平江一中高二年级下学期数学入学考试试卷
班级 姓名
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分)
1.如图，空间四边形OABC中，OA a，OB b，OC c，且
OM 2MA， BN NC，则MN （ ）
2 1
A． a b
1
c 1B． a
1 1
b c
3 2 2 2 2 2
1 3
C． a b
1 c 1 a 2 b 1 D． c
2 2 2 2 3 2
2.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则直
线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
2 3 6 9
1
3.已知数列 an 是等比数列， a2 3，a5 ，则公式 q等于（ ）9
1 1
A． B． - 3 C．3 D．
3 3
4.已知点 A 1,3 ，B 3,1 ，过点C 0, 1 的直线 l与线段 AB相交，则 l的斜率的取
值范围为（ ）
1 , 3 A． B． 4,
2 1 3 2
4 2 3 C．
, , D． , 4 ,
4 2 3
5.已知双曲线的下、上焦点分别为F1 0, 3 ，F2 0,3 ， P是双曲线上一点且
PF1 PF2 4，则双曲线的标准方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 y2 x2 y2 x2
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
4 5 5 4 4 5 5 4
1
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
x2 y2
6.已知椭圆 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1( c,0)，F2(c,0)2 2 ，点 P在椭圆a b
上，且 PF1F2 30 ， PF2F1 60 ，则椭圆的离心率 e等于（ ）
A． 2 1 B． 3 1 C． 3 2 D． 5 3
7.设 f x 是定义在R 上的偶函数， f x 为其导函数， f 2 0，当 x 0时，
有 xf x f x 恒成立，则不等式 xf x 0的解集为（ ）
A． 2,2 B． , 2 0,2 C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
8.已知函数 f (x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．全部选对的得 5分，
部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．已知三条直线：直线 l1 :ax y 3 0， l2 : x y 1 0, l3 : 2x y 5 0不能围
成一个封闭图形，则实数 a的值可以是（ ）
A． 2 B．1 C．2 D．3
3
10．一条直线经过点M ( 3, )2 ，被圆
x2 y2 25截得的弦长等于 8，这条直线的
方程为（ ）
3
A． x 3 B． y C．3x 6y 5 0 D．3x 4y 15 0
2
2
11．已知数列 an 的前n项和为 Sn 33n n ，则下列说法正确的是（ ）
A．an 34 2n B． S16为 Sn的最小值
C． a1 a2 a16 272 D． a1 a2 a30 450
12．若函数 f (x) 3x x3在区间 (a2 12,a)上有最小值，则实数 a的可能取值是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分)
13．过点 P 2,3 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ．
14．已知点 A 2, 1,3 ，若B 1,0,0 ，C 1,2,2 两点在直线 l上，则点 A到直线 l的
距离为 .
x2 y2
15．如果椭圆 1上一点 P到焦点F1的距离等于 6，则点 P到另一个焦点
100 36
F2的距离为 .
1
16．已知 f x x2 2xf 2022 2022lnx，则 f 2022 .
2
四、解答题(本大题共 6小题，共 70 分，第 17 题 10 分，其余题目每题 12 分)
17．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A的坐标为 1,1 ，动点 P满足 PA 2 PO
（1）求动点 P的轨迹 C的方程
（2）若直线 l过点Q 1,2 且与轨迹 C相切，求直线 l的方程.
18．已知如图 1直角梯形 ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E
为 AB 的中点，沿 EC 将梯形 ABCD 折起（如图 2），使平面 BED⊥平面 AECD．
（1）证明：BE⊥平面 AECD；
（2）在线段 CD 上是否存在点 F，使得平面 FAB 与平面 EBC 所成的锐二面角的余
2
弦值为 3 ，若存在，求出点 F的位置：若不存在，请说明理由．
3
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
19．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S4 4S2， a2n 2an 1(n N*)．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若b 3n 1n ，令cn anbn，求数列 cn 的前 n项和Tn．
1
20．已知函数 f x x3 x2 3 x 1．
3
（1）求 f x 的单调区间及极值；
（2）求 f x 在区间 0,6 上的最值．
2
21．已知抛物线C： y 2px p 0 ，O是坐标原点，F是C的焦点，M 是C上一
点， FM 4， OFM 120 ．
（1）求C的标准方程；
（2）设点Q x0 , 2 在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA，QB，分别交C于A，
B两点（异于Q点）．证明：直线 AB恒过定点．
2
22．已知函数 f x ax 2 1 a x 2ln x a R .
