1.1 等腰三角形第2课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

(共25张PPT)
北师大版 数学 八年级下册
第2课时
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;(重点)
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)
复习回顾
1.全等三角形的 相等， 相等.
2.等腰三角形的两个底角相等.简述为： .
3.等腰三角形 、 及底边上的高线互相重合(简称“三线合一”）.
对应边
对应角
等边对等角
顶角的平分线
底边上的中线
一、创设情境，引入新知
A
C
B
D
E
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
你能证明你的猜想吗？
猜想：等腰三角形两底角的平分线相等；
两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.
二、自主合作，探究新知
探究一：等腰三角形的重要线段的性质
1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
猜想证明
求证:BD=CE.
已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
A
C
B
E
1
2
D
二、自主合作，探究新知
A
C
B
E
1
2
D
证明：∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∠2=∠ACB(已知),
又∵∠1=∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
　∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
求证:BM=CN.
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．
A
C
B
M
N
二、自主合作，探究新知
又∵CM= ，BN=　 ，
2.证明: 等腰三角形两腰上的中线相等．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
求证:BP=CQ．
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．
A
C
B
P
Q
二、自主合作，探究新知
3.证明: 等腰三角形两腰上的高相等．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（SAS）．
∴BP=CQ.
还有其他的结论吗
A
C
B
D
E
议一议：如图,在△ABC中,AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上.
（1）如果∠ABD=∠ABC ，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗 为什么？
解：（1）BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角）.
∵∠ABD=∠ ABC ，∠ACE=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD和△ACE中
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
二、自主合作，探究新知
二、自主合作，探究新知
A
C
B
D
E
（2）如果∠ABD=∠ABC ，∠ACE=∠ACB，BD=CE吗
等腰三角形过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
BD=CE
（3）如果∠ABD=∠ABC , ∠ACE=∠ACB , 那么BD=CE吗
由此你能得到一个什么结论
BD=CE
(4)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗 为什么？
A
C
B
D
E
二、自主合作，探究新知
解：（4）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD=AC，AE=AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
二、自主合作，探究新知
(5)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗
BD=CE
由此你能得到一个什么结论
(6)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗
BD=CE
等腰三角形两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
A
C
B
D
E
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
例1：已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,添加下列条件,不能得出BD=CE的是(　 　)
A.BD和CE分别为AC和AB边上的高
B.BD和CE分别为AC和AB边上的中线
C.∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
二、自主合作，探究新知
典型例题
D
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
二、自主合作，探究新知
探究二：等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
怎样证明这一定理呢？
例2：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　 　)
A．120°　 B．135°　　
C．145°　 D．150°
D
2．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是(　 　)
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确　 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确　 D．仅①和③正确
A
5.如图所示，△ABC是等边三角形，且点A在直线l上，则∠1+∠2等于　　　　.
4.如图所示,在等边三角形ABC中,AD为高,若AB=6,则CD的长为　　　　.
三、即学即练，应用知识
3.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为 .
50°或130°
3
120°
6.已知:如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证:DM=DN.
三、即学即练，应用知识
证明: ∵AM=2MB,∴AM=AB.
同理,AN=AC.
∵AB=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,
∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
∵AM=AN,∠MAD=∠NAD,AD=AD,
∴△AMD≌△AND（SAS）,
∴DM=DN.
7.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.
三、即学即练，应用知识
证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB(SAS)，
∴AN＝BM.
四、课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两条腰上的中线相等；
等腰三角形两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
1.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是 (　　)A.BD=CE B.OB=OC
C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于(　　)A.5 B.7.5 C.9 D.10
五、当堂达标检测
A
C
4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点O，则∠BOC的度数是　　　　.
A
C
B
D
E
3.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm，EC =2cm，则△ADE的周长是 cm.
五、当堂达标检测
12
120°
B
C
D
A
E
5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
五、当堂达标检测
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °-∠DBA) ÷2 = (180°-30°)÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
五、当堂达标检测
6.已知:如图所示,在等边三角形ABC中,D为BC延长线上一点,E为CA延长线上一点,且AE=CD.求证:AD=BE.
证明: ∵△ABC是等边三角形,∴AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°,∴∠EAB=∠DCA=120°.在△EAB和△DCA中,∵AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA,∴△EAB≌△DCA(SAS),∴AD=BE.
教材习题1.2.　　　　
六、布置作业