐渐的认识到这类数，为了纪念希伯索斯这个为真理而现身的可敬学者，就吧这种无限不循环的小数称为“无理数”.
教师：至此我们的数系在七年级第一次扩充的基础上又一次的得到了扩充,我们把有理数和无理数统称为实数.
学生：领会理解.
教师：类比有理数的分类，同学们能否对实数进行分类呢？小组交流总结.
学生：按小组进行积极发言互相交流.
交流结论：实数可分为：
4.5 巩固训练
4.5.1 把下列各数分别填在相应的集合中：.
有理数集合 ，无理数集合 .
4.5.2下列各数中有理数的个数有（ ）.
A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个
点评：旨在通过本题让学生体会注重从概念出发判断数的类别，并不是所有带有根号的数都是无理数，加深对概念的理解，此外体验集合的思想。
4.6 探索新知（二）
学生活动：在数轴上表示下面各数：
学生积极参与体验有理数都可以在数轴上找到表示它的点。
教师:我们都知道每个有理数都可以在数轴上找到表示它的点，那么无理数是否也可以在数轴上找到表示它的点呢？下面我们来共同探究.
投影展示：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？
学生：从圆的周长角度考虑
学生1：圆在数轴上滚动一周相当于将圆的周长平铺，所以OA的长度应该和圆的周长相等.
学生2：通过圆的周长公式：,所以圆的周长为，由此可知A点表示无理数.
教师：鼓励学生，表示赞许！
教师：你能在数轴上表示吗？
学生：小组交流探索，教师巡视，可以引导学生通过前面所学习的有关图形构造单位长的线段.
生生交流，小组合作展示：
通过构造边长为1的正方形得到对角线的长度为，然后以原点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴上一点，则该点表示.
教师：同学们可以在课后通过构造直角三角形探讨等无理数的表示方法.由此你发现什么？
学生1：所有的无理数都应该可以在数轴上找到表示它的点.
学生2：我知道如何表示.
教师：鼓励学生简要说明如何表示
学生3：数轴上的点既有表示有理数的点也有表示无理数的点，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.
学生4：数轴上的点与实数一一对应！
学生5：实数都可以在数轴上找到表示它的点，那么平面内的有序数对如果是实数也能找到表到它的点吗？
教师：这个问题提的很好，鼓励同学发言，比如表示.
学生：与在数轴上表示无理数类似，在X轴上找到表示1的点，在Y轴上通过构造找到表示的点，然后确定点的位置。
教师：也就是说既然能在数轴上找到表示无理数的点，那么任意的实数对都可以在平面内找到表示它的点.
学生：平面内的点与有序实数对一一对应！
4.7 巩固训练 知识应用
4.7.1判断：
实数不是有理数就是无理数（ ）无理数都是无限不循环小数 （ ）
无理数都是无限小数 （ ）带根号的数都是无理数 （ ）
无理数一定带有根号 （ ）两个无理数之积不一定是无理数（ ）
两个无理数之和一定是无理数（ ）
4.7.2在数轴上表示下列各数：
加深对无理数本质的了解，进一步掌握在数轴上表示实数的方法，体验实数与数轴上的点一一对应.
4.8 课堂小结
引导学生从数系、分类、数形结合角度总结实数的概念、分类及实数和数轴上的点之间的关系.
4.9 布置作业
课后上网查阅有关勾股定理的材料作为了解！
有理数
整数
分数
正整数
负整数
零
正分数
负分数
有理数
正数
负数
正整数
负整数
零
正分数
负分数
学生1
学生2
实数
有理数
无理数
整数
分数
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
零
负有理数
负无理数
小组1（二分法）
小组2（三分法）
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
O
A
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
O
A
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
O
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