（1）当 a 0时，求曲线 y f x 在点 e, f e 的切线方程；
（2）讨论函数 y f x 的单调性.
4
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}平江一中高二年级下学期数学入学考试试卷
一、单项选择题(本大题共 8小题 ，每 小 题 5 分， 共 4 0 分)
1 OABC . 如 图，空间四边形 中，OA a，OB b，OC c，且
OM 2MA，BN NC，则
MN （ ）
2 1 1 a b c 1 1 1 1
3 1 1 2 1
A． B． a b c C． a b c D． a b c
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
【答案】A
【分析 】
根据MN ON OM ，再由OM 2MA， BN NC，得到
2 2 1 OM OA a,ON OB OC 1 b c3 3 2 2 ，求解.
【详解 】
因为MN ON OM ，
2 2 1 1 又因为OM OA a,ON OB OC b c ，3 3 2 2
2 1 1
所以MN a b c3 2 2 .
故选：A
2.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 BC的中点，则直线 AC1与平面 A1EC1
所成角的正弦值为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
2 3 6 9
【答案】D
【解析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 2，
则 A 0,0,0 ,C1 2,2,2 , A1 0,0,2 ,E 2,1,0 ,C 2,2,2 ， 1
则 AC1 2,2,2 ,EA1 2, 1,2 ,EC1 0,1,2 ，
设平面 A1EC1的法向量为 n x, y, z ，
n
EA1 2x y 2z 0 y 2z
则 ，解得 ，
n EC1 y 2z 0 x 2z
令 z 1，则 x 2, y 2，
所以平面 A1EC1的一个法向量为n 2, 2,1 ，
设直线 AC1与平面 A1EC1所成角为 ，
则 sin cos n, AC
n AC 2 3
1 1
n AC 3 2 3 9 .故选：D 1
3.已知数列 an 是等比数列， a2 3， a
1
5 ，则公式 q等于（ ）9
1 1
A． B． - 3 C．3 D．
3 3
【答案】D
1
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
【解析】数列 an 是等比数列， a2 3， a
1
5 ，公式为 q，9
1
则有a 3 35 a2q ，即 3q ，得q
1
.故选：D
9 3
4.已知点 A 1,3 ，B 3,1 ，过点C 0, 1 的直线 l与线段 AB相交，则 l的斜率的取值范
围为（ ）
1 , 3 4, 2 , 1 3 2A． B． C． ,
, 4
4 2 3 D．
,
4 2 3
【答案】D
3 1 1 1 2
【解析】如图所示： kAC 4,kBC ， 1 0 3 0 3
由图象知：当 l的斜率不存在时，直线与线段 AB相交，
l , 4 2 故 的斜率的取值范围为 , 3 .故选：D.
5.已知双曲线的下、上焦点分别为F1 0, 3 ，F2 0,3 ，P是双曲线上
一点且 PF1 PF2 4，则双曲线的标准方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A． 1 B． 1
4 5 5 4
y2 x2 y2 x2
C． 1 D． 1
4 5 5 4
【答案】C
【详解】
y2 x2
设双曲线的方程为： 2 2 1(a 0,b 0)，半焦距为 c.a b
则 c 3，2a 4，则a 2，
2 2
故b2
y x
c2 a2 9 4 5，所以双曲线的标准方程为 1．
4 5
故选：C.
