吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考数学试题（含解析）

吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考
数学试题
本试卷满分150分，共4页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）
1．已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．8096 B．4048 C．4046 D．2024
3．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆交于两点，则下列结论不正确的（ ）
A．圆的面积为 B．过定点
C．面积的最大值为 D．
7．如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，则的最小值为（ ）
A．14 B．23 C．18 D．15
8．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A． B．是偶数
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，两个选项每个选项3分，三个选项每个选项2分，有选错的得0分）
9．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．的公差为1 B．的公差为2
C． D．
10．已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上存在点，使得
C．是椭圆上一点，若，则
D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率
11．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面平面
C．当时，直线与所成角的余弦值为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请仔细审题，认真做答）
12．圆与圆的公共弦的长为____________．
13．在数列中，，则____________．
14．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为____________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15．（本小题满分为13分）已知数列中，．
（1）求的值；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）求数列的通项公式．
16．（本小题满分为15分）已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．
（1）求的方程；
（2）延长交抛物线于为坐标原点，求的面积．
（3）延长交抛物线准线于，曲线是以为直径的圆，求点到的最小值．
17．（本小题满分为15分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨．
（1）请写出今年起第年用填埋方式处理的垃圾量的表达式；
（2）求从今年起年内用填埋方式处理的垃圾量的总和；
（3）预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
18．（本小题满分为17分）如图，在三棱柱中，底面侧面．
（1）证明：平面；
（2）若求三棱锥的体积；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（本小题满分为17分）已知动圆经过定点，且与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右的交点为，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考
数学答案
（选择性必修一+选择性必修二第四章）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A D C A D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，两个选项每个选项3分，三个选项每个选项2分，有选错的得0分）
9 10 11
ACD ACD ABD
2．B 由等差数列的性质可得，所以，所以．
3．C 如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为1，
所以，
所以，则
所以异面直线与所成角的余弦值为
所以正弦值为故选：C．
4．A ，消去得，
所以的面积故选：A
5．D 察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，
所以为首项为，公比为的等比数列，．故选：D
6．C 对于A：圆即的圆心为，
半径，故圆D的面积为，正确；
对于B：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，正确；
对于C：定点到圆心的距离，
设点到直线的距离为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为，错误；
对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，
当直线过圆心时，弦的长度最大，
所以可得，正确．
7．A 易知抛物线的焦点为，
设点，圆的半径为1，
由抛物线的定义可得，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，由韦达定理可得，
所以，
当且仅当时，即当或时，等号成立，
因此，的最小值为14．故选：A．
8．D 由已知得数列满足递推关系．
选项A：
，A错误；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，不能被3整除，且为奇数，所以也为奇数，故B错误；
选项C：若选项C正确，又，则，
同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误；
选项D：，
所以，故D正确．故选：D．
9．设的公差为，由，得，
解得，故A正确，B错误；
，C，D正确．
10．对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，
又因为椭圆的离心率，所以，
所以，所以椭圆，故A正确；
对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因为方程组无解，故B错误；
对于C，设，则，
在中，由余弦定理可得
，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，，显然直线斜率不为0，设直线，
由，整理得：，
恒成立，
所以，
依题意有，得，
所以，即，
同理可得，
因为，所以，又因为，所以，
因为，所以，解得，代入到，得，解得，
所以直线的斜率为，故D正确．故选：ACD
11．对于A项，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；
建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，
对于B项，，设，则．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
若平面平面，则，解得，故B项正确；
对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，
．
设直线与所成的角为，则，
即直线与所成角的余弦值为，故C项错误；
对于D项，如下图，当为的中点时，．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．
故选：ABD．
12． 由，得，
即两圆公共弦所在直线的方程为，圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，所以公共弦长为．故答案为：
13．6 因，故有，即得，
所以．故答案为：6．
14． 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则
由双曲线定义可知，故有，即
即
，
则，即，故，
则有
即，即，则，由，故
15．（1）解：数列中，，且，
令，可得．
（2）证明：由，
当时，可得，则，
又由，可得，
所以是公差为3的等差数列，即数列是公差为3等差数列．
（3）解：由（2）知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以
即数列的通项公式为
16．（1）设，代入由中得，
所以，
由题设得，解得（舍去）或．
所以的方程为；
（2）由（1）知，
所以直线方程为，即，
联立，
则，故，
故，
原点到直线的距离为，
故
（3）由（2）知直线方程为，则
因为，所以圆心，半径
到曲线最小值为
17．（1）由题意可知．
（2）由（1）可知
化简可得
（3）当时，
当时，
当时，
……
当时，
所以第3到第9年不需要
18．（1）平面平面平面，
平面平面，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
平面，
平面．
（2）
因为所以是等边三角形
过做垂直于于点
因为平面平面，所以
又于所以平面
平面与平面间距离大小为，即到平面的距离为．
．
（3）以为原点，及平面过点的垂线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
所以，
平面，
即为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
，
平面与平面的夹角的余弦值为
19．（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径，
所以，则，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．
（2）设．由（1）可知，如图所示，
所以，又因为，即，于是，
所以，又，则，
因此为定值
②设直线的方程为，由①中知，
由得，
由根与系数的关系得由①可知，，
即，代入化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为