x2 y2
6.已知椭圆 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1( c,0)2 2 ，F2(c,0)，点 P在椭圆上，a b
且 PF1F2 30 ， PF2F1 60 ，则椭圆的离心率 e等于（ ）
A． 2 1 B． 3 1 C． 3 2 D． 5 3
【答案】B
【详解】
由题设知△F1PF2 是直角三角形，
PF1F2 30 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c，
PF2 c， PF1 3c．
又由椭圆的定义，得 PF1 PF2 2a， 3c c 2a，
e c 2故 3 1a 3 1 ．
故选：B．
7.设 f x 是定义在R 上的偶函数， f x 为其导函数， f 2 0，当 x 0时，有
xf x f x 恒成立，则不等式 xf x 0的解集为（ ）
A． 2,2 B． , 2 0,2
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
【答案】B
2
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
f x xf
' x f x
g x x 0 g x 【解析】设 ， ，则 ，
x x2
∵当 x 0 '时，有 xf x f x 恒成立，∴当 x 0时， g x 0 ， g x 在 0, 上
单调递增，
∵ f x 是定义在R上的偶函数，
f x f x
∴ g x g x ，即 g x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数，
x x
∴ g x 在 ,0 上也单调递增.
f 2 0 f 2g 2 又 ，∴ 0 ，∴ g 2 0.
2
不等式 xf x 0的解可等价于即 g x 0的解，
∴0 x 2或 x 2，
∴不等式的解集为 , 2 0,2 .
故选：B.
8.已知函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数 f（x）=x（lnx﹣ax），则 f′（x）=lnx﹣ax+x（ ﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令 f′（x）=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1，
函数 f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于 f′（x）=lnx﹣2ax+1 有两个零点，
等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当 a= 时，直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切，
由图可知，当 0＜a＜ 时，y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点．
则实数 a的取值范围是（0， ）．
故选 B．
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部
分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．已知三条直线：直线 l1 :ax y 3 0，
l2 : x y 1 0, l3 : 2x y 5 0不能围成一个
封闭图形，则实数 a的值可以是（ ）
A． 2 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】若 l1, l2 , l3中有两条相互平行，或三条
线过同一点都不可以围成封闭图形，
若 l1 //l2，由两直线平行与斜率之间的
关系可得 a 1；
若 l1 //l3，由两直线平行与斜率之间的
关系可得 a 2；
3
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
x y 1 0
联立 l2 , l3可得 l , l2x y 5 0 ，可知 2 3的交点为(
2,-1)，
若 l1, l2 , l3交于同一点，可得a 2，故选：ABC.
10．一条直线经过点M ( 3,
3
)，被圆 x2 y2 252 截得的弦长等于 8，这条直线的方程为
（ ）
3
A． x 3 B． y C．3x 6y 5 0 D．3x 4y 15 0
2
【答案】AD
【解析】由圆的方程，得到圆心坐标为 (0,0)，半径 r = 5，
直线被圆截得的弦长为 8， 弦心距 52 42 3，
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然 x 3满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为 k，
3所求直线的方程为 y k(x 3)，
2
3k 3
3圆心到所设直线的距离 d 2 3，解得： k
1 k 2 4
，
3 3
此时所求方程为 y (x 3)，即3x 4y 15 02 4 ，
综上，此弦所在直线的方程为 x 3 0或3x 4y 15 0.故选：AD
11．已知数列 an 的前 n项和为 Sn 33n n2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．an 34 2n B． S16 为 Sn的最小值
C． a1 a2 a16 272 D． a1 a2 a30 450
AC a1 S1 33 1 32 , an Sn Sn 1 33n n
2 33 n 1 n 1 2 34 2n n 2 ,
对于n 1也成立，所以an 34 2n，故 A正确；当 n 17时， an 0,当 n=17 时 an 0,
当n 17时，an 0, Sn只有最大值，没有最小值，故 B错误；
因为当n 17时， an 0,∴ a1 a2 a16 S16 33 16 16
2 17 16 272，故 C正确；
a1 a2 a30 S16 ( a17 a19 a30 ) 2S16 S30 2 272 (33 30 302） 544 90 454，
故 D错误.
12．若函数f(x)＝3x x3 a2－ 在区间( －12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
3
【解析】因为函数 f(x)＝3x－x ，所以 f x 3 3x 2 ，
令 f x 0，得 x 1，
当 x 1或 x 1时， f x 0，当 1 x 1时， f x 0，
所以当 x= 1时， f x 取得极小值 f (1) = -2，
a2 12 1
则 ，解得 ，
a 1
1 a 11
又因为 f x 在 1, 上递减，且 f 2 2，所以a 2，
综上： 1 a 2，所以实数 a的可能取值是 0，1，2故选：ABC
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分)
13．过点 P 2,3 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ．
3
【答案】 y x或 x y 5 02 .
【解析】当直线过原点时，设直线 y kx，代入点 P 2,3 ，
4
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
3 2k k 3 y
3
得 ，得 = 即 x2 2 ；
x y 2 3
当直线不过原点时，设直线 1，代入点 P 2,3 ，得 1，得 a 5，
a a a a
x y
即 1，化简得 x y 5 0.
5 5
3
综上可知，满足条件的直线方程为 y x或 x y 5 02 .
3
故答案为： y x或 x y 5 02 .
14．已知点 A 2, 1,3 ，若B 1,0,0 ，C 1,2,2 两点在直线 l上，则点 A到直线 l的距离
为 .
【答案】3
【解析】依题意， AB ( 1,1, 3)而 BC (0,2,2)，
故与 BC方向相同的单位向量为u 0,
1 , 1
2 2
，
2
则所求距离 d AB (AB u)2 11 2 3.
x2 y2
15．如果椭圆 1上一点 P到焦点F的距离等于 6，则点 P到另一个焦点 F 的
100 36 1 2
距离为 .
【答案】14
【分析】
2 2
根据椭圆的定义 PF1 PF2 2a
x y
及椭圆 1上一点 P到焦点F
100 36 1
的距离等于 6，可
得PF2 的长.
【详解】
解：根据椭圆的定义 PF1 PF2 2a，
x2 y2
又椭圆 1上一点 P到焦点F1的距离等于 6，100 36
6 PF2 20 ，故 PF2 14，
故答案：14.
16．已知 f x 1 x2 2xf 2022 2022lnx，则 f 2022 .
2
【答案】 2021
1
【解析】因为 f x x2 2xf 2022 2022lnx，
2
f x x 2 f 2022 2022所以 ，所以 f 2022 2022 2 f 2022 2022 x ，2022
解得 f 2022 2021，
四、解答题(本大题共 6小题，共 70 分，第 17 题 10 分，其余题目每题 12 分)
17．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A的坐标为 1,1 ，动点 P满足 PA 2 PO
（1）求动点 P的轨迹 C的方程
（2）若直线 l过点Q 1,2 且与轨迹 C相切，求直线 l的方程.
【答案】（1） x2 y2 2x 2y 2 0；（2） x 1或5x 12y 19 0.
2 2
【解析】（1）设P x, y ，由 | PA | 2 | PO |，得 x 1 y 1 2 x2 y2 ，
化简得 x2 y2 2x 2y 2 0，
5
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
所以 P点的轨迹C的方程为 x2 y2 2x 2y 2 0.
（2）由（1）知，轨迹C： (x 1)2 (y 1)2 4表示圆心为C( 1, 1) ，半径为 2
的圆，
当直线 l的斜率不存在时，方程为 x 1，
圆心C( 1, 1)到直线 l的距离为 2， l与C相切；
当直线 l的斜率存在时，设 l : y- 2 = k(x- 1)，即 kx y 2 k 0，
| 2k 3 | 5
于是 22 ，解得 k ，k 1 12
5 19
因此直线 l的方程为 x y 0，即5x 12y 19 0，
12 12
所以直线 l的方程为 x 1或5x 12y 19 0.
18．【变式 8-3】（2022·高二课时练习）已知如图 1直角梯形 ABCD，AB∥CD，∠DAB
＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E 为 AB 的中点，沿 EC 将梯形 ABCD 折起（如图 2），使
平面 BED⊥平面 AECD．
（1）证明：BE⊥平面 AECD；
（2）在线段 CD 上是否存在点 F，使得平面 FAB 与平面 EBC
2
所成的锐二面角的余弦值为 3 ，若存在，求出点 F的位置：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，F为 CD 中点
【解析】（1）在直角梯形 ABCD中，AB CD，E为 AB 的中点，即 AE∥CD，AE CD，
四边形 AECD为平行四边形，
而 DAB 90 ， AD CD 2，则 AECD为正方形，
连接 AC，如图，
则 AC DE，
因为平面BED 平面 AECD，平面BED 平面 AECD DE，
AC 平面 AECD，
于是得 AC 平面BED，
而 BE 平面BED，则有 AC BE，
又CE BE， AC CE C ， AC,CE 平面 AECD，
所以 BE 平面 AECD.
（2）由（1）得 BE⊥平面 AECD，所以 BE⊥AE，
所以 EA，EB，EC 两
两 垂直，
分别以 EA，EB， EC方向为 x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
E xyz，
如图所示，
6
{#{QQABbYIEgggoABAAAAhCQwGYCkKQkBCAAIoOxEAEoAABiAFABAA=}#}
则 A(2,0,0),B(0,2,0) F(a,0, 2) (0 a 2) ，设 ，
所以 AF a 2,0, 2 ， BF a, 2, 2 ，
r
设平面 FAB 的法向量为n x, y, z ，
AF n a 2 x 2 z 0
则 ，
BF
n ax 2 y 2 z 0
取 x＝2，得 n 2,2,2 a ，
取平面 EBC 的法向量为m 1,0,0 ，
cos m n m n 2 2因为 m
n a2 4a 12 3 ，
所以 a＝1或 a 3（舍去），
故线段 CD 上存在点 F，且 F为 CD 中点时，
2
使得平面 FAB 与平面 EBC 所成的锐二面角的余弦值为 3 ．
19．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S4 4S2 ， a2n 2an 1(n N*)．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若bn 3
n 1，令 cn anbn，求数列 cn 的前 n项和Tn．
【答案】（1） an 2n 1（2）T (n 1)3
n
n 1
【分析】
（1）利用等差数列的前n项和公式与通项公式，即可解出a1、d ,则可写出其通项公
式.
（2）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】
（1）由题意知： S4 4S2 ， a2n 2an 1
4a 4(4 1)d 4(2a 2(2 1)d 1 1 ) a2 2 1
1
即： 化简得 d . 2
a (2n 1)d 2(a (n 1)d ) 1 1 1
所以数列 an 的通项公式 an 1 (n 1)2 2n 1 .
（2）因为 cn anbn (2n 1)3
n 1
所以Tn 1 3
0 3 31 5 32 (2n 1) 3n 1 ①
① 3： 3Tn 1 3
1 3 32 5 33 (2n 1) 3n ②
①-②: 2Tn 1 3
0 2 31 2 32 2 3n 1 (2n 1) 3n
2T 1 2(31 32 3 n 1) (2n 1) 3 n 1 2 3(1 3
n 1)
n (2n 1) 3
n
1 3
化简得：Tn (n 1)3
n 1.
1
20．已知函数 f x x3 x2 3 x 13 ．
（1）求 f x 的单调区间及极值；
（2）求 f x 在区间 0,6 上的最值．
7
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【答案】（1）单调增区间为 1,3 ，单调减区间为 , 1 3, 2和 ；极小值 ；极大
3
值10
（2）最大值为10；最小值为 17
2
【解析】（1）函数 f x 的定义域为 R， f x x 2x 3 x 3 x 1 ．
令 f x 0，得 x= 1或 x 3．
当 x变化时， f x ， f x 的变化情况如表所示．
x , 1 1 1,3 3 3,
f x 0 0
f x 2单调递减 单调递增 10 单调递减3
故 f x 的单调增区间为 1,3 ，单调减区间为 , 1 和 3, ．
当 x= 1时， f x 有极小值 f 1 2 ；当 x 3时， f x 3 有极大值
f 3 10．
（2）由（1）可知， f x 在 0,3 上单调递增，在 3,6 上单调递减，
所以 f x 在 0,6 上的最大值为 f 3 10．
又 f 0 1， f 6 17， f 6 f 0 ，
所以 f x 在区间 0,6 上的最小值为 f 6 17．
2
21．已知抛物线C： y 2px p 0 ，O是坐标原点， F是C的焦点，M 是C上一点，
FM 4， OFM 120 ．
（1）求C的标准方程；
（2）设点Q x0 , 2 在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA，QB，分别交C于A ，B两
点（异于Q点）．证明：直线 AB恒过定点．
【答案】（1） y2 4x；（2）证明见解析．
【详解】
（1）由 FM
p
4 ， OFM 120 ，可得M 2, 2 3
2 ，
p 2
代入C：12 2 p 2 p 4 p2 ．
解得 p 2或 p 6（舍），从而C： y2 4x．
（2）由题意可得Q 1,2 ，直线 AB的斜率不为 0，设直线 AB的方程为 x my n，
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
y2 4x
由 ，得 y2 4my 4n 0 ，从而x my n 16m
2 16n 0，
且 y1 y2 4m， y1y2 4n．
又 x1 x2 m y1 y2 2n 4m2 2n，
x1x2 my n my n m2 y 2 2 1 2 1
y2 mn y1 y2 n n ，
∵QA QB
uur uur
∴QA QB x1 1 x2 1 y1 2 y2 2 0，
故 x1x2 x1 x2 1 y1y2 2 y1 y2 4 0，
整理得n2 4m2 6n 8m 5 0．
2
即 n 3 4 m 1 2 ，
8
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从而 n 3 2 m 1 或 n 3 2 m 1 ，即n 2m 5或 n 2m 1．
若n 2m 1，则 x my n my 2m 1 m y 2 1，过定点 1,2 ，与Q点重合，不符
合：
若n 2m 5，则 x my n my 2m 5 m y 2 5，过定点 5, 2 ．
综上，直线 AB过异于Q点的定点 5, 2 ．
2
22．已知函数 f x ax 2 1 a x 2ln x a R .
（1）当 a 0时，求曲线 y f x 在点 e, f e 的切线方程；
（2）讨论函数 y f x 的单调性.
y 2 2 【答案】（1） e
x；（2）答案见解析
【解析】（1）由 a 0，则 f x 2x 2ln x， f e 2e 2，
f x 2 2 ， f e 2 2 x ，e
切线方程： y 2e 2 2
2 x e y 2 2 ，则
x
e
.
e
2
（2）由 f x ax 2 1 a x 2ln x，
2 x 1 2ax 2
求导得 f x 2ax 2 1 a ，
x x
f x 2x 2①当 a 0时， ，
x
f x 0，解得 x 0,1 ， f x 0，解得 x 1, ，
则 f x ：单减区间： 0,1 ，单增区间： 1, ；
1
②当a 0时，令 f x 0，解得 x 1或 x a（舍去）
当 x 0,1 时， f x 0，当 x 1, 时， f x 0，
则 f x ：单减区间： 0,1 ，单增区间： 1, ；
1
③当 a 1时，令 f x 0，解得 x 1或 x a，
当 x
0,
1
1, 时， f x 0
1
a ，当
x ,1a 时，
f x 0，
1 1
则 f x ：单减区间： 0, 和 1, ，单增区间： ,1
a a
；
2
④当a 1时， f x 2 x 1 ，则 f x ：单减区间： 0, ；
x
⑤当 1 a 0时，令 f x 0 1，解得 x 1或 x a，
x 0,1 1当 ,
1
a 时，
f x 0，当 x 1, f x 0a 时， ，
则 f x 1 1 ：单减区间： 0,1 和 , a ，单增区间： 1, a ；
综上，当a 0时，单减区间： 0,1 ，单增区间： 1,
当 a 1
时，单减区间： 0,
1
1
a 和
1, ，单增区间： ,1
a
当a 1时，单减区间： 0,
1 1
当 1 a 0时，单减区间： 0,1 和 , a ，单增区间： 1, a .
9